Справочник Раздел 3 «Таблицы для проектирования мостов. Раздел 3. Данные к статическому расчету мостовых конструкций»

§ 32. Неразрезные многопролетные балки

Общие замечания

Для расчета многопролетных неразрезных балок с равными пролетами приведены таблицы 146 - 160.

В таблицах 146 - 151 для двух- и трехпролетных балок с равными пролетами и постоянным моментом инерции приведены ординаты линий влияния моментов и опорных реакции, а также площади линии влияния моментов и поперечных сил. Ординаты линий влияния для поперечных сил приведены на рисунках 33, 34 и 36.

Очертания остальных линий влияния и обозначения даны на рисунках 32 и 35.

Рис 32. Линии влияния усилий в двухпролетной балке

Рис. 33. Ординаты линий влияния поперечных сил в двухпролетной балке (штриховкой показана линия влияния Q₄)

Рис. 34. Ординаты линий влияния поперечных сил в первом пролете трехпролетной балки (штриховкой показана линия влияния Q₅)

Рис. 35. Линии влияния усилий в трехпролетной балке

Рис. 36. Ординаты линий влияния поперечных сил для сечений в среднем пролете трехпролетной балки (штриховкой показана линия влияния Q₁₅)

В таблицах 152 - 153 для четырехпролетной неразрезной балки с равными пролетами и постоянными моментами инерции приведены ординаты и площади линий влияния моментов поперечных сил и опорных реакций (рисунки 37 - 38).

Рис. 37. Линии влияния моментов в четырехпролетной балке

Рис. 38. Ординаты линий влияния опорных реакций и поперечных сил в четырехпролетной балке

Таблицы 146 - 153 могут применяться и в том случае, когда пролеты неразрезной балки l₁, l₂, ...l_n неравны между собой, но жесткость балки в пролетах меняется пропорционально их пролетам, т.е. если имеет место отношение В этом случае следует величине l, являющейся табличным множителем, придавать значения, соответствующие величинам пролетов, на которых расположены ординаты линий влияния M или площади влияния M и Q.

В табл. 155 даются коэффициенты для вычисления фокусных расстоянии в неразрезных балках с постоянным моментом инерции при некоторых соотношениях в длинах пролетов.

В таблицах 156 - 157 для неразрезных балок с постоянными моментами инерции приведены формулы для определения усилии в балках, вызываемых осадками опор.

Для приближенного определения расчетных моментов и опорных реакции в двух- и трехпролетных балках с учетом влияния переменности моментов инерции по длине пролета (наличие прямолинейных или параболических вут) могут быть использованы таблицы 158 - 160.

Моменты для балок с 5 и более пролетами, особенно от подвижной нагрузки, сравнительно мало отличаются от моментов для балки с 4 пролетами. Поэтому на практике при расчете многопролетных балок обычно ограничиваются рассмотрением четырехпролетной балки.

Необходимо помнить, что величина площади и ординаты линии влияния определяются по таблицам путем умножения табличных коэффициентов на множители:

l² - для площадей линий влияния M,

l - » » » » Q,

l - » ординат линий влияния М,

где l - длина пролета.

Таблица 146

Ординаты линий влияния моментов и опорных реакций для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами (рис. 32)

№ ординаты (положение груза P-1)	Ординаты линий влияния y
	моментов в сечениях							опорных реакции
	х = 0,2l	х = 0,4l	х = 0,5l	х = 0,6l	х = 0,8l	х = 0,9l	х = 1,0l	крайней	средней
	M₂	M₄	M₅	M₆	M₈	M₉	M₁₀	A	B
0	0	0	0	0	0	0	0	1,0000	0
1	0,0751	0,0501	0,0376	0,0252	0,0002	-0,0123	-0,0248	0,8753	0,1495
2	0,1504	0,1008	0,0760	0,0512	0,0016	-0,0232	-0,0480	0,7520	0,2960
3	0,1264	0,1527	0,1159	0,0791	0,0054	-0,0311	-0,0683	0,6318	0,4365
4	0,1032	0,2064	0,1580	0,1096	0,0128	-0,0356	-0,0840	0,5160	0,5680
5	0,0813	0,1625	0,2031	0,1438	0,0250	-0,0344	-0,0938	0,4063	0,6875
6	0,0608	0,1216	0,1520	0,1824	0,0432	-0,0264	-0,0960	0,3040	0,7920
7	0,0422	0,0843	0,1054	0,1265	0,0686	-0,0103	-0,0893	0,2108	0,8785
8	0,0256	0,0512	0,0640	0,0768	0,1024	0,0152	-0,0720	0,1280	0,9440
9	0,0115	0,0229	0,0286	0,0344	0,0458	0,0515	-0,0428	0,0573	0,9855
10	0	0	0	0	0	0	0	0	1,000
11	-0,0086	-0,0171	-0,0214	-0,0257	-0,0342	-0,0385	-0,0428	-0,0428	0,9855
12	-0,0114	-0,0288	-0,0360	-0,0432	-0,0576	-0,0648	-0,0720	-0,0720	0,9440
13	-0,0179	-0,0357	-0,0416	-0,0536	-0,0714	-0,0803	-0,0893	-0,0893	0,8785
14	-0,0192	-0,0384	-0,0480	-0,0576	-0,0768	-0,0864	-0,0960	-0,0960	0,7920
15	-0,0188	-0,0375	-0,0469	-0,0563	-0,0750	-0,0844	-0,0938	-0,0938	0,6875
16	-0,0168	-0,0336	-0,0420	-0,0501	-0,0672	-0,0756	-0,0840	-0,0840	0,5680
17	-0,0137	-0,0273	-0,0341	-0,0410	-0,0546	-0,0611	-0,0683	-0,0683	0,4365
18	-0,0096	-0,0192	-0,0240	-0,0288	-0,0384	-0,0432	-0,0480	-0,0480	0,2950
19	-0,0050	-0,0099	-0,0124	-0,0149	-0,0198	-0,0223	-0,0248	-0,0248	0,1495
20	0	0	0	0	0	0	0	0	0
Множитель	l							1,00

