Р 50.1.037-2002

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

ПРАВИЛА ПРОВЕРКИ СОГЛАСИЯ
ОПЫТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
С ТЕОРЕТИЧЕСКИМ

ЧАСТЬ II

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ

ГОССТАНДАРТ РОССИИ

Москва

Предисловие

1 РАЗРАБОТАНЫ Новосибирским государственным техническим университетом, доработаны с участием Технического комитета по стандартизации ТК 125 «Стандартизация статистических методов управления качеством»

ВНЕСЕНЫ Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Стандартизация статистических методов управления качеством»

2 ПРИНЯТЫ И ВВЕДЕНЫ В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 22 января 2002 г. № 24-ст

3 ВВЕДЕНЫ ВПЕРВЫЕ

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Необходимость разработки настоящих рекомендаций вызвана тем, что в нормативных документах по стандартизации, устанавливающих правила проверки опытного распределения с теоретическим, не определены правила применения непараметрических критериев согласия типа Колмогорова или типа ω² Мизеса при проверке сложных гипотез. В связи с этим использование таких критериев в задачах контроля качества, исследования надежности и в других приложениях зачастую некорректно, следствие чего - неверные статистические выводы.

Настоящие рекомендации, с одной стороны, являются практическим руководством, расширяющим благодаря полученным результатом сферу корректного применения критериев согласия при проверке сложных гипотез, с другой стороны, содержат новые сведения из рассматриваемого раздела математической статистики, предлагают опробованную методику исследования статистических закономерностей.

Прикладная статистика

ПРАВИЛА ПРОВЕРКИ СОГЛАСИЯ ОПЫТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ТЕОРЕТИЧЕСКИМ

Часть II. Непараметрические критерии

Applied statistics. Rules of check of experimental and theoretical distribution of the consent.

Part II. Nonparametric goodness-of-fit test

1 Область применения

Настоящие рекомендации, разработанные на основе [1], определяют правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим законом распределения непрерывной случайной величины.

Настоящие рекомендации могут быть использованы при разработке правил и рекомендаций по стандартизации, метрологии, сертификации и аккредитации, применяемых Госстандартом России и использующих методы статистического анализа.

Настоящие рекомендации предназначены для использования в качестве руководства по применению непараметрических критериев согласия при статистической обработке результатов наблюдений, измерений, контроля, испытаний продукции.

2 Общие положения

2.1 Простые и сложные гипотезы при проверке согласия опытного распределения с теоретическим

Применяя критерии согласия для проверки соответствия наблюдаемого опытного распределения теоретическому закону (далее - согласие), следует различать проверку простых и сложных гипотез.

Простая проверяемая гипотеза имеет вид H₀: F(x) = F(x, θ), где F(x, θ) - функция распределения вероятностей, с которой проверяют согласие наблюдаемой выборки, а θ - известное значение параметра (скалярного или векторного).

Сложная проверяемая гипотеза имеет вид H₀: F(x) Î {F(x, θ), θ Î Q}, где Q - область определения параметра θ. В этом случае оценку параметра распределения  вычисляют по той же самой выборке, по которой проверяют согласие. Если оценку  вычисляют по другой выборке, то гипотеза простая. Далее сложная гипотеза обозначена следующим образом Н₀: F(x) = F(x, ), где  - оценка параметра, вычисляемая по этой же выборке.

В процессе проверки согласия по выборке вычисляют значение S^* статистики используемого критерия. Затем для того, чтобы сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы Н₀, необходимо знать условное распределение G(S½Н₀) статистики S при справедливости Н₀. И если вероятность

                                               (1)

достаточно большая, по крайней мере P{S > S^*} > α, где g(s½ Н₀) - условная плотность, а α - задаваемый уровень значимости (вероятность ошибки 1-го рода - отклонить справедливую гипотезу Н₀), то принято считать, что нет оснований для отклонения гипотезы Н₀.

Если в процессе анализа выборки рассматривают некоторую альтернативу Н₁: F(x) = F₁(x, θ), то с ней связывают условное распределение G(S½Н₁) и вероятность ошибки 2-го рода β (принять гипотезу Н₀, в то время как верна гипотеза Н₁). Задание значения α для применяемого критерия согласия однозначно определяет и значение β:

                                                            (2)

                                                           (3)

При этом, чем больше мощность критерия 1 - β, тем лучше он различает соответствующие гипотезы.

2.2 Распределения статистик непараметрических критериев согласия при простых гипотезах

2.2.1 Критерий Колмогорова

В случае простых гипотез предельные распределения статистик рассматриваемых критериев согласия Колмогорова, Смирнова, ω² и Ω² Мизеса известны и независимы от вида наблюдаемого закона распределения и, в частности, от его параметров. Считают, что эти критерии являются «свободными от распределения». Это достоинство предопределяет широкое использование данных критериев в различных приложениях.

Предельное распределение статистики

                                               (4)

где F_n(х) - эмпирическая функция распределения; F(x, θ) - теоретическая функция распределения; п - объем выборки, - было получено Колмогоровым в [2]. При п →∞ функция распределения статистики  сходится равномерно к функции распределения Колмогорова

.                                                (5)

Наиболее часто в критерии Колмогорова (Колмогорова - Смирнова) используют статистику вида [3]

,                                                           (6)

где

,                                                       (7)

,                                             (8)

;                                            (9)

n - объем выборки; х₁, х₂, ..., x_n - упорядоченные по возрастанию выборочные значения; F(x, θ) - функция закона распределения, согласие с которым проверяют. Распределение величины S_K при простой гипотезе в пределе подчиняется закону Колмогорова с функцией распределения K(S).

Если для вычисленного по выборке значения статистики S^*_К выполняется неравенство

P{S>S^*_К} = 1 - K(S^*_К) > α,

 то нет оснований для отклонения гипотезы H₀.

2.2.2 Критерий Смирнова

В критерии Смирнова используют статистику

                                            (10)

или статистику

,                                          (11)

значения которых вычисляют по эквивалентным соотношениям (8), (9).

Реально в критерии обычно используют статистику [3]

,                                                       (12)

которая при простой гипотезе в пределе подчиняется распределению χ² с числом степеней свободы, равным 2.

Гипотезу Н₀ не отвергают, если для вычисленного по выборке значения статистики S^*_m

.

2.2.3 Критерии ω²

В критериях типа ω² расстояние между гипотетическим и истинным распределениями рассматривают в квадратичной метрике.

Проверяемая гипотеза Н₀ имеет вид [3]

                       (13)

при альтернативной гипотезе

                     (14)

где Е[·] - оператор математического ожидания; ψ(t) - заданная на отрезке 0 ≤ t ≤ 1 неотрицательная функция, относительно которой предполагают, что ψ(t), t ψ(t), t²·ψ (t) интегрируемы на отрезке 0≤t≤1 [4]. Статистику критерия [3] выражают соотношением

                  (15)

где

При выборе ψ(t) ≡ 1 для критерия ω² Мизеса получают статистику Крамера - Мизеса - Смирнова вида

                                   (16)

которая при простой гипотезе в пределе подчиняется закону с функцией распределения a1(S), имеющей вид [3]

                                                                                                                                     (17)

где  - модифицированные функции Бесселя,

                         (18)

При выборе ψ(t) ≡ 1/t(1 - t) для критерия Ω² Мизеса статистика приобретает вид (статистика Андерсона - Дарлинга)

   (19)

В пределе эта статистика подчиняется закону с функцией распределения a2(S), имеющей вид [3]

                                                                                                                                               (20)

Гипотезы о согласии не отвергают, если выполнены неравенства

P{S_ω>S^*_ω} =1 - a1(S^*_ω) > α и P{S_Ω>S^*_Ω} = 1 - a2(S^*_Ω) > α.

2.3 Непараметрические критерии согласия при сложных гипотезах

2.3.1 Потеря критериями свойства «свободы от распределения»

При проверке сложных гипотез, когда по той же самой выборке оценивают параметры наблюдаемого закона распределения вероятностей, непараметрические критерии согласия Колмогорова, Смирнова, ω² и Ω² Мизеса теряют свойство «свободы от распределения». В этом случае предельные распределения статистик этих критериев будут зависеть от закона, которому подчинена наблюдаемая выборка. Более того, распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят и от используемого метода оценивания параметров. Следует также учитывать, что распределения статистик существенно зависят от объема выборки.

Игнорирование того, что проверяют сложную гипотезу, неучет различия в сложных гипотезах приводят к некорректному применению непараметрических критериев согласия в приложениях и как следствие к неверным статистическим выводам. Различия в предельных распределениях тех же самых статистик при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим абсолютно недопустимо [5] - [7].

Точкой отсчета, с которой были начаты исследования предельных распределений статистик непараметрических критериев согласия при сложных гипотезах, послужила работа [8].

Существует ряд подходов к использованию непараметрических критериев согласия в этом случае.

При достаточно большой выборке ее можно разбить на две части и по одной из них оценивать параметры, а по другой проверять согласие. В случае больших объемов выборки такой подход оправдан [9]. Но если объем выборки относительно невелик, то способ разбиения ее на две части будет отражаться и на оценках параметров, и на распределениях статистик критериев согласия.

Для случая принадлежности выборки нормальному закону предельные распределения статистики критерия ω² Мизеса при использовании оценок максимального правдоподобия для оценивания одного или обоих параметров закона были исследованы в [10] аналитическими методами.

В некоторых частных случаях проверки сложных гипотез, например при оценивании параметров распределений экспоненциального, нормального, экстремальных значений, Вейбулла и некоторых других законов, таблицы процентных точек для предельных распределений статистик непараметрических критериев были получены с использованием методов статистического моделирования [11] - [14].

В [15] - [19] для статистик типа Колмогорова - Смирнова и некоторых законов, соответствующих гипотезе H₀, получены формулы для приближенного вычисления вероятностей «согласия» вида P{S>S^*}, где S^* - вычисленное по выборке значение соответствующей статистики S. Полученные формулы дают достаточно хорошие приближения при малых значениях соответствующих вероятностей.

В [20], [21] в результате компьютерного моделирования распределений статистик непараметрических критериев для ряда законов, соответствующих гипотезе H₀, найдены аналитически простые модели, которые хорошо аппроксимируют предельные распределения статистик непараметрических критериев согласия в случае проверки сложных гипотез и оценивания по выборке параметров методом максимального правдоподобия. В [22], [23] методами статистического моделирования исследовано влияние на распределения статистик непараметрических критериев согласия при простых и сложных гипотезах объема наблюдаемой выборки и применяемого метода оценивания параметров. В [24] получены аналитически простые модели предельных распределений статистик непараметрических критериев для случая, когда при проверке сложных гипотез оценки параметров находят в результате минимизации статистики используемого критерия.

Построенные таблицы процентных точек и предельные распределения статистик непараметрических критериев ограничены относительно узким кругом сложных гипотез. Предельные распределения статистик (или процентные точки распределений) при проверке сложных гипотез получены лишь для порядка 15 законов, в то время как множество вероятностных моделей, используемых в приложениях для описания реальных случайных величин, существенно шире.

2.3.2 Методика компьютерного анализа статистических закономерностей

Очевидно, что бесконечное множество случайных величин, с которым приходится сталкиваться на практике, не может быть описано ограниченным подмножеством моделей законов распределений, наиболее часто используемых для описания реальных наблюдений в приложениях. Любой исследователь для конкретной наблюдаемой величины может предложить (построить) свою параметрическую модель закона, наиболее адекватно, с его точки зрения, описывающего эту случайную величину. После оценки по данной выборке параметров модели возникает необходимость проверки сложной гипотезы об адекватности выборочных наблюдений и построенного закона с использованием критериев согласия.

Множество всех сложных гипотез бесконечно и заранее иметь распределения G(S½H₀) для любой сложной гипотезы H₀ практически невозможно. Именно поэтому найденные различным образом предельные распределения статистик непараметрических критериев согласия представлены в литературных источниках лишь для ограниченного ряда распределений, наиболее часто используемых в приложениях, особенно в задачах контроля качества и исследования надежности. Что же делать, если для описания выборки используется закон распределения вероятностей F(x, θ) и найдена оценка его параметра , а для проверки сложной гипотезы H₀: F(x) Î {F(x, θ), θ Î Q}, исследователю неизвестно распределение G(S½H₀) статистики соответствующего критерия согласия?

Наиболее целесообразно воспользоваться методикой компьютерного анализа статистических закономерностей, хорошо зарекомендовавшей себя при моделировании распределений статистик критериев [20] - [25].

Для этого следует в соответствии с законом F(x, ) смоделировать N выборок того же объема n, что и выборка, для которой необходимо проверить гипотезу H₀: F(x) Î {F(x, θ), θ Î Q}. Далее для каждой из N выборок вычислить оценки тех же параметров закона, а затем значение статистики S соответствующего критерия согласия. В результате будет получена выборка значений статистики S₁ S₂, ..., S_N с законом распределения G(S_n½H₀) для проверяемой гипотезы H₀. По этой выборке при достаточно большом N можно построить достаточно гладкую эмпирическую функцию распределения G_N(S_n½H₀), которой можно непосредственно воспользоваться для вывода о том, следует ли принимать гипотезу H₀. При необходимости, можно по G_N(S_n½H₀) построить приближенную аналитическую модель, аппроксимирующую G_N(S_n½H₀), и тогда уже, опираясь на эту модель, принимать решение относительно проверяемой гипотезы.

Как показывает практика, хорошей аналитической моделью для G_N(S_n½H₀) часто оказывается один из следующих четырех законов: логарифмически нормальный, гамма-распределение, распределение Su-Джонсона или распределение Sl-Джонсона [21], [24]. Во всяком случае, всегда можно, опираясь на ограниченное множество законов распределения, построить модель в виде смеси законов [26], [27].

Реализация такой процедуры компьютерного анализа распределения статистики не содержит ни принципиальных, ни практических трудностей. Уровень вычислительной техники позволяет очень быстро получить результаты моделирования, а реализация алгоритма под силу инженеру, владеющему навыками программирования.

В то же время такая методика анализа распределений статистик имеет и недостатки, связанные с ограниченной точностью построения закона распределения статистики и возможным влиянием качества используемого датчика псевдослучайных чисел [28]. Поэтому при ее реализации обязательно следует контролировать качество датчиков, генерирующих числа в соответствии с требуемыми законами «наблюдаемых» случайных величин. Современные системы программирования включают в себя достаточно хорошие датчики, генерирующие псевдослучайные числа, распределенные по равномерному закону. При необходимости построения собственного датчика можно воспользоваться алгоритмами моделирования, изложенными в [29].

Точность построения закона распределения статистики на основании G_N(S_n½H₀), конечно, можно повышать, увеличивая N. По оценкам [20] - [24], отклонения смоделированного распределения от теоретического при N = 2000 обычно имеют порядок ≈ ± 0,015. Если поставить такую цель, то, аппроксимируя эмпирические распределения теоретическими законами и усредняя их по реализациям (при многократном моделировании), можно, при необходимости, добиться более высокой точности построения закона распределения исследуемой статистики. Опираясь на построенное распределение G_N(S_n½H₀), можно достаточно точно оценить значение P{S>S^*}, но знамения процентных точек, полученные по G_N(S_n½H₀), могут оказаться с существенной погрешностью. На практике же, проверяя различные гипотезы, чаще сравнивают полученное значение статистики S^* с соответствующей процентной точкой предельного распределения, что является менее информативным для принятия решения. Более предпочтительно принимать решение по достигнутому уровню значимости P{S>S^*}.

Во всех приводимых далее примерах, иллюстрирующих распределения статистик критериев G_N(S_n½H_i), , в зависимости от различных факторов с применением изложенной методики число моделируемых выборок N принимали равным 2000, а их объем п, кроме особо отмеченных случаев, равным 1000.

2.3.3 Факторы, влияющие на распределения статистик критериев при проверке сложных гипотез

Распределения статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез зависят от характера этой сложной гипотезы. На закон распределения статистики G(S½H₀) влияют следующие факторы, определяющие «сложность» гипотезы:

- вид наблюдаемого закона распределения F(х, θ), соответствующего истинной гипотезе H₀;

- тип оцениваемого параметра и число оцениваемых параметров;

- в некоторых ситуациях конкретное значение параметра (например, в случае гамма-распределения);

- используемый метод оценивания параметров.

При малых объемах выборки п распределение G(S_n½H₀) зависит от п. Однако существенная зависимость распределения статистики от п наблюдается только при небольших объемах выборки. Уже при n ≥ 15 - 20 распределение G(S_n½H₀) достаточно близко к предельному G(S½H₀) и зависимостью от п можно пренебречь.

В случае задания конкретной альтернативы [конкурирующей гипотезы H₁ которой соответствует распределение F₁(x, θ)], функция распределения статистики G(S½H₁) также зависит от всех перечисленных факторов. Но в отличие от G(S½H₀) распределение статистики G(S½H₁) при справедливой гипотезе H₁ очень сильно зависит от объема выборки п. Именно благодаря этому с ростом п повышается способность критериев различать гипотезы и возрастает мощность критериев.

2.3.4 Влияние объема выборки на распределения статистик непараметрических критериев при простых и сложных гипотезах

В случае проверки простых гипотез предельными распределениями статистик критериев Колмогорова и Смирнова можно пользоваться при п > 20 [3]. Исследование методами статистического моделирования зависимости распределений статистик всех рассматриваемых здесь непараметрических критериев от объема выборки при проверке различных как простых, так и сложных гипотез показывает, что это справедливо во всех случаях.

Например, рисунок 1 иллюстрирует, как при увеличении объема выборки (п = 5, 10, 20) меняется распределение G(S_n½H₀) статистики Колмогорова S_K в случае проверки простой гипотезы о принадлежности выборки нормальному закону. На этом рисунке отражено также предельное распределение статистики - функция распределения Колмогорова K(S). Эмпирические распределения G_N(S_n½H₀) при больших п практически сливаются с K(S), и на рисунке они не показаны. Как видно, при малых п распределение существенно отличается от предельного, но уже при п ≥ 15 - 20 ошибка при вычислении вероятности «согласия» P{S>S^*} оказывается достаточно малой.

Рисунок 1 - Зависимость от п распределений G(S_n½H₀) статистики S_K Колмогорова при простой гипотезе (H₀ - нормальное распределение): п = 5, 10, 20. K(S) - функция предельного распределения Колмогорова

Рисунок 2 - Зависимость от n распределений G(S_n½H₀) статистики S_K Колмогорова при сложной гипотезе (H₀ - нормальное распределение, ОМП): п = 5, 10, 20, 1000

Та же самая картина наблюдается в случае проверки сложных гипотез о согласии. На рисунке 2 при п = 5, 10, 20, 1000 представлены распределения G(S_n½H₀) статистики S_K в случае проверки аналогичной, но уже сложной, гипотезы о нормальности, когда по выборке вычисляют оценки максимального правдоподобия (ОМП) параметров нормального закона.

При малых п наибольшие отклонения от предельных распределений наблюдаются на «хвостах». И при простых, и при сложных гипотезах с ростом п распределения G(S_n½H₀) равномерно сходятся к предельному. Но если в случае простых гипотез с ростом п увеличивается вероятность больших значений статистик, то в случае сложных возрастают вероятности и больших, и малых значений статистик. Последнее замечание справедливо для распределений статистик S_K, S_ω, S_Ω.

Рисунок 3 иллюстрирует изменения с ростом п распределений G(S_n½H₀) статистики Крамера - Мизеса - Смирнова S_ω при проверке сложной гипотезы о нормальности и использовании при оценивании параметров метода максимального правдоподобия. Чтобы подчеркнуть разницу в распределениях статистик при простых и сложных гипотезах, на указанном рисунке приведены G(S_n½H₀) для п = 5, 20, 1000 и a1(S) - предельная функция распределения статистики S_ω при проверке простой гипотезы.

Рисунок 3 - Зависимость от п распределений G(S_n½H₀) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирнова при сложной гипотезе (H₀ - нормальное распределение, ОМП): n = 5, 20, 1000

Таким образом, распределения G(S_n½H₀) статистик непараметрических критериев при простых и сложных гипотезах с ростом п очень быстро сходятся к предельным, и уже при п ≥ 15 - 20 можно, не опасаясь больших ошибок, пользоваться этими предельными законами при анализе данных.