Таблица 147

Площади линий влияния моментов и опорных реакций для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами (см рис. 32)

ω	Плошали линии слиянии
	моментов в сечениях							опорых реакций
	х = 0,2l	х = 0,4l	х = 0,5l	х = 0,6l	х = 0,8l	х = 0,9l	х = 1,0l	крайней	средней
	M₂	M₄	M₅	M₆	M₈	M₉	M₁₀	A	B
ω₁	+0,0675	+0,0950	+0,09375	+0,08250	+0,0300	-0,0175 +0,00611	-0,0625	+0,4375	-
ω₂	-0,0125	-0,0250	-0,03125	-0,03750	-0,0500	-0,05611	-0,0625	-0,0625	-
ω₃	-	-	-	-	-	-	-	-	+1,25
∑ω	+0,055	+0,0700	+0,0625	+0,0450	-0,0200	-0,0675	-0,1250	+0,375	+1,25
Множитель	l²							l

Таблица 148

Площади линий влияния поперечных сил (см. рис. 33) для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами

ω	Плошали линий влияния для поперечных сил в сечениях
	х = 0	х = 0,2l	х = 0,4l	х = 0,5l	х = 0,6l	х = 0,8l	х = 0,9l	х = 1,0l	Множитель
	Q₀	Q₂	Q₁	Q₅	Q₆	Q₈	Q₉	Q_10(лев)	Множитель
-ω₁	0	-0,0249	-0,0984	-0,1523	-0,2169	-0,3744	-0,4652	-0,5625		l
+ω₁	+0,4375	+0,2624	+0,1359	+0,0898	+0,0544	+0,0119	+0,0027	0
-ω₂	-0,0625	-0,0625	-0,0625	-0,0625	-0,0625	-0,0625	-0,0625	-0,0625
∑ω	+0,375	+0,175	-0,025	-0,125	-0,225	-0,425	-0,525	-0,625

Таблица 149

Ординаты линий слияния моментов и опорных реакций для трехпролетной неразрезной балки с равными пролетами (рис. 35)

№ ординаты	Ординаты линий влияния y
	моментов в сечениях									опорных реакций
	х = 0,2l	х = 0,4l	х = 0,6l	х = 0,8l	х = 0,9l	х = 1,0l	х = 1,1l	х = 1,2l	х = 1,5l	крайней	средней
	M₂	M₄	M₆	M₈	M₉	M₁₀	M₁₁	M₁₂	M₁₅	A	B
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1,0000	0
1	0,0747	0,0494	0,0242	-0,0011	-0,0138	-0,0264	-0,0231	-0,0198	-0,0099	0,8736	0,1594
2	0,1498	0,0995	0,0493	-0,0010	-0,0261	-0,0512	-0,0448	-0,0384	-0,0192	0,7488	0,3152
3	0,1254	0,1509	0,0763	+0,0018	-0,0355	-0,0728	-0,0637	-0,0546	-0,0273	0,6272	0,4638
4	0,1021	0,2042	0,1062	0,0083	-0,0406	-0,0896	-0,0784	-0,0672	-0,0336	0,5104	0,6016
5	0,0800	0,1600	0,1400	0,0200	-0,0400	-0,1000	-0,0875	-0,0750	-0,0375	0,4000	0,7250
6	0,0595	0,1190	0,1786	0,0381	-0,0322	-0,1024	-0,0896	-0,0768	-0,0384	0,2976	0,8364
7	0,0410	0,0819	0,1229	0,0638	-0,0157	-0,0952	-0,0833	-0,0714	-0,0357	0,2048	0,9142
8	0,0246	0,0493	0,0739	0,0986	+0,0109	-0,0768	-0,0672	-0,0576	-0,0288	0,1232	0,9728
9	0,0109	0,0218	0,0326	0,0435	0,0490	-0,0456	-0,0399	-0,0342	-0,0171	0,0544	1,0026
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1,000
11	-0,0078	-0,0156	-0,0234	-0,0312	-0,0351	-0,0390	+0,0534	0,0458	0,0230	-0,0390	0,9630
12	-0,0128	-0,0256	-0,0384	-0,0512	-0,0576	-0,0640	+0,0192	0,1024	0,0520	-0,0640	0,8960
13	-0,0154	-0,0308	-0,0462	-0,0616	-0,0693	-0,0770	-0,0042	0,0686	0,0870	-0,0770	0,8050
14	-0,0160	-0,0320	-0,0480	-0,0640	-0,0720	-0,0800	-0,0184	0,0432	0,1280	-0,0800	0,6960
15	-0,0150	-0,0300	-0,0450	-0,0600	-0,0675	-0,0750	-0,0250	0,0250	0,1750	-0,0750	0,5750
16	-0,0128	-0,0256	-0,0384	-0,0512	-0,0576	-0,0640	-0,0256	0,0128	0,1280	-0,0640	0,4480
17	-0,0098	-0,0196	-0,0294	-0,0392	-0,0441	-0,0490	-0,0218	0,0054	0,0870	-0,0490	0,3210
18	-0,0064	-0,0128	-0,0192	-0,0256	-0,0288	-0,0320	-0,0152	0,0016	0,0520	-0,0320	0,2000
19	-0,0030	-0,0060	-0,0090	-0,0120	-0,0135	-0,0150	-0,0074	0,0002	0,0230	-0,0150	0,0910
20	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
21	0,0023	0,0046	0,0068	0,0091	0,0103	0,0114	0,0057	0	-0,0171	0,0114	-0,0684
22	0,0038	0,0077	0,0115	0,0154	0,0173	0,0192	0,0096	0	-0,0288	0,0192	-0,1152
23	0,0048	0,0095	0,0143	0,0190	0,0214	0,0238	0,0119	0	-0,0357	0,0238	-0,1428
24	0,0051	0,0102	0,0154	0,0205	0,0230	0,0256	0,0128	0	-0,0384	0,0256	-0,1536
25	0,0050	0,0100	0,0150	0,0200	0,0225	0,0250	0,0125	0	-0,0375	0,0250	-0,1500
26	0,0045	0,0090	0,0134	0,0179	0,0202	0,0224	0,0112	0	-0,0336	0,0224	-0,1344
27	0,0036	0,0073	0,0109	0,0146	0,0164	0,0182	0,0091	0	-0,0273	0,0182	-0,1092
28	0,0026	0,0051	0,0077	0,0102	0,0115	0,0128	0,0064	0	-0,0192	0,0128	-0,0768
29	0,0013	0,0026	0,0040	0,0053	0,0059	0,0066	0,0033	о	-0,0099	0,0066	-0,0396
30	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
Множитель	l									1,00