Однако последний вывод не означает, что при малых объемах выборок с помощью этих критериев можно успешно различать близкие гипотезы. Для надежного различения близких законов распределения, в частности с помощью критерия согласия Колмогорова, может потребоваться выборка достаточно большого объема [30].

2.3.5 Влияние объема выборки на мощность непараметрических критериев при простых и сложных гипотезах

Способность различать близкие гипотезы зависит от того, насколько сильно различаются распределения G(S_n½H₀) и G(S_n½H₁).

Предложены к рассмотрению две близкие гипотезы: H₀ - нормальное распределение с плотностью  и параметрами μ = 0, σ = 1; H₁ - логистическое с такими же параметрами μ = 0, σ = 1 и плотностью . О близости этих законов распределения можно судить по рисунку 4, на котором представлены их функции распределения. Рисунок 5 иллюстрирует зависимость от п распределений G(S_n½H₁) статистики S_K Колмогорова при проверке простой (п = 20, 100, 500, 1000), а рисунок 6 - при проверке сложной гипотезы H₀ (при использовании ОМП).

Рисунок 4 - Функции распределения нормального и логистического законов

Рисунок 5 - Зависимость от п распределений G(S_n½H₁) статистики S_K Колмогорова при простой гипотезе (H₀ - нормальное распределение, H₁ - логистическое): п = 20, 100, 500, 1000

Рисунок 6 - Зависимость от п распределений G(S_n½H₁) статистики S_K Колмогорова при сложной гипотезе (H₀ - нормальное распределение, H₁ - логистическое, ОМП): п = 20, 100, 500, 1000

На рисунках 7, 8 для сравнения представлены распределения G(S_n½H₁) статистики S_ω при проверке простой (рисунок 7) и сложной гипотезы (рисунок 8) для тех же самых альтернатив H₀ и H₁. Для данной пары альтернатив в случае проверки сложной гипотезы критерий согласия типа ω² Крамера - Мизеса - Смирнова обладает несколько большей мощностью при различении близких гипотез, чем критерий типа Колмогорова, а в случае простых - наоборот.

Рисунок 7 - Зависимость от п распределений G(S_n½H₁) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирнова при простой гипотезе (H₀ - нормальное распределение, H₁ - логистическое): п = 20, 100, 500, 1000

Рисунок 8 - Зависимость от п распределений G(S_n½H₁) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирнова при сложной гипотезе (H₀ - нормальное распределение, H₁ - логистическое, ОМП): п = 20, 100, 500, 1000

С точки зрения практического использования критериев важны два момента, которые подтверждены результатами исследований и хорошо иллюстрированы рисунками 5 - 8. Во-первых, очевидно, что при малых выборках пытаться различать с помощью непараметрических критериев согласия близкие гипотезы (особенно простые) абсолютно бесполезно. Во-вторых, мощность непараметрических критериев при проверке сложных гипотез при тех же объемах выборок п всегда существенно выше, чем при проверке простых.

При проверке простых гипотез непараметрические критерии типа Колмогорова, Смирнова, ω² и Ω² Мизеса уступают по мощности критериям типа χ², особенно, если в последних используется асимптотически оптимальное группирование [31] - [34]. Но при проверке сложных гипотез непараметрические критерии оказываются более мощными. Для того чтобы воспользоваться их преимуществами, надо только знать распределение G(S_n½H₀) при проверяемой сложной гипотезе.

2.3.6 Влияние метода оценивания на распределения статистик непараметрических критериев при сложных гипотезах

Распределения статистик критериев согласия существенно зависят от метода оценивания параметров, то есть каждому типу оценок при конкретной сложной проверяемой гипотезе соответствует свое предельное распределение G(S_n½H₀) статистики. В данном случае по вполне очевидным причинам при проверке сложных гипотез сравним результаты использования ОМП и МD-оценок. При минимизации некоторого расстояния между эмпирической и теоретической функциями распределения получаются МD-оценки. Оценки максимального правдоподобия предпочтительны благодаря своим асимптотическим свойствам [35], [36], а в случае MD-оценок может минимизироваться значение статистики, используемой в критерии.

ОМП вычисляют в результате максимизации по θ функции правдоподобия

                                                      (21)

или ее логарифма

.                                             (22)

Чаще всего в случае скалярного параметра ОМП определяют как решение уравнения, а в случае векторного параметра - как решение системы уравнений правдоподобия вида

                                 (23)

где m - размерность вектора параметров θ. В общем случае эта система нелинейна и, за редким исключением, решаема только численно.

При практическом использовании критериев необходимо иметь в виду следующее. В данном случае, как и в [20] - [24], при построении распределений статистик и исследовании их зависимости от метода оценивания ОМП вычисляли как решение системы (23). Если использовать грубые приближения ОМП, то это соответственно отражается на распределениях статистик и свойствах критериев.

При вычислении МD-оценок минимизируется соответствующее расстояние между эмпирическим и теоретическим распределениями. При использовании статистики Колмогорова S_K в качестве оценки вектора параметров θ выбирают значения, минимизирующие эту статистику:

                                                          (24)

(MD-оценки S_K). Аналогично, при использовании статистики S_ω минимизируется по θ статистика S_ω:

                                                          (25)

(MD-оценки S_ω). При использовании статистики S_Ω -

                                                          (26)

(MD-оценки S_Ω).

Вид используемой оценки оказывает существенное влияние на распределения статистик критериев согласия. Степень влияния метода оценивания на распределение статистики иллюстрирует рисунок 9, на котором показаны полученные в результате моделирования плотности распределения g(S_n½H₀) статистики критерия типа Колмогорова S_K при вычислении оценок параметра сдвига нормального распределения тремя различными методами: минимизацией статистики S_K, минимизацией статистики S_ω и методом максимального правдоподобия. Функция плотности распределения Колмогорова обозначена на рисунке как k (S).

Рисунок 9 - Плотности распределения g(S_n½H₀) статистики S_K при проверке сложной гипотезы (H₀ - нормальный закон, оценивание сдвига с использованием 1 - МD-оценок S_K; 2 - МD-оценок S_ω; 3 - ОМП). k (S) - плотность распределения Колмогорова

При использовании ОМП распределения статистик сильно зависят от соответствующего проверяемой гипотезе H₀ закона F(x, θ). На рисунке 10 приведены эмпирические распределения G(S_n½H₀) статистики Колмогорова S_K, когда при проверке сложной гипотезы два параметра закона, соответствующего гипотезе H₀, оценивали с использованием метода максимального правдоподобия. При этом на рисунке показаны распределения статистики G(S_n½H₀), когда гипотеза H₀ соответствует законам: нормальному, логистическому, Лапласа с плотностью, распределению наименьшего значения с плотностью , распределению Коши с плотностью .

Рисунок 10 - Распределения G(S_n½H₀) статистики Колмогорова S_K при оценивании двух параметров закона, соответствующего гипотезе H₀ (здесь и далее:
1 - нормального; 2 - логистического; 3 - Лапласа; 4 - наименьшего значения; 5 - Коши), при использовании ОМП. K(S) - функция распределения Колмогорова

При использовании МD-оценок, минимизирующих статистику применяемого критерия согласия, влияние закона F(х, θ), соответствующего проверяемой гипотезе H₀, проявляется менее значительно. На рисунке 11 показаны распределения G(S_n½H₀) той же статистики S_K при проверке тех же гипотез, но с использованием MD-оценок параметров, полученных минимизацией по параметрам статистики S_K.

На рисунке 12 приведены распределения статистики S_ω для аналогичных гипотез H₀ при использовании ОМП, а на рисунке 13 - при использовании MD-оценок, минимизирующих по параметрам статистику S_ω.

При использовании МD-оценок, минимизирующих по параметрам статистику S_ω, эмпирические распределения смоделированных распределений G(S_n½H₀) практически совпадают для законов нормального, логистического, Лапласа, наименьшего значения, максимального значения с плотностью , распределения Вейбулла с плотностью и хорошо аппроксимируются логарифмически нормальным законом с плотностью и параметрами μ = -3,2702; σ = 0,4719.

Рисунок 11 - Распределения G(S_n½H₀) статистики Колмогорова S_K при оценивании двух параметров закона, соответствующего гипотезе H₀, при использовании MD-оценок S_K. K(S) - функция распределения Колмогорова, предельная при простой гипотезе

Рисунок 12 - Распределения G(S_n½H₀) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирнова при оценивании двух параметров закона, соответствующего гипотезе H₀, при использовании ОМП. a1(S) - функция распределения, предельная при простой гипотезе

Рисунок 13 - Распределения G(S_n½H₀) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирнова при оценивании двух параметров закона, соответствующего гипотезе H₀, при МD-оценках S_ω

Распределения статистик критериев согласия при использовании MD-оценок (как и в случае использования ОМП) существенно зависят от того, какой параметр оценивали. На рисунке 14 показаны распределения G(S_n½H₀) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирнова при использовании MD-оценок S_ω и оценивании масштабного параметра закона, соответствующего гипотезе H₀. На рисунке 15 представлены аналогичные распределения статистик, но при оценивании для тех же распределений параметра сдвига. Распределения статистик в случае оценивания параметра сдвига распределения максимального значения и масштабного параметра распределения Вейбулла совпадают с распределением статистики для распределения минимального значения.

Если обратить внимание на рисунок 16, на котором отображены распределения G(S_n½H₀) статистики S_ω при проверке согласия с распределениями экспоненциальным , полунормальным , Рэлея , Максвелла , модуля m - мерного (т = 5) нормального вектора  при оценивании масштабного параметра соответствующего закона с использованием MD-оценок S_ω, то можно заметить, что распределения статистик близки к приведенным на рисунке 15. Распределения статистик, показанные на рисунке 16, например, достаточно хорошо аппроксимируются логарифмически нормальным законом с параметрами μ = -2,8484; σ = 0,5669.

Рисунок 14 - Распределения G(S_n½H₀) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирнова при оценивании масштабного параметра закона, соответствующего гипотезе Н₀, (6 - максимального значения; 7 - Вейбулла, параметр формы), при использовании MD-оценок S_ω

Рисунок 15 - Распределения G(S_n½H₀) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирнова при оценивании параметра сдвига, соответствующего гипотезе H₀, при МD-оценках S_ω

Рисунок 16 - Распределения G(S_n½H₀) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирнова при оценивании масштабного параметра закона, соответствующего гипотезе H₀, (1 - экспоненциального; 2 - полунормального; 3 - Рэлея; 4 - Максвелла; 5 - модуля 5-мерного нормального вектора), при использовании МD-оценок S_ω

Таким образом, применяя непараметрические критерии согласия, следует непременно учитывать используемый метод оценивания. При этом в случае метода максимального правдоподобия распределения статистик G(S_n½H₀) очень сильно зависят от закона, соответствующего гипотезе H₀. Разброс распределений G(S_n½H₀) при использовании МD-оценок, минимизирующих статистику критерия, зависит от закона F(х, θ), соответствующего гипотезе H₀, в существенно меньшей степени.

2.3.7 Метод оценивания и мощность непараметрических критериев согласия

При использовании МD-оценок, минимизирующих статистику критерия, эмпирические распределения G(S_n½H₀), соответствующие различным гипотезам H₀, имеют минимальный разброс, что означает определенную «свободу от распределения» для рассматриваемых критериев и предполагает применение MD-оценок при проверке сложных гипотез. Но если исследовать мощность рассматриваемых критериев при различных методах оценивания, то оказывается, что максимальную мощность непараметрические критерии при близких альтернативах имеют в случае оценивания параметров методом максимального правдоподобия.

Способность применяемого критерия различать альтернативы H₀ и H₁ зависит от его мощности 1 - β при заданном уровне значимости а, а именно от того, насколько существенно отличаются распределения статистики G(S_n½H₀) и G(S_n½H₁). При одинаковых объемах выборок п отличие распределений G(S_n½H₀) и G(S_n½H₁) в случае использования ОМП более значительно, а следовательно, критерий оказывается более мощным, чем в случае использования MD-оценок.

Например, рисунок 17 иллюстрирует зависимость от п распределений G(S_n½H₁) статистики S_K Колмогорова при проверке сложной гипотезы при паре альтернатив H₀ - нормальное распределение, H₁ - логистическое и использовании MD-оценок S_K, а рисунок 18 - зависимость от п распределений G(S_n½H₁) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирнова при использовании MD-оценок S_ω.

Сравнивая рисунок 17 с рисунком 6, а рисунок 18 с рисунком 8, можно убедиться, что в случае использования метода максимального правдоподобия мощность критериев типа Колмогорова и типа ω² Мизеса много выше, чем при использовании соответствующих MD-оценок. Аналогичная картина справедлива и для критерия типа Ω² Мизеса со статистикой S_Ω Андерсона - Дарлинга.

Рисунок 17 - Зависимость от п распределений G(S_n½H₁) статистики S_K Колмогорова при сложной гипотезе (Н₀ - нормальное распределение; H₁ - логистическое; MD-оценки S_K): n = 20, 100, 500, 1000

Рисунок 18 - Зависимость от п распределений G(S_n½H₁) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирнова при сложной гипотезе (H₀ - нормальное распределение; H₁ - логистическое; MD-оценки S_ω): п = 100, 500, 1000

Для того чтобы сравнить по мощности непараметрические критерии согласия для рассматриваемой пары близких гипотез H₀ и H₁ при использовании ОМП, на рисунке 19 приведены распределения G(S_n½H₀) и G(S_n½H₁) при п = 20, 100, 500, 1000 для статистики S_Ω Андерсона - Дарлинга, а на рисунке 20 - для статистики S_m Смирнова.

Рисунок 19 - Зависимость от n распределений G(S_n½H₁) статистики S_Ω Андерсона - Дарлинга при сложной гипотезе (H₀ - нормальное распределение; H₁ - логистическое; ОМП): п = 20, 100, 500, 1000

Рисунок 20 - Зависимость от п распределений G(S_n½H₁) статистики S_m Смирнова при сложной гипотезе (H₀ - нормальное распределение; H₁ - логистическое; ОМП): n = 20, 100, 500, 1000

Анализируя распределения на рисунках 6, 8, 19 и 20 можно заметить, что наиболее мощным для данной пары гипотез является критерий Ω² со статистикой S_Ω Андерсона - Дарлинга, затем критерий ω² со статистикой S_ω Крамера - Мизеса - Смирнова, далее критерий Колмогорова со статистикой S_K на последнем месте критерий Смирнова со статистикой S_m. Данное наблюдение о порядке предпочтения критериев хорошо согласуется с опытом их применения.

Почему мощность рассматриваемых критериев при проверке близких гипотез в случае ОМП выше, чем при MD-оценках, достаточно логично объясняет следующая версия. Использование MD-оценок, минимизирующих статистику критерия, приводит к распределению G(S½H₀) с меньшим параметром масштаба (к более крутой функции распределения), чем в случае ОМП. Но с другой стороны, MD-оценки в отличие от ОМП являются робастными, они менее чувствительны к малым отклонениям выборки от предполагаемого закона распределения. Поэтому функция распределения G(S_n½H₁) оказывается еще более крутой по отношению к аналогичному распределению при использовании ОМП.

2.3.8 Зависимость распределений статистик непараметрических критериев от конкретных значений параметра

В некоторых случаях предельные распределения G(S½H₀) рассматриваемых статистик при проверке сложных гипотез зависят от конкретных значений параметров распределения, с которым проверяют согласие. В частности, распределения G(S½H₀) непараметрических критериев согласия в случае проверки согласия с гамма-распределением с плотностью

зависят от его параметра формы θ₀. Для иллюстрации приведены лишь распределения G(S½H₀) статистики Колмогорова S_K. На рисунке 21 показаны распределения статистики при оценивании по выборке параметра формы, на рисунке 22 - масштабного параметра, на рисунке 23 - двух параметров распределения. На этих рисунках цифрами по порядку помечены функции распределения статистики: 1 - при θ₀ = 0,5; 2 - при θ₀ = 1,0; 3 - при θ₀ = 2,0; 4 - при θ₀ = 3,0; 5 - при θ₀ = 5,0. Для сравнения приведена функция распределения Колмогорова K(S).

С ростом θ₀ предельные распределения статистик сходятся к предельным распределениям статистик для выборок из нормального закона. При значениях θ₀ > 5 эмпирические распределения статистик при оценивании двух параметров практически совпадают и хорошо согласуются с распределением соответствующей статистики для нормального закона.

Общая картина принципиально сохраняется и для распределений других непараметрических статистик.

Рисунок 21 - Функции распределения статистики S_K Колмогорова при вычислении ОМП параметра формы гамма-распределения. K(S) - функция распределения Колмогорова

Рисунок 22 - Функции распределения статистики S_K Колмогорова при вычислении ОМП масштабного параметра гамма-распределения. K(S) - функция распределения Колмогорова

Рисунок 23 - Функции распределения статистики S_K Колмогорова при оценивании методом максимального правдоподобия одновременно двух параметров гамма-распределения. K(S) - функция распределения Колмогорова

2.3.9 Выводы

На основании изложенного выше можно сформулировать следующие выводы и дать рекомендации.

Распределения статистик непараметрических критериев согласия при простых и сложных гипотезах с ростом п быстро сходятся к предельным законам. Уже при п > 20, не опасаясь больших ошибок, можно пользоваться этими предельными законами для вычисления достигаемого уровня значимости P{S>S^*}.

В то же время надо иметь в виду, что различать близкие гипотезы (особенно простые) при малых выборках с помощью непараметрических критериев согласия невозможно.

Мощность непараметрических критериев при проверке сложных гипотез при тех же объемах выборок п всегда существенно выше, чем при проверке простых.

При проверке сложных гипотез распределения статистик G(S_n½H₀) непараметрических критериев зависят не только от закона распределения F(х, θ), соответствующего гипотезе H₀, числа и вида оцениваемых параметров (иногда конкретного значения параметра), но и от используемого метода оценивания параметров. Ни в коем случае нельзя, оценивая параметры одним методом, использовать (предельный) закон распределения статистики, построенный для другого метода оценивания.

В случае применения MD-оценок, минимизирующих статистику используемого критерия согласия, распределения статистик непараметрических критериев в меньшей степени подвержены зависимости от вида F(x, θ), соответствующего гипотезе Н₀. Однако наиболее мощными эти критерии оказываются при использовании ОМП.

В случае простых гипотез и при близких альтернативах непараметрические критерии согласия уступают по мощности критериям типа χ². В случае проверки сложных гипотез - преимущество за непараметрическими критериями согласия. В то же время рекомендуется при проверке гипотез о согласии не останавливаться на использовании одного из критериев согласия, так как каждый из критериев по-разному улавливает различные отклонения эмпирического распределения от теоретического.

Изложенная опробованная методика моделирования распределений статистик при корректном ее применении может быть рекомендована для построения статистических закономерностей в ситуации, когда аналитическими методами не удается решить задачу.

Применение при проверке сложных гипотез распределений статистик критериев согласия, представленных в настоящих рекомендациях, правомерно при использовании ОМП или MD-оценок соответственно. Некорректно использование оценок по методу моментов (за исключением тех ситуаций, когда оценки по методу моментов совпадают с ОМП), использование различных оценок по наблюдениям, сгруппированным в интервалы. Некорректно вычисление значений статистик непараметрических критериев согласия по группированным наблюдениям.

3 Порядок проверки гипотез о согласии

3.1 Порядок проверки простой гипотезы о согласии

При проверке согласия опытного распределения с теоретическим распределением случайной величины X действуют следующим образом.

а) Формулируют проверяемую гипотезу, выбирая теоретическое распределение случайной величины, согласие которого с опытным распределением этой величины следует проверить.

б) Из совокупности отбирают случайную выборку объема п. Полученные результаты наблюдений располагают в порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют упорядоченную выборку значений

x₁ ≤ х₂ ≤ ... ≤ х_n.

в) В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S^* критерия [по формулам (6), (12), (15) или (16)].

г) В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение

P{S>S^*} где G(S½H₀) - распределение статистики критерия при справедливости гипотезы H₀. Если P{S>S^*} > α, где α - задаваемый уровень значимости, то нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случае проверяемую гипотезу Н₀ отвергают.

Можно вычисленное значение статистики S^* сравнить с критическим значением S_α, определяемым из условия. Гипотезу о согласии отвергают, если значение статистики попадает в критическую область, т.е. при S^*>S_α.