Таблица 150

Площади линии влияния моментов и опорная реакция для трехпролетной неразрезной балки с равными пролетали (рис. 35)

ω	Площади линий влияния
	моментов в сечениях									опорных реакций
	х = 0,2l	х = 0,4l	х = 0,6l	х = 0,8l	х = 0,9l	х = 1,0l	х = 1,1l	х = 1,2l	х = 1,5l	крайней	средней
	M₂	M₁	M₆	M₈	M₉	M₁₀	M₁₁	M₁₂	M₁₅	A	B
ω₁	+0,0668	+0,0934	+0,0800	-0,0006 +0,0270	-0,0209 +0,0056	-0,0667	-0,0578	-0,0500	-0,0250	+0,433	-
ω₂	-0,0100	-0,0200	-0,0300	-0,0396	-0,04452	-0,0500	+0,0072 -0,0124	+0,0300	+0,0750	-0,050	-
ω_1-2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	+1,200
ω₃	+0,0032	+0,0066	+0,0100	+0,0132	+0,01482	+0,0167	+0,0080	0	-0,0250	+0,017	-0,100
∑ω	+0,0600	+0,0800	+0,0600	0	-0,0450	-0,100	-0,0550	-0,0200	+0,0250	+0,400	+1,100
Множитель	l²									l

Таблица 151

Площади линий влияния поперечных сил для трехпролетной неразрезной балки с равными пролетами (рисунки 34 и 36)

Площади линий влияния Q в сечениях

х = 0

х = 0,2l

х = 0,4l

х = 0,5l

х = 0,6l

х = 0,8l

х = 0,9l

х = l

х = 1,1l

х = 1,2l

х = 1,5l

Q₀

Q₂

Q₄

Q₅

Q₆

Q₈

Q₉

Q_10(лев)

Q_10(прав)

Q₁₁

Q₁₂

Q₁₅

±ω₁

-0,4333

+0,2585

-0,0252

+0,1329

-0,0996

+0,0875

-0,1542

+0,0527

-0,2194

+0,0113

-0,3780

+0,0026

-0,4691

-0,5657

+0,0833

±ω₂

-0,050

+0,500

+0,4037

-0,0037

+0,3158

-0,0158

+0,1146

-0,1146

±ω₃

+0,0167

-0,0833

∑ω

0,400

0,200

0,000

-0,1000

-0,200

-0,400

-0,500

-0,600

+0,500

+0,400

+0,300

Множитель

Таблица 152

Ординаты линий влияния моментов четырехпролетной неразрезной балки с равными пролетами (рис. 37)