3.1.1 Критерий Колмогорова при простой гипотезе

Порядок проверки простой гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим - в соответствии с 3.1, перечисления а) - г).

В случае выбранного критерия Колмогорова:

а) Значение статистики Колмогорова S_K вычисляют по формуле (6) на основании формул (7) - (9).

б) Значение вероятности P{S>S^*_K} = 1 - K(S^*_K) вычисляют по функции распределения Колмогорова [формула (5)] или берут из таблицы А.1.

в) Критические значения критерия S_α при заданном α могут быть взяты из таблицы А.2.

3.1.2 Критерий Смирнова при простой гипотезе

Порядок проверки простой гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим - в соответствии с 3.1, перечисления а) - г).

В случае выбранного критерия Смирнова:

а) Значение статистики Смирнова S_m вычисляют по формуле (12) на основании формул (8), (9).

б) Значение вероятности P{S_m>S^*_m} = вычисляют по функции χ₂² - распределения (с двумя степенями свободы).

в) Гипотезу H₀ не отвергают, если для вычисленного по выборке значения статистики S^*_m

P{S_m>S^*_m} = .

3.1.3 Критерий ω² Крамера - Мизеса - Смирнова при простой гипотезе

Порядок проверки простой гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим - в соответствии с 3.1, перечисленная а) - г).

В случае выбранного критерия Крамера - Мизеса - Смирнова:

а) Значение статистики Крамера - Мизеса - Смирнова S_ω вычисляют по формуле (16).

б) Значение вероятности P{S_ω>S^*_ω} = 1 - a1(S) вычисляют по функции распределения a1(S) (17) или берут из таблицы А.3.

в) Критические значения критерия S_α при заданном α могут быть взяты из таблицы А.4.

г) Гипотезу H₀ не отвергают, если для вычисленного по выборке значения статистики S^*_ω

P{Sω>S*ω} = 1 - a1(S*ω) > α.

3.1.4 Критерий Ω² Андерсона - Дарлинга при простой гипотезе

Порядок проверки простой гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим - в соответствии с 3.1, перечисления а) - г).

В случае выбранного критерия Ω² Андерсона - Дарлинга:

а) Значение статистики Андерсона - Дарлинга S_Ω вычисляют по формуле (19).

б) Значение вероятности P{S_Ω>S^*_Ω} = 1 - a2(S_Ω) > α вычисляют по функции распределения a2(S) (20) или берут из таблицы А.5.

в) Критические значения критерия S_α при заданном α могут быть взяты из таблицы А.6.

г) Гипотезу H₀ не отвергают, если для вычисленного по выборке значения статистики S^*_Ω

P{S_Ω>S^*_Ω} = 1 - a2(S^*_Ω) > α.

3.2 Порядок проверки сложной гипотезы

При проверке согласия опытного распределения с теоретическим распределением случайной величины X действуют следующим образом.

а) Формулируют проверяемую гипотезу, выбирая теоретическое распределение F(х, θ) случайной величины, согласие которого с опытным распределением этой величины следует проверить. Перечень теоретических распределений, для которых возможна проверка сложных гипотез с использованием данных рекомендаций, приведен в 3.2.7.

б) Из совокупности отбирают случайную выборку объема п. Полученные результаты наблюдений располагают в порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют упорядоченную выборку значений

x₁ ≤ х₂ ≤ ... ≤ х_n.

в) По выборке вычисляют оценки параметров распределения F(х, θ), выбранного в соответствии с перечислением а) [оценки максимального правдоподобия на основании формул (21) - (23) или MD-оценки, минимизирующие статистику критерия на основании, соответственно, формул (24), (25) или (26)].

г) В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S^* критерия [по формулам (6), (12), (15) или (16)].

д) В соответствии с выбранным критерием проверки, теоретическим распределением F(x, θ), оцененным параметром или параметрами, используемым методом оценивания определяют распределение статистики критерия G(S½H₀) при справедливости гипотезы H₀.

е) На основании выбранного в соответствии с перечислением д) распределения G(S½H₀) вычисляют значение

P{S>S^*} = .

ж) Если P{S>S^*}>α, где α - задаваемый уровень значимости, то нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случае проверяемую гипотезу H₀ отвергают. Можно вычисленное значение статистики S^* сравнить с критическим значением S_α, определяемым из условия α =. Гипотезу о согласии не отвергают, если S^* < S_α.

Если закон распределения, относительно которого проверяют гипотезу о согласии с использованием непараметрического критерия, не входит в перечень, приведенный в 3.2.7, то для построения распределения статистики G(S½H₀), соответствующего проверяемой гипотезе Н₀, рекомендуется воспользоваться методикой компьютерного анализа, изложенной в 2.3.2.

3.2.1 Проверка сложной гипотезы о согласии по критерию типа Колмогорова

Порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим по критерию типа Колмогорова - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения, связанные с указанным видом статистики, следующие.

а) Оценку скалярного или векторного параметра распределения F(x, θ) можно вычислять методом максимального правдоподобия на основании формул (21) - (23) или при минимизации статистики S_K на основании формулы (24).

б) Значение статистики Колмогорова S_K (при использовании ОМП) или ее минимума [при использовании MD-оценок - формула (24)] вычисляют по формуле (6) на основании формул (7) - (9).

в) Распределение G(S_K½H₀) в случае использования ОМП в соответствии с теоретическим распределением F(x, θ), оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.7. Критические значения критерия S_α при заданном α могут быть взяты из таблицы А.8.

г) В случае использования MD-оценок [формула (26)] распределение G(S_K½H₀) выбирают из таблицы А.9, а критические значения критерия S_α могут быть взяты из таблицы А.10.

д) Гипотезу о согласии не отвергают, если P{S>S^*_K} = 1 - G(S_K½H₀) > α (или S^*_K < S_α).

3.2.2 Проверка сложной гипотезы о согласии по критерию типа Смирнова

Порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим с использованием критерия типа Смирнова - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения критерия типа Смирнова следующие.

а) Оценку скалярного или векторного параметра распределения F(x, θ) вычисляют методом максимального правдоподобия [формулы (21) - (23)].

б) Значение статистики Смирнова S_m вычисляют по формуле (12) на основании формул (8), (9).

в) Распределение G(S_m½H₀) в случае использования ОМП в соответствии с теоретическим распределением F(x, θ), оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.11. Критические значения критерия S_α при заданном α могут быть взяты из таблицы А.12.

г) Гипотезу о согласии не отвергают, если P{S>S^*_m} = 1 - G(S^*_m½H₀) > α (или S^*_m < S_α).

3.2.3 Проверка сложной гипотезы о согласии по критерию типа ω² Мизеса

Порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим по критерию типа ω² Мизеса - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения критерия типа ω² Мизеса следующие.

а) Оценка скалярного или векторного параметра распределения F(х, θ) может быть вычислена методом максимального правдоподобия на основании формул (21) - (23) или при минимизации статистики S_ω на основании формулы (25).

б) Значение статистики Крамера - Мизеса - Смирнова S_ω (при использовании ОМП) или ее минимума [при использовании MD-оценок формула (25)] вычисляют по формуле (16).

в) Распределение G(S_ω½H₀) в случае использования ОМП в соответствии с теоретическим распределением F(x, θ), оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.13. Критические значения критерия S_α при заданном α могут быть взяты из таблицы А.14.

г) В случае использования MD-оценок [формула (27)] распределение G(S_ω½H₀) выбирают из таблицы А.15. Критические значения критерия S_α могут быть взяты из таблицы А.16.

д) Гипотезу о согласии не отвергают, если P{S>S^*_ω} = 1 - G(S^*_ω½H₀) > α (или S^*_ω < S_α).

3.2.4 Проверка сложной гипотезы о согласии по критерию типа Ω² Мизеса

Порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим по критерию типа Ω² Мизеса - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения указанного критерия следующие.

а) Оценка скалярного или векторного параметра распределения F(х, θ) может быть вычислена методом максимального правдоподобия на основании формул (21) - (23) или при минимизации статистики S_Ω на основании формулы (26).

б) Значение статистики Андерсона - Дарлинга S_Ω (при использовании ОМП) или ее минимума [при использовании MD-оценок формула (26)] вычисляют по формуле (19).

в) Распределение G(S_Ω½H₀) в случае использования ОМП в соответствии с теоретическим распределением F(x, θ), оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.17. Критические значения критерия S_a при заданном α могут быть взяты из таблицы А.18.

г) В случае использования MD-оценок [формула (28)] распределение G(S_Ω½H₀) выбирают из таблицы А.19. Критические значения критерия S_α могут быть взяты из таблицы А.20.

д) Гипотезу о согласии не отвергают, если P{S>S^*_Ω} = 1 - G(S^*_Ω½H₀) > α (или S^*_Ω < S_α).

3.2.5 Проверка сложных гипотез о согласии с гамма-распределением

Порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределением - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения рассматриваемых критериев заключаются в том, что предельные распределения статистик критериев в данном случае зависят от значения параметра формы θ₀ гамма-распределения (см. таблицу 1). Кроме того, модели распределений статистик при проверке согласия с гамма-распределением построены только для случая использования ОМП и для ограниченного ряда значений параметра формы θ₀.

При необходимости проверки гипотезы о согласии для значения параметра θ₀, не совпадающего с представленными в таблицах А.21 - А.28, следует воспользоваться законом распределения соответствующей статистики (или процентными точками) при ближайшем к θ₀ табличном значении этого параметра. Можно найти искомые приближенные значения вероятности P{S>S^*} (пли процентных точек) с помощью интерполяции.

3.2.5.1 Проверка сложной гипотезы о согласии с гамма-распределением по критерию типа Колмогорова

Общий порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределением - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения, связанные с видом статистики, следующие.

а) Оценку скалярного или векторного, параметра гамма-распределения вычисляют методом максимального правдоподобия на основании формул (21) - (23).

б) Значение статистики Колмогорова S_K вычисляют по формуле (6) на основании формул (7) - (9).

в) Распределение G(S_K½H₀) в соответствии с оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.21. Критическое значение критерия S_α при заданном α может быть взято из таблицы А.22. Если значение параметра формы θ₀ не совпадает ни с одним из табличных, искомые значения P{S>S^*_K} или квантили S_α определяют интерполяцией.

г) Гипотезу о согласии не отвергают, если P{S>S^*_K} = 1 - G(S^*_K½H₀) > α (или S^*_K < S_α).

3.2.5.2 Проверка сложной гипотезы о согласии с гамма-распределением по критерию типа Смирнова

Порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределением с использованием критерия типа Смирнова - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения указанного критерия следующие.

а) Оценку скалярного или векторного параметра гамма-распределения вычисляют методом максимального правдоподобия по формулам (21) - (23).

б) Значение статистики Смирнова S_m вычисляют по формуле (12) на основании формул (8), (9).

в) Распределение G(S_m½H₀) в соответствии с оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.23. Критическое значение критерия S_α при заданном α может быть взято из таблицы А.24. Если значение параметра формы θ₀ не совпадает ни с одним из табличных, искомые значения P{S>S^*_m} или критические значения критерия S_α при заданном α определяют интерполяцией.

г) Гипотезу о согласии не отвергают, если P{S>S^*_m} = 1 - G(S^*_m½H₀) > α (или S^*_m < S_α).

3.2.5.3 Проверка сложной гипотезы о согласии с гамма-распределением по критерию типа ω² Мизеса

Порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределением по критерию типа ω² Мизеса - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения указанного критерия следующие.

а) Оценку скалярного или векторного параметра гамма-распределения вычисляют методом максимального правдоподобия на основании формул (21) - (23).

б) Значение статистики Крамера - Мизеса - Смирнова S_ω вычисляют по формуле (16).

в) Распределение G(S_ω½H₀) в соответствии с оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.25. Критическое значение критерия S_α при заданном α может быть взято из таблицы А.26. Если значение параметра формы θ₀ не совпадает ни с одним из табличных, искомые значения P{S>S^*_ω} или критические значения критерия S_α при заданном α определяют интерполяцией.

г) Гипотезу о согласии не отвергают, если P{S>S^*_ω} = 1 - G(S^*_ω½H₀) > α (или S^*_ω < S_α).

3.2.5.4 Проверка сложной гипотезы о согласии с гамма-распределением по критерию типа Ω² Мизеса

Порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределением по критерию типа Ω² Мизеса - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения указанного критерия следующие.

а) Оценку скалярного или векторного параметра гамма-распределения вычисляют методом максимального правдоподобия на основании формул (21) - (23).

б) Значение статистики Андерсона - Дарлинга S_Ω вычисляют по формуле (19).

в) Распределение G(S_Ω½H₀) в соответствии с оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.27. Критическое значение критерия S_α при заданном α может быть взято из таблицы А.28. Если значение параметра формы θ₀ не совпадает ни с одним из табличных, искомые значения P{S>S^*_Ω} или критические значения критерия S_α при заданном α определяют интерполяцией.

г) Гипотезу о согласии не отвергают, если P{S>S^*_Ω} = 1 - G(S^*_Ω½H₀) > α (или S^*_Ω < S_α).

3.2.6 Проверка сложных гипотез о согласии с распределениями Джонсона

Проверку сложных гипотез о согласии опытного распределения с теоретическими распределениями Джонсона по критериям типа Колмогорова, типа ω² и Ω² Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия осуществляют в соответствии с 3.2.1, 3.2.3 и 3.2.4 соответственно.

Модели предельных распределений соответствующих статистик выбирают из таблицы А.29 для распределения Sb-Джонсона, из таблицы А.30 для распределения Sl-Джонсона, из таблицы А.31 для распределения Su-Джонсона.

Процентные точки распределений статистики типа Колмогорова представлены в таблице А.32, статистики типа ω² Мизеса - в таблице А.33, статистики типа Ω² Мизеса - в таблице А.34.

3.2.7 Перечень распределений, для которых регламентирована проверка сложных гипотез с использованием настоящих рекомендаций

Настоящие рекомендации определяют порядок проверки сложных гипотез о согласии с законами распределения, перечень которых приведен в таблице 1.

Таблица 1

Список распределений, приведенный в таблице 1, достаточно ограничен. Он включает в себя законы распределения, наиболее часто используемые в приложениях в качестве моделей законов реальных случайных величин. Более широкий набор параметрических моделей законов распределений предложен в справочнике [35]. В случае необходимости проверки сложной гипотезы относительно закона, не вошедшего в представленный перечень, для построения распределения статистики G(S½H₀) соответствующего проверяемой гипотезе Н₀, рекомендуется воспользоваться методикой компьютерного анализа, изложенной в 2.3.2.

3.2.8 Законы распределения, используемые для аппроксимации предельных распределений статистик непараметрических критериев при проверке сложных гипотез

Эмпирические законы распределения статистик непараметрических критериев согласия наиболее хорошо описываются одним из следующих законов распределения: логарифмически нормальным, гамма-распределением, распределением Sl-Джонсона или распределением Su-Джонсона.

В таблицах приложения А, содержащих рекомендуемые для использования при проверке сложных гипотез распределения G(S½H₀) через lnN(θ₁, θ₀) обозначено логарифмически нормальное распределение с функцией плотности

,

через γ(θ₀, θ₁, θ₂) - гамма-распределение с функцией плотности

через Sl (θ₀, θ₁, θ₂, θ₃) - распределение Sl-Джонсона с плотностью

через Su (θ₀, θ₁, θ₂, θ₃) - распределение Su-Джонсона с плотностью

Таблицы А.7 - А.34 построены в результате применения методики компьютерного анализа статистических закономерностей, описанной в 2.3.2.

Процентные точки, представленные в таблицах, соответствуют построенным моделям распределений статистик. В некоторых частных случаях эти значения уточняли вследствие аппроксимации «хвостов» эмпирических распределений, полученных в результате моделирования.

Таблицы А.1 - А.6, используемые при проверке простых гипотез и содержащие значения функций распределения классических статистик непараметрических критериев согласия и значения процентных точек, заимствованы в [3].

3.2.9 Примеры применения критериев согласия при простых и сложных гипотезах

Пример 1 Проверяют простую гипотезу о принадлежности выборки экспоненциальному закону. Упорядоченная выборка объемом 100 наблюдений имеет вид:

Проверяемая гипотеза имеет вид Н₀:  при значении параметра θ₀ = 0,5.

а) Критерий Колмогорова

В соответствии с 3.1.1 вычисляют значение статистики Колмогорова по формуле (6):

S^*_k = 0,8269. При этом значении статистики вычисляют вероятность P{S>S^*_K} = 1 - K(S^*_K) = 0,5011.

б) Критерий Смирнова

В соответствии с 3.1.2 вычисляют значение статистики Смирнова по формуле (12): S^*_m ⁼ 2,7349. При этом значении статистики вычисляют вероятность P{S_m>S^*_m} =  = 0,2548.

в) Критерий ω² от Мизеса

В соответствии с 3.1.3 вычисляют значение статистики ω² Мизеса по формуле (16): S^*_ω = 0,1272. При этом значении статистики вычисляют вероятность P{S_ω>S^*_ω} = 1 - a1(S^*_ω) = 0,4673.

г) Критерий Ω² Мизеса

В соответствии с 3.1.4 вычисляют значение статистики Ω² Мизеса по формуле (16): S^*_Ω= 0,8985. При таком значении статистики вычисляют вероятность P{S_Ω>S^*_Ω} = 1 - a2(S^*_Ω) = 0,4151.

Как видно, при задании уровня значимости α < 0,2548 (для критерия Смирнова) нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы по всем критериям согласия.

Пример 2 Проверяют сложную гипотезу о принадлежности выборки из примера 1 экспоненциальному закону H₀: . Вычисленная по выборке оценка максимального правдоподобия параметра  = 0,4465.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.1 вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле (6): S^*_K = 0,5188. Из таблицы А.7 находят, что распределение статистики критерия хорошо аппроксимируется логарифмически нормальным распределением  c параметрами θ₀ = 0,2545; θ₁ = -0,3422. При найденном значении статистики по логарифмически нормальному закону вычисляют вероятность P{S>S^*_K} = 0,8914.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.2 вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле (12): S^*_m = 1,0767. Из таблицы А.11 видно, что распределение статистики критерия аппроксимируется логарифмически нормальным распределением с параметрами θ₀ = 0,6951; θ₁ = 0,226. При найденном значении статистики вычисляют вероятность P{S_m>S^*_m} = 0,5866.

в) Критерий типа ω² Мизеса

В соответствии с 3.2.3 вычисляют значение статистики типа ω² Мизеса по формуле (16): S^*_ω = 0,035. Из таблицы А.13 видно, что распределение статистики критерия аппроксимируется распределением Su-Джонсона с плотностью

и параметрами θ₀ = -1,8734; θ₁ = 1,2118; θ₂ = 0,0223; θ₃ = 0,024. При найденном значении статистики по распределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{S_ω>S^*_ω} = 0,9027.

г) Критерий типа Ω² Мизеса

В соответствии с 3.2.4 вычисляют значение статистики Ω² Мизеса по формуле (16):

S^*_Ω = 0,386. Из таблицы А.17 находят, что распределение статистики критерия аппроксимируется распределением Su-Джонсона с параметрами θ₀ = -2,8653; θ₁ = 1,422; θ₂ = 0,105; θ₃ = 0,1128. При найденном значении статистики по распределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{S_Ω>S^*_Ω} = 0,6808.

По всем критериям согласие выборки с экспоненциальным законом очень хорошее.

Пример 3 Проверяют простую гипотезу о принадлежности выборки нормальному закону. Упорядоченная выборка объемом 100 наблюдений имеет вид:

Проверяемая гипотеза имеет вид Н₀:  при значении параметра θ₀ = 0,5.

а) Критерий Колмогорова

В соответствии с 3.1.1 вычисляют значение статистики Колмогорова по формуле (6):

S^*_k = 0,7410. При этом значении статистики вычисляют вероятность P{S>S^*_K} = 1 - K(S^*_K) = 0,5741.

б) Критерий Смирнова

В соответствии с 3.1.2 вычисляют значение статистики Смирнова по формуле (12): S^*_m ⁼ 2,1964. При этом значении статистики вычисляют вероятность P{S_m>S^*_m} =  = 0,3335.