Пролет	№ ординаты	Ординаты линий влияния у моментов в сечениях
						x = l				x = 2l	Множитель
		M₁	M₂	M₃	M₄	M₆	M₈	M₉	M₁₀	M₁₂	Множитель
1-й пролет	1	+0,13166	+0,09664	+0,06163	+0,02662	-0,04340	-0,02508	-0,01592	-0,00675	+0,01157
	2	+0,09788	+0,19577	+0,12699	+0,05820	-0,07936	-0,04586	-0,02910	-0,01235	+0,02116
	3	+0,06659	+0,13319	+0,19978	+0,09970	-0,10045	-0,05803	-0,03683	-0,01563	+0,02679
	4	+0,03902	+0,07804	+0,11706	+0,15608	-0,09921	-0,05732	-0,03638	-0,01543	+0,02645
	5	+0,01641	+0,03282	+0,04923	+0,06564	-0,06820	-0,03941	-0,02501	-0,01061	+0,01819
	6	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2-й пролет	7	-0,00944	-0,01888	-0,02832	-0,03775	-0,05663	+0,06399	+0,04096	+0,01794	-0,02811	l
	8	-0,01301	-0,02601	-0,03902	-0,05203	-0,07804	+0,15081	+0,09856	+0,04632	-0,05816
	9	-0,01228	-0,02455	-0,03683	-0,04911	-0,07366	+0,09077	+0,17299	+0,08854	-0,08036
	10	-0,00882	-0,01764	-0,02646	-0,03527	-0,05291	+0,04762	+0,09788	+0,14815	-0,08466
	11	-0,00420	-0,00840	-0,01261	-0,01681	-0,02522	+0,01835	-0,04014	+0,06192	-0,06118
	12	0	0	0	0	0	0	0	0	0
3-й пролет	13	+0,00255	+0,00510	+0,00765	+0,01020	+0,01529	-0,01020	-0,02294	-0,03569	-0,06118	l
	14	+0,00353	+0,00706	+0,01058	+0,01411	+0,02116	-0,01411	-0,03175	-0,04938	-0,08466
	15	+0,00335	+0,00670	+0,01005	+0,01339	+0,02009	-0,01339	-0,03013	-0,04687	-0,08036
	16	+0,00242	+0,00485	+0,00727	+0,00969	+0,01454	-0,00969	-0,02181	-0,03393	-0,05816
	17	+0,00117	+0,00234	+0,00351	+0,00468	+0,00703	-0,00468	-0,01054	-0,01640	-0,02811
	18	0	0	0	0	0	0	0	0	0
4-й пролет	19	-0,00076	-0,00152	-0,00227	-0,00303	-0,00455	+0,00303	+0,00682	+0,01061	+0,01819	l
	20	-0,00110	-0,00220	-0,00331	-0,00441	-0,00661	+0,00441	+0,00992	+0,01543	+0,02645
	21	-0,00120	-0,00224	-0,00335	-0,00448	-0,00670	+0,00448	+0,01004	+0,01562	+0,02679
	22	-0,00088	-0,00176	-0,00265	-0,00353	-0,00529	+0,00353	+0,00794	+0,01234	+0,02116
	23	-0,00048	-0,00097	-0,00145	-0,00193	-0,00289	+0,00193	+0,00434	+0,00675	+0,01157
	24	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Таблица 153

Площади линий влияния моментов для четырехпролетной неразрезной балки с равными пролетами (см. рис. 37)

Пролеты	Площади	Площади линий влияния моментов в сечениях
		1	2	3	4	6	8	9	10	12	Множители
		M₁	M₂	M₃	M₄	M₆	M₈	M₉	M₁₀	M₁₂	Множители
1	ω₁	+0,05828	+0,08879	+0,09152	+0,06647	-0,06696	-0,03869	-0,02453	-0,01042	+0,01786	l²
2	ω₂	-0,00819	-0,01637	-0,02455	-0,03274	-0,04911	+0,06052	+0,07366	+0,05903	-0,05357	l²
3	ω₃	+0,00223	+0,00446	+0,00670	+0,00893	+0,01339	-0,00893	-0,02009	-0,03125	-0,05357	l²
4	ω₄	-0,00074	-0,00149	-0,00223	-0,00298	-0,00445	+0,00298	+0,00670	+0,01042	+0,01786	l²
	∑ω	+0,0517	+0,0754	+0,0714	+0,0397	-0,1071	+0,0159	+0,0357	+0,0278	-0,0714	l²

Таблица 154

Площади линий влияния поперечных сил Q и опорных реакций для четырехпролетной неразрезнои балки с равными пролетами (рис. 38)

Площади линий влияния Q в сечениях

Площади линий влияния опорных реакций

Q₃

Q_6лев

Q_6прав

Q₉

Q_12лев

Q_12прав

ω₁

0,088

0,155

0,567

0,085

0,022

0,433

0,652

0,107

ω₂

0,049

0,496

0,112

0,116

0,504

0,067

0,049

0,545

0,571

ω₃

0,013

0,067

0,504

0,013

0,080

0,571

ω₄

0,004

0,022

0,085

0,004

0,027

0,107

∑ω

0,101

0,208

0,013

0,620

0,603

0,067

0,219

0,183

0,107

0,571

0,107

0,446

0,053

1,224

0,080

1,142

0,214

Множитель

Таблица 155

Значения коэффициентов фокусных расстояний для двух-, трех- и четырехпролетных балок (рис. 39)

Рис. 39.

Количество пролетов	Коэффициенты фокусных расстояний	Отношение длин пролетов
		1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
		Значения коэффициентов α, β и γ
2	α	0,200	0,192	0,185	0,178	0,172	0,166	0,161	0,157	0,152	0,148	0,144
2	β	0,200	0,228	0,257	0,286	0,316	0,346	0,377	0,407	0,438	0,469	0,500
3	α	0,210	0,203	0,197	0,191	0,185	0,180	0,175	0,171	0,167	0,163	0,159
3	β	0,200	0,228	0,257	0,286	0,316	0,346	0,376	0,407	0,438	0,469	0,500
4	α	0,211	0,204	0,197	0,191	0,185	0,180	0,175	0,170	0,165	0,160	0,156
	β	0,200	0,228	0,257	0,286	0,316	0,346	0,376	0,407	0,437	0,469	0,500
	γ	0,211	0,232	0,254	0,276	0,298	0,319	0,341	0,363	0,385	0,407	0,428