в) Критерий ω² от Мизеса

В соответствии с 3.1.3 вычисляют значение статистики ω² Мизеса по формуле (16): S^*_ω = 0,1148. При этом значении статистики вычисляют вероятность P{S_ω>S^*_ω} = 1 - a1(S^*_ω) = 0,5169.

г) Критерий Ω² Мизеса

В соответствии с 3.1.4 вычисляют значение статистики Ω² Мизеса по формуле (16): S^*_Ω= 0,7577. Полученная при таком значении статистики вероятность равна 0,5126.

Как видно, при задании уровня значимости α < 0,3335 (для критерия Смирнова) нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы по всем критериям согласия.

Пример 4 Проверяют сложную гипотезу о принадлежности выборки из примера 3 нормальному закону распределения. Проверяемая гипотеза имеет вид H₀: . Вычисленные по выборке оценки максимального правдоподобия параметров θ₀ = 0,4465; θ₁ = 0,9369.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.1 вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле (6): S^*_K = 0,5741. Из таблицы А.7 находят, что распределение статистики критерия при вычислении оценок максимального правдоподобия двух параметров нормального закона аппроксимируется гамма-распределением  с параметрами θ₀ = 4,9014; θ₁ = 0,0691; θ₂ = 0,2951. При найденном значении статистики по гамма-распределению вычисляют вероятность P{S>S^*_K } = 0,6034.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.2 вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле (12): S^*_m = 0,4016. Из таблицы А.11 видно, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП двух параметров нормального закона подчиняется логарифмически нормальному распределению с параметрами θ₀ = 0,5436; θ₁ = 0,1164. При найденном значении статистики вычисляют по логарифмически нормальному закону вероятность P{S_m>S^*_m} = 0,9708.

в) Критерий типа ω² Мизеса

В соответствии с 3.2.3 вычисляют значение статистики типа ω² Мизеса по формуле (16): S^*_ω = 0,0338. Из таблицы А.13 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП двух параметров нормального закона подчиняется логарифмически нормальному распределению с параметрами θ₀= 0,5330; θ₁ = -2,9794. При найденном значении статистики вычисляют по логарифмически нормальному закону вероятность P{S_ω>S^*_ω} = 0,7779.

г) Критерий типа Ω² Мизеса

В соответствии с 3.2.4 вычисляют значение статистики Ω² Мизеса по формуле (16): S^*_Ω = 0,2394. Из таблицы А.17 находят, что распределение статистики критерия подчиняется распределению Su-Джонсона с параметрами θ₀ = -2,7057; θ₁ = 1,7154; θ₂ = 0,1043; θ₃ = 0,0925. При найденном значении статистики по распределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{S_Ω>S^*_Ω} = 0,7719.

По всем критериям согласие выборки с нормальным законом очень хорошее.

Пример 5 Проверяют сложную гипотезу о принадлежности выборки двухпараметрическому распределению Вейбулла. Упорядоченная выборка объемом 200 наблюдений имеет вид:

Проверяют Н₀:  Вычисленные по выборке оценки максимального правдоподобия параметров  = 1,3734;  = 0,8539.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.1 вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле (6): S^*_K = 1,2402. Из таблицы А.7 находят, что распределение статистики критерия при вычислении оценок максимального правдоподобия двух параметров распределения Вейбулла аппроксимируется гамма-распределением с параметрами θ₀ = 4,9738; θ₁ = 0,066; θ₂ = 0,3049. При найденном значении статистики в соответствии с гамма-распределением вычисляют вероятность P{S>S^*_K} = 0,00154. Следовательно, при задании уровня значимости α > 0,00154 проверяемая гипотеза должна быть отклонена.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.2 вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле (12): S^*_m = 4,6028. Из таблицы А.11 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП двух параметров распределения Вейбулла подчиняется логарифмически нормальному распределению с параметрами θ₀ = 0,1501; θ₁ = 0,5108. При найденном значении статистики вычисляют в соответствии с логарифмически нормальным законом вероятность P{S_m>S^*_m} = 0,00352.

в) Критерий типа ω² Мизеса

В соответствии с 3.2.3 вычисляют значение статистики типа ω² Мизеса по формуле (16): S^*_ω = 0,347. Из таблицы А.13 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП двух параметров распределения Вейбулла подчиняется логарифмически нормальному распределению с параметрами θ₀ = 0,5379; θ₁ = -2,9541. При найденном значении статистики вычисляют в соответствии с логарифмически нормальным законом вероятность P{S_ω>S^*_ω} = 0,00021.

г) Критерий типа Ω² Мизеса

В соответствии с 3.2.4 вычисляют значение статистики Ω² Мизеса по формуле (16): S^*_Ω = 2,553. Из таблицы А.17 находят, что при вычислении ОМП двух параметров распределения Вейбулла распределение статистики критерия хорошо аппроксимируется распределением Su-Джонсона с параметрами θ₀= -2,4622; θ₁ = 1,6473; θ₂ = 0,1075; θ₃ = 0,1149. При найденном значении статистики вычисляют по распределению Su-Джонсона вероятность P{S^*_Ω>S^*_Ω} = 0,000066.

Таким образом, по всем критериям выборка плохо согласуется с распределением Вейбулла и проверяемая гипотеза должна быть отклонена.

Пример 6 Проверяют сложную гипотезу о принадлежности выборки гамма-распределению с параметром формы θ₀ = 2, параметром сдвига θ₂ = 0. Упорядоченная выборка объемом 100 наблюдений имеет вид:

Проверяемая гипотеза имеет вид

H₀: .

Вычисленная по выборке оценка максимального правдоподобия параметра масштаба  = 1,02818.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.5.1 вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле (6): S^*_K = 0,4917. Из таблицы А.21 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП масштабного параметра гамма-распределения подчиняется распределению Su-Джонсона с параметрами θ₀ = -2,2691; θ₁ = 2,2383; θ₂ = 0,2323; θ₃ = 0,3958. При найденном значении статистики по распределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{S>S^*_K} = 0,9146. Следовательно, согласие очень хорошее и проверяемая гипотеза должна быть принята.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.5.2 вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле (12): S^*_m = 0,9419. Из таблицы А.23 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметра масштаба гамма-распределения подчиняется распределению Su-Джонсона с параметрами θ₀ = -2,5372; θ₁ = 1,3749; θ₂ = 0,3464; θ₃ = 0,2162. При найденном значении статистики по распределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{S_m>S^*_m} = 0,6897, значение которой указывает на хорошее согласие.

в) Критерий типа ω² Мизеса

В соответствии с 3.2.5.3 вычисляют значение статистики типа ω² Мизеса по формуле (16): S^*_ω = 0,0475. Из таблицы А.25 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметра масштаба гамма-распределения подчиняется распределению Su-Джонсона с параметрами θ₀ = -1,6042; θ₁ = 1,1125; θ₂ = 0,0027; θ₃ = 0,0281. При найденном значении статистики по распределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{S_ω>S^*_ω} = 0,7498.

г) Критерий типа Ω² Мизеса

В соответствии с 3.2.5.4 вычисляют значение статистики Ω² Мизеса по формуле (16): S^*_Ω = 0,2675. Из таблицы А.27 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметра масштаба гамма-распределения подчиняется распределению Su-Джонсона с параметрами θ₀ = -2,4667; θ₁ = 1,418; θ₂ = 0,1207; θ₃ = 0,1416. При найденном значении статистики по данному распределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{S_Ω>S^*_Ω} = 0,8798.

Таким образом, по всем критериям выборка хорошо согласуется с гамма-распределением и проверяемая гипотеза должна быть принята.

Пример 7 Проверяют сложную гипотезу о принадлежности выборки гамма-распределению с параметром сдвига θ₂ = 0. Упорядоченная выборка объемом 100 наблюдений имеет вид:

Проверяемая гипотеза имеет вид

H₀: .

Вычисленные по выборке ОМП параметров формы и масштаба соответственно равны  = 0,5812;  =2,7391. В таблицах А.21 - А.28 ближайшее значение параметра формы θ₀ = 0,5.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.5.1 вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле (6): S^*_K = 0,6272. Из таблицы А.21 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметров формы и масштаба гамма-распределения при θ₀ = 0,5 подчиняется распределению Su-Джонсона с параметрами θ₀ = -2,8715; θ₁ = 2,5280; θ₂ = 0,2325; θ₃ = 0,3296. При найденном значении статистики по данному распределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{S>S^*_K} = 0,5699. Так как оценка параметра формы больше 0,5, то при θ₀ = 0,5812 P{S>S^*_K} > 0,5699. Следовательно, проверяемая гипотеза должна быть принята.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.5.2 вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле (12): S^*_m = 1,1526. Из таблицы А.23 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметров формы и масштаба гамма-распределения при θ₀ = 0,5 подчиняется распределению Su-Джонсона с параметрами θ₀ = -2,4027; θ₁ = 1,3861; θ₂ = 0,3389; θ₃ = 0,2290. При найденном значении статистики по данному распределению Su-Джонсона вычисляют, что вероятность P{S_m>S^*_m} > 0,5031.

в) Критерий типа ω² Мизеса

В соответствии с 3.2.5.3 вычисляют значение статистики типа ω² Мизеса по формуле (16): S^*_ω = 0,0561. Из таблицы А.25 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметров формы и масштаба гамма-распределения при θ₀ = 0,5 подчиняется распределению Su-Джонсона с параметрами θ₀ = -1,5811; θ₁ = 1,1193; θ₂ = 0,0164; θ₃ = 0,0243. При найденном значении статистики по данному распределению Su-Джонсона вычисляют, что вероятность P{S_ω>S^*_ω} > 0,4985.

г) Критерий типа Ω² Мизеса

В соответствии с 3.2.5.4 вычисляют значение статистики Ω² Мизеса по формуле (16): S^*_Ω = 0,3746. Из таблицы А.27 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметров формы и масштаба гамма-распределения при θ₀ = 0,5 подчиняется распределению Su-Джонсона с параметрами θ₀ = -2,6917; θ₁ = 1,6334; θ₂ = 0,0970; θ₃ = 0,1067. При найденном значении статистики по данному распределению Su-Джонсона вычисляют, что вероятность P{S_Ω>S^*_Ω} > 0,4400.