Таблица 156

Опорные моменты неразрезных балок, вызванные осадками опор

Схема балки	Опорный момент	Значение опорных моментов при осадке опоры			Множитель
Схема балки	Опорный момент	0	1	2	Множитель
Двухпролетная с равными пролетами	M₁	-1,500	3,000	-
Трехпролетная с равными пролетами	M₁	-1,600	3,600	-
Трехпролетная с равными пролетами	M₂	0,400	-2,400	-
Трехпролетная с пролетами l + ml + l	M₁			-
Трехпролетная с пролетами l + ml + l	M₂			-
Четырехпролетная с равными пролетами	M₁	-1,607	3,643	-2,571
	M₂	0,429	-2,571	4,286
	M₃	-0,107	0,643	-2,571
Четырехпролетная с пролетами l + ml + ml + l	M₁
	M₂
	M₃

Таблица 157

Опорные реакции неразрезных балок, вызванные осадками опор

Схема балки	Опорная реакция	Значение опорных реакций при осадке опоры		Множитель
Схема балки	Опорная реакция	0	1	Множитель
Двухпролетная с равными пролетами	R₀
Двухпролетная с равными пролетами	R₁
Трехпролетная с равными пролетами 1 = li	R₀
	R₁
	R₂
	R₃
Трехпролетная с неравными пролетами 1 = m/j	R₀
	R₁
	R₂
	R₃

Примечание. Знак + соответствует реакции, направленной вверх.

Таблица 158

Значения коэффициента μ к таблицам 159 и 160 при различных величинах .

I. Прямолинейный вут

II. Параболический вут

Значения коэффициента μ при n равном

1,00

0,60

0,30

0,20

0,15

0,12

0,10

0,08

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,50

1,000

0,891

0,907

0,815

0,810

0,768

0,765

0,740

0,736

0,720

0,716

0,703

0,702

0,685

0,664

0,665

0,652

0,654

0,639

0,641

0,621

0,627

0,600

0,610

0,40

1,000

0,899

0,909

0,792

0,815

0,743

0,771

0,712

0,744

0,692

0,724

0,676

0,712

0,659

0,697

0,637

0,677

0,626

0,668

0,613

0,656

0,600

0,642

0,583

0,626

0,35

1,000

0,897

0,913

0,791

0,821

0,744

0,781

0,714

0,754

0,693

0,737

0,680

0,724

0,663

0,709

0,644

0,692

0,635

0,683

0,622

0,672

0,610

0,659

0,594

0,643

0,30

1,000

0,900

0,918

0,798

0,833

0,752

0,795

0,725

0,772

0,705

0,755

0,692

0,742

0,678

0,729

0,661

0,713

0,651

0,704

0,641

0,694

0,628

0,681

0,616

0,667

0,25

1,000

0,904

0,924

0,810

0,848

0,768

0,814

0,743

0,791

0,727

0,777

0,714

0,766

0,701

0,755

0,686

0,740

0,677

0,731

0,660

0,722

0,657

0,711

0,646

0,698

0,20

1,000

0,914

0,935

0,830

0,868

0,793

0,337

0,771

0,818

0,757

0,806

0,746

0,797

0,734

0,786

0,721

0,773

0,714

0,767

0,705

0,758

0,697

0,749

0,686

0,737

0,15

1,000

0,928

0,946

0,857

0,893

0,826

0,867

0,809

0,581

0,809

0,841

0,788

0,834

0,778

0,825

0,768

0,814

0,761

0,809

0,755

0,801

0,748

0,794

0,738

0,783

Таблица 159

Площади линий влияния моментов и опорных реакций для двухпролетных неразрезных балок с учетом переменности моментов инерции по длине пролетов при
(предварительно по значениям n и λ определяется μ по табл. 153)

μ	Площади линий влияния
	опорного момента M_B			пролетного момента в сечении max			опорных реакций
	опорного момента M_B			пролетного момента в сечении max			A			B
	∑ω	ω₁	ω₂	∑ω	ω₁	ω₂	∑ω	ω₁	ω₂
1,00	-0,1250	-0,0625	-0,0625	+0,0703	+0,0957	-0,0254	+0,3750	+0,4375	-0,0625	+1,2500
0,95	-0,1316	-0,0658	-0,0658	+0,0679	+0,0943	-0,0264	+0,3684	+0,4342	-0,0658	+1,2632
0,90	-0,1388	-0,0694	-0,0694	+0,0652	+0,0927	-0,0275	+0,3612	+0,4306	-0,0694	+1,2776
0,85	-0,1470	-0,0735	-0,0735	+0,0623	+0,0910	-0,0287	+0,3530	+0,4265	-0,0735	+1,2940
0,80	-0,1562	-0,0781	-0,0781	+0,0591	+0,0890	-0,0299	+0,3438	+0,4219	-0,0781	+1,3124
0,75	-0,1666	-0,0833	-0,0833	+0,0556	+0,0868	-0,0312	+0,3334	+0,4167	-0,0833	+1,3332
0,70	-0,1786	-0,0893	-0,0893	+0,0516	+0,0843	-0,0327	+0,3214	+0,4107	-0,0893	+1,3572
0,65	-0,1924	-0,0962	-0,0962	+0,0473	+0,0315	-0,0342	+0,3076	+0,4038	-0,0962	+1,3848
0,60	-0,2084	-0,1042	-0,1042	+0,0425	+0,0783	-0,0358	+0,2915	+0,3958	-0,1042	+1,4168
0,55	-0,2272	-0,1136	-0,1136	+0,0372	+0,0747	-0,0375	+0,2728	+0,3864	-0,1136	+1,4544
Множитель	l²	l²	l²	l²	l²	l²	l	l	l	l

Примечания: 1. Пролеты балки одинаковые l₁ = l₂ = l.

2. Вид линий влияния и обозначения - см. рис. 34.

Таблица 160

Площади линий влияния моментов и опорных реакций для трехпролетных неразрезных балок с учетом переменности моментов инерции по длине пролетов при
(предварительно по значениям n и λ определяется μ по табл. 158)

μ	Площади линий влияния
	пролетных моментов в сечении max M
	Ml₁				Ml₂
	∑ω	ω₁	ω₂	ω₃	∑ω	ω₁	ω₂	ω₃
1,00	+0,0800	+0,0939	-0,0204	+0,0065	+0,0250	-0,025	+0,0750	-0,025
0,95	+0,0783	+0,0921	-0,0210	+0,0072	+0,0209	-0,0260	+0,0729	-0,0260
0,90	+0,0766	+0,0902	-0,0216	+0,0080	+0,0163	-0,0272	+0,0707	-0,0272
0,85	+0,0747	+0,0881	-0,0223	+0,0089	+0,0116	-0,0283	+0,0682	-0,0283
0,80	+0,0728	+0,0854	-0,0228	+0,0102	+0,0065	-0,0295	+0,0655	-0,0295
0,75	+0,0703	+0,0825	-0,0234	+0,0112	-0,0001	-0,0313	+0,0625	-0,0313
0,70	+0,0678	+0,0790	-0,0240	+0,0128	-0,0067	-0,0329	+0,0592	-0,0329
0,65	+0,0652	+0,0750	-0,0246	+0,0148	-0,0140	-0,0347	+0,0555	-0,0347
0,60	+0,0622	+0,0699	-0,0248	+0,0171	-0,0222	-0,0368	+0,0514	-0,0368
0,55	+0,0591	+0,0637	-0,0249	+0,0203	-0,0313	-0,0390	+0,0467	-0,0390
Множитель	l²				l²

Продолжение табл. 160

μ	Площади линий влияния
	опорного момента				опорных реакций
	M_B				A				B
	∑ω	ω₁	ω₂	ω₃	∑ω	ω₁	ω₂	ω₃	∑ω	ω_1-2	ω₃
1,00	-0,1000	-0,0667	-0,0500	+0,0167	+0,400	+0,433	-0,0500	+0,0167	+1,1000	+1,2001	-0,1001
0,95	-0,1042	-0,0707	-0,0521	+0,0186	+0,3958	+0,4293	-0,0521	+0,0186	+1,1042	+1,2121	-0,1079
0,90	-0,1087	-0,0753	-0,0543	+0,0209	+0,3913	+0,4247	-0,0543	+0,0209	+1,1087	+1,2258	-0,1171
0,85	-0,1134	-0,0803	-0,0568	+0,0237	+0,3866	+0,4197	-0,0568	+0,0237	+1,1134	+1,2411	-0,1277
0,80	-0,1185	-0,0866	-0,0595	+0,0276	+0,3815	+0,4134	-0,0595	+0,0276	+1,1185	+1,2603	-0,1418
0,75	-0,1251	-0,0938	-0,0625	+0,0312	+0,3749	+0,4062	-0,0625	+0,0312	+1,1251	+1,2813	-0,1562
0,70	-0,1317	-0,1024	-0,0658	+0,0365	+0,3683	+0,3976	-0,0658	+0,0365	+1,1317	+1,3071	-0,1754
0,65	-0,1390	-0,1128	-0,0695	+0,0434	+0,3610	+0,3872	-0,0695	+0,0434	+1,1390	+1,3387	-0,1996
0,60	-0,1472	-0,1261	-0,0736	+0,0525	+0,3528	+0,3739	-0,0736	+0,0525	+1,1472	+1,3783	-0,2311
0,55	-0,1563	-0,1432	-0,0782	+0,0651	-0,3437	+0,3568	-0,0782	+0,0691	+1,1563	+1,4297	-0,2734
Множитель	l²				l				l

Примечания: 1. Пролеты балки одинаковые l₁ = l₂ = l₃ = l.

2. Вид линий влияния и обозначения - см. рис. 32.

§ 33. Деформации балок

Нижеприводимые таблицы прогибов и углов поворота балок дают возможность строить линии влияния прогибов для различных сечении и углов поворота крайних опорных сечении в балках с одним, двумя, тремя и четырьмя равными пролетами, а также в консольных балках от сосредоточенных сил, распределенной нагрузки и моментов (X.А. Винокурский «Расчет пространственных крановых мостов». Машгиз, 1948).

В зависимости от коэффициента η, определяющего положение нагрузки, и коэффициента ζ, зависящего от положения сечения, в котором определяется деформация, приведены коэффициенты, которые, будучи умножены на указанный в таблицах множитель, дают искомую деформацию.

Общие указания

При составлении таблиц для определения прогибов и углов поворота в различных балках принято следующее правило знаков:

для прогибов:

+ перемещение вниз,

- перемещение вверх;

для углов поворота:

+ поворот, как указано на рис. 40,

- поворот по направлению, противоположному указанному на рис. 40.

Рис. 40. Деформации балок (положительное направление углов поворота)

При пользовании таблицами (кроме таблиц 161 и 165) прогибы получаются в сантиметрах, если: сосредоточенные силы Р приняты в т; равномерно распределенная нагрузка q - в т на 1 пог. м, изгибающие моменты M - в тм); пролеты l - в м; моменты инерции I - в см⁴; модуль упругости E - в кг/см².

Для консолей (рис. 41) при повороте сечения b на угол φ прогиб точки a определяется по формуле:

f_a = φl,

где φ - берется по таблицам для углов поворота;

l - длина консоли, м.