Таким образом, по всем критериям выборка хорошо согласуется с гамма-распределением и проверяемая гипотеза должна быть принята.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

(рекомендуемое)

ТАБЛИЦЫ
распределений статистик непараметрических критериев согласия при простых и сложных гипотезах

Таблица А.1 - Функция распределения статистики Колмогорова K(S) при проверке простой гипотезы

Таблица А.2 - Процентные точки распределения статистики Колмогорова при проверке простой гипотезы

Таблица А.3 - Функция распределения статистики ω² Мизеса а1(S) при проверке простой гипотезы

Таблица А.4 - Процентные точки распределения статистики ω² Мизеса при проверке простой гипотезы

Таблица А.5 - Функция распределения статистики Ω² Мизеса (Андерсона - Дарлинга) a2(S) при проверке простой гипотезы

Таблица А.6 - Процентные точки распределения статистики Ω² Мизеса (Андерсона - Дарлинга) при проверке простой гипотезы

Таблица А.7 - Аппроксимация предельных распределений статистики Колмогорова при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.8 - Процентные точки распределения статистики Колмогорова при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.9 - Аппроксимация предельных распределений минимума статистики Колмогорова (при использовании MD-оценок, минимизирующих статистику S_K)

Таблица А.10 - Процентные точки распределения минимума статистики Колмогорова (при использовании MD-оценок, минимизирующих статистику S_K)

Таблица А.11 - Аппроксимация предельных распределений статистики Смирнова при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.12 - Процентные точки распределения статистики Смирнова при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.13 - Аппроксимация предельных распределений статистики ω² Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.14 - Процентные точки распределения статистики ω² Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.15 - Аппроксимация предельных распределений минимума статистики ω² Мизеса (при использовании MD-оценок, минимизирующих статистику S_ω)

Таблица А.16 - Процентные точки распределения минимума статистики ω² Мизеса (при использовании MD-оценок, минимизирующих статистику S_ω)

Таблица А.17 - Аппроксимация предельных распределений статистики Ω² Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.18 - Процентные точки распределения статистики Ω² Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.19 - Аппроксимация предельных распределений статистики Ω² Мизеса (при использовании MD-оценок, минимизирующих статистику S_Ω)

Таблица А.20 - Процентные точки распределения минимума статистики Ω² Мизеса (при использовании MD-оценок, минимизирующих статистику S_Ω)

Таблица А.21 - Аппроксимация предельных распределений статистики Колмогорова при использовании метода максимального правдоподобия и проверке согласия с гамма-распределением

Таблица А.22 - Процентные точки распределения статистики Колмогорова при использовании метода максимального правдоподобия и проверке гипотезы о согласии с гамма-распределением

Таблица А.23 - Аппроксимация предельных распределений статистики Смирнова при использовании метода максимального правдоподобия и проверке согласия с гамма-распределением

Таблица А.24 - Процентные точки распределения статистики Смирнова при использовании метода максимального правдоподобия и проверке гипотезы о согласии с гамма-распределением

Таблица А.25 - Аппроксимация предельных распределений статистики ω² Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия и проверке согласия с гамма-распределением

Таблица А.26 - Процентные точки распределения статистики ω² Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия и проверке гипотезы о согласии с гамма-распределением

Таблица А.27 - Аппроксимация предельных распределений статистики Ω² Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия и проверке согласия с гамма-распределением

Таблица А.28 - Процентные точки распределения статистики Ω² Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия и проверке гипотезы о согласии с гамма-распределением

Таблица А.29 - Модели предельных распределений статистик непараметрических критериев при проверке гипотез о согласии с распределением Sb-Джонсона

Таблица А.30 - Модели предельных распределений статистик непараметрических критериев при проверке гипотез о согласии с распределением Sl-Джонсона

Таблица А.31 - Модели предельных распределений статистик непараметрических критериев при проверке гипотез о согласии с распределением Su-Джонсона

Таблица А.32 - Процентные точки распределения статистики Колмогорова при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.33 - Процентные точки распределения статистики ω² Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.34 - Процентные точки распределения статистики Ω² Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

(справочное)

Библиография

[1] Денисов В. И., Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим: Методические рекомендации. Часть I. Критерии типа χ². - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. - С. 126

[2] Kolmogoroff A.N. Sulla determinazione empirica di una legge di distribuzione. // G. Ist. Ital. attuar. - 1933. - Vol. 4. - № 1.-P. 83-91

[3] Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1983. - 416 с.

[4] Anderson Т. W., Darling D. A. Asymptotic theory of certain «Goodness of fit» criteria based on stochastic processes. - AMS, 1952, 23. - P. 193-212

[5] Орлов А. И. Распространенная ошибка при использовании критериев Колмогорова и омега-квадрат // Заводская лаборатория. - 1985. - Т. 51. - № 1. - С. 60-62

[6] Бондарев Б. В. О проверке сложных статистических гипотез // Заводская лаборатория. - 1986.- Т. 52. - № 10.-С. 62-63

[7] Кулинская Е. В., Саввушкина Н. Е. О некоторых ошибках в реализации и применении непараметрических методов в пакете для IBM PC // Заводская лаборатория. - 1990. - Т. 56. - № 5. - С. 96-99

[8] Каc М., Kiefer J., Wolfowitz J. On tests of normality and other tests of goodness of fit based on distance methods // Ann. Math. Stat. - 1955. - V. 26. - P. 189-211

[9] Durbin J. Kolmogoriv - Smirnov test when parameters are estimated // Lect. Notes Math. - 1976. - V. 566. - P. 33-44

[10] Мартынов Г. В. Критерии омега-квадрат. - М.: Наука, 1978. - 80 с.

[11] Pearson Е. S., Hartley Н. O. Biometrica tables for Statistics. V. 2. - Cambridge: University Press, 1972. - 634 p.

[12] Stephens M. A. Use of Kolmogorov - Smirnov, Cramer - von Mises and related statistics - without extensive table // J. R. Stat. Soc. - 1970. - B. 32. - P. 115-122

[13] Stephens M. A. EDF statistics for goodness of fit and some comparisons // J. Am. Statist. Assoc. - 1974. - V. 69. - P. 730-737

[14] Chandra M., Singpurwalla N. D., Stephens M. A. Statistics for Test of Fit for the Extrem-Value and Weibull Distribution // J. Am. Statist. Assoc. - 1981. - V. 76. - P. 375

[15] Тюрин Ю. Н. О предельном распределении статистик Колмогорова - Смирнова для сложной гипотезы // Изв. АН СССР. Сер. Матем. - 1984. - Т. 48. - № 6. - С. 1314 - 1343

[16] Тюрин Ю. Н., Саввушкина Н. Е. Критерии согласия для распределения Вейбулла - Гнеденко // Изв. АН СССР. Сер. Техн. Кибернетика. - 1984. - № 3. - С. 109-112

[17] Тюрин Ю. Н. Исследования по непараметрической статистике (непараметрические методы и линейная модель): Автореф. дисс. д-ра физ.-мат. наук. - М., 1985. - 33 с. - (МГУ)

[18] Саввушкина Н. Е. Критерий Колмогорова - Смирнова для логистического и гамма-распределения // Сб. тр. ВНИИ систем. исслед. - 1990, № 8

[19] Тюрин Ю. Н., Макаров А. А. Анализ данных на компьютере. - М.: ИНФРА-М, Финансы и статистика, 1995.-384 с.

[20] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Прикладные аспекты использования критериев согласия в случае проверки сложных гипотез // Надежность и контроль качества. - 1997. - № 11. - С. 3-17

[21] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. О распределениях статистик непараметрических критериев согласия при оценивании по выборкам параметров наблюдаемых законов // Заводская лаборатория. - 1998.-Т. 64. - № 3.- С. 61-72

[22] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Исследование допредельных распределений статистик критериев согласия при проверке сложных гипотез // Тр. IV международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения». - Новосибирск. - 1998. - Т. 3. - С. 12 - 16

[23] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. О зависимости распределений статистик непараметрических критериев и их мощности от метода оценивания параметров // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2001. - Т. 67. - № 7

[24] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Применение непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез // Автометрия. - 2001, - № 2.- С. 88-102

[25] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. О зависимости предельных распределений статистик χ² Пирсона и отношения правдоподобия от способа группирования данных // Заводская лаборатория. - 1998. - Т. 64. - № 5. - С. 56-63

[26] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Статистический анализ одномерных наблюдений по частично группированным данным // Изв. вузов. Физика. - Томск, 1995. - № 9. - С. 39-45

[27] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Статистический анализ смесей распределений по частично группированным данным // Сб. научных трудов НГТУ. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1995. - № 1. - С. 25-31

[28] Орлов А. И. Методы оценки близости допредельных и предельных распределений статистик // Заводская лаборатория. - 1998. - Т. 64. - № 5. - С. 64-67

[29] Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. - М.: Наука, 1982. - 296 с.

[30] Орлов А. И. Неустойчивость параметрических методов отбраковки резко выделяющихся наблюдений // Заводская лаборатория. - 1992. - Т. 58. - № 7. - С. 40-42

[31] Денисов В. И., Лемешко Б. Ю., Цой Е. Б. Оптимальное группирование, оценка параметров и планирование регрессионных экспериментов: В 2 ч. / Новосиб. гос. техн. ун-т. - Новосибирск, 1993. - 346 с.

[32] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Вопросы обработки выборок одномерных случайных величин // Научный вестник НГТУ. - Новосибирск, 1996. - № 2. - С. 3-24

[33] Лемешко Б. Ю. Асимптотически оптимальное группирование наблюдений - это обеспечение максимальной мощности критериев // Надежность и контроль качества. - 1997. - № 8. - С. 3-14

[34] Лемешко Б. Ю. Асимптотически оптимальное группирование наблюдений в критериях согласия // Заводская лаборатория. - 1998. - Т. 64. - № 1. - С. 56-64

[35] Rao С. R. Criteria of estimation in large samples // Sankhua, 1962. - V. 25. - P. 189-206

[36] Pao С. Р. Линейные статистические методы и их применения. - М.: Наука, 1968. - 548 с.

[37] Губарев В. В. Вероятностные модели: Справочник. В 2 ч. / Новосиб. электротехн. ин-т. - Новосибирск, 1992. - 422 с.