Рис. 41. Схема к определению прогибов консоли

Значение φ в целях сохранения размерности, указанной выше, принято в таблицах увеличенным в 100 раз. Для определения истинного значения угла поворота сечения, выраженного в радианах, следует табличный коэффициент разделить на 100 (или, что то же, в множителе, указанном в таблице, принять 10⁴ вместо 10⁶).

Примеры определения деформаций балок по таблицам

Пример 1. Определить прогиб в точке a и угол поворота на опоре A при I = 30000 см⁴, E = 2,5×10⁵ кг/см² для балки, указанной на рис. 42.

Рис 42. Расчетная схема к примеру 1

Решение. Определение прогиба в точке a.

Пользуемся табл. 171 для

а) От распределенной нагрузки q табличный коэффициент равен 6,8; величина прогиба от этой нагрузки:

б) От сосредоточенной нагрузки P₁ при и ζ = 2,6 табличный коэффициент равен 3,584; прогиб:

в) От сосредоточенной нагрузки P₂.

Рассматривая балку, у которой па опоре B приложен момент M = 5×3 = 15 тм, по табл. 171 (последняя вертикальная колонка) при ζ = 2,6 табличный коэффициент равен -49,048.

Тогда прогиб точки a от воздействия силы P₂ будет:

Полный прогиб:

Определение угла поворота крайнего сечения A (см. табл. 171, горизонтальная строка для ζ = 0).

От равномерно распределенной нагрузки q табличный коэффициент равен -25;

угол поворота, вызываемый нагрузкой q:

От сосредоточенной нагрузки P₁ при табличный коэффициент равен 13,333;

угол поворота от этой нагрузки:

От сосредоточенной силы P₂, вызывающей на опоре B момент M = 15,0 тм,

табличный коэффициент равен 11,133 (см. табл. 171, последняя вертикальная колонка);

угол поворота от P₂:

Полный угол поворота:

φ_A= -0,00167 + 0,00445 + 0,00111 = 0,00389 радиана.

Пояснения к табл. 164.

Прогиб середины свободно опертой балки с симметрично из меняющейся жесткостью от сплошной равномерно распределенной нагрузки может быть найден по формуле:

где δ_1/2 - прогиб посередине пролета, м;

q - равномерно распределенная нагрузка, т/м;

E- модуль упругости, т/м²;

a - длина участков, количество которых на полупролете оставляет n;

2n - количество участков длиной a, на которые разделена вся балка;

A и B - коэффициенты, приведенные в таблице;

I - моменты инерции сечения балки в каждом участке длиною a.

Пояснение к таблице 165.

Если балку (рис. 45) разбить на 2n равных панелей (например, 2n = 10) или, что то же, разбить полупролет на n участков длиной a, то ордината в точке i ≤ n линии влияния прогиба для середины пролета выразится формулой¹:

где значения коэффициентов K берутся из табл. 165.

¹ В.К. Качурин. Статика мостов. Трансжелдориздат, 1934 г.

Для получения прогиба в метрах все величины следует брать в метрах и тоннах.

Пример. Балка CB (см. рис. 45) имеет пролет L = 25 м; полупролет разделим на 5 участков (n = 5) длиной с моментами инерции

I₁ = I₂ = 0,02022 м⁴; I₃ = I₄ = 0,02618 м⁴; I₅ = 0,03229 м⁴.

Ордината в точке 1 линии влияния прогиба для середины балки определится из выражения:

(прогиб в метрах от нагрузки P = 1 т).

Рис. 45. Схема к определению ординат линии влияния прогиба

Аналогично ордината в точке 5 (посредине пролета) определится из выражения:

Если при разбивке на равные участки момент инерции меняется на каком-либо участке, то в расчет надо вводить среднее значение момента инерции этого участка.

Пример 2. Определить прогиб в точке a для балки, приведенной на рис. 43. I = 50000 см⁴ и E = 2,1×10⁶кг/см².

Рис. 43. Расчетная схема к примеру 2

По табл. 166 прогиб в точке a от силы P без учета поворота сечения на опоре B, т.е. как для консоли с заделкой на опоре B, при будет:

Угол поворота сечения на опоре B от действия на балку AB момента (рис. 44) M = 3×3,0 = 9,0 mм по табл. 162 будет:

Рис. 44. Схема к определению угла поворота

Прогиб точки a от поворота опоры B:

Полный прогиб точки а:

Таблица 161

Прогибы в середине пролета однопролетной свободно опертой балки от сосредоточенного груза

η	Значение прогиба при η равном
η	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,00	0	0,625	1,249	1,873	2,495	3,115	3,732	4,346	4,957	5,609
0,1	6,167	6,764	7,356	7,942	8,521	9,094	9,659	10,216	10,764	11,303
0,2	11,833	12,353	12,863	13,361	13,848	14,323	14,785	15,835	15,671	16,092
0,3	16,500	16,893	17,269	17,630	17,973	18,302	18,612	18,904	19,177	19,432
0,4	19,667	19,882	20,075	20,249	20,401	20,531	20,639	20,723	20,784	20,821
0,5	20,833
Множитель

Примечание. Первая вертикальная графа содержит десятые доли пролета, первая горизонтальная строка содержит сотые доли пролета; например, при η = 0,27 прогиб равен

Таблица 162

Прогибы и углы поворота опорных сечений однопролетной свободно опертой балки Значение прогибов и углов поворота

Вид деформации	Схема нагрузки	Значение прогибов и углов поворота
	Схема нагрузки
	ζ	при η равном
	ζ	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
Прогиб в точке a	0,1	2,7	4,67	5,835	6,3	6,16	5,54	4,5	3,164	1,637
	0,2	4,67	8,53	10,97	12,0	11,83	10,67	8,7	6,13	3,164
	0,3	5,835	10,97	14,7	16,5	16,5	15,00	12,3	8,7	4,5
	0,4	6,3	12,0	16.5	19,2	19,7	18,142	15,00	10,67	5,54
	0,5	6,16	11,83	16,5	19,7	20,8	19,7	16,5	11,83	6,16
	0,6	5,54	10,67	15,00	18,142	19,7	19,2	16,5	12,0	6,3
	0,7	4,5	8,7	12,3	15,00	16,5	16,5	14,7	10,97	5,835
	0,8	3,164	6,13	8,7	10,67	11,83	12,0	10,97	8,53	4,67
	0,9	1,637	3,164	4,5	5,54	6,16	6,3	5,835	4,67	2,7
	Множитель
Угол поворота на опоре	0	-28,5	-48	-59,5	-64	-62,5	-56	-40,5	-32	-16,5
	1	-16,5	-32	-40,5	-56	-62,5	-64	-59,5	-48	-28,5
	Множитель

Продолжение табл. 162

Вид деформации	Схема нагрузки	Значение прогибов и углов поворота
	Схема нагрузки
	ζ	при η равном
	ζ	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
Прогиб в точке a	0,1	0,139	0,514	1,045	1,657	2,285	2,874	3,379	3,764	4,005	4,087	16,5
	0,2	0,237	0,907	1,894	3,053	4,254	5,387	6,361	7,107	7,574	7,733	32,0
	0,3	0,295	1,143	2,441	4,017	5,681	7,267	8,641	9,698	10,361	10,587	45,5
	0,4	0,317	1,240	2,677	4,480	6,442	8,347	10,015	11,307	12,122	12,400	56,0
	0,5	0,310	1,217	2,644	4,467	6,510	8,554	10,377	11,804	12,710	13,021	62,5
	0,6	0,278	1,093	2,385	4,053	5,958	7,920	9,722	11,160	12,082	12,400	64,0
	0,7	0,226	0,890	1,946	3,320	4,906	6,570	8,146	9,444	10,293	10,587	59,5
	0,8	0,159	0,627	1,372	2,346	3,479	4,680	5,839	6,827	7,497	7,733	48,0
	0,9	0,082	0,323	0,709	1,213	1,802	2,43	3,042	3,573	3,949	4,087	28,5
	Множитель
Угол поворота на опоре	0	-1,504	-5,4	-10,837	-17,067	-23,437	-29,4	-34,5041	-38,4	-40,837	-41,667	-166,67
	1	-0,829	-3,267	-7,162	-12,267	-18,229	-24,6	-30,829	-36,267	-40,162	-41,667	-333,33
	Множитель

Таблица 163

Коэффициенты для определения прогибов в середине пролета однопролетной свободно опертой балки с переменным моментом инерции

Схема нагрузки	Значения коэффициентов A и B
Схема нагрузки
ζ	при η равном
	0,05		0,10		0,15		0,20		0,25		0,30
	A	B	A	B	A	B	A	B	A	B	A	B
0	3,115	0	6,167	0	9,094	0	11,833	0	14,323	0	16,5	0
0,05	3,094	0,021	6,146	0,021	9,073	0,021	11,813	0,021	14,320	0,021	16,479	0,021
0,10	3,0	0,114	5,97	0,167	8,927	0,167	11,667	0,167	14,156	0,167	16,333	0,167
0,15	2,844	0,271	5,687	0,479	8,531	0,562	11,271	0,562	13,75	0,562	15,937	0,562
0,20	2,625	0,489	5,25	0,917	7,875	1,218	10,5	1,333	12,990	1,333	15,167	1,333
0,25	2,344	0,771	4,687	1,479	7,031		9,375	2,458	11,719	2,604	13,896	2,604
0,30	2,012	1,114	4	2,167	6	3,094	8	3,833	10	4,323	12	4,5
0,35	1,594	1,521	3,20	2,979	4,781	4,312	6,375	5,458	7,969	6,354	9,562	6,937
0,40	1,125	1,989	2,25	3,917			4,5	7,333	5,625	8,698	6,75	9,75
0,45	0,594	2,521	1,20	4,979	1,781	7,312	2,375	9,458	2,969	11,354	3,562	12,937
0,50	0	3,114	0	6,167	0	9,094	0	11,833	0	14,323	0	16,5
Формула прогиба

Продолжение табл. 163

Схема нагрузки	Значения коэффициентов A и B

	при η равном
ζ	0,35		0,40		0,45		0,50		Значения коэффициентов A и B
ζ	A	B	A	B	A	B	A	B	A	B	A	B
0	18,302	0	19,667	0	20,531	0	20,833	0	13,021	0	62,5	0
0,05	18,281	0,021	19,646	0,021	20,510	0,021	20,812	0,021	13,001	0,020	61,875	0,625
0,10	18,135	0,167	19,5	0,167	20,365	0,167	20,267	0,167	12,857	0,164	60	2,5
0,15	17,739	0,562	19,104	0,562	19,969	0,562	20,271	0,562	12,522	0,499	56,875	5,0
0,20	16,969	1,333	18,333	1,333	19,198	1,333	19,5	1,333	11,887	1,133	52,5	10,0
0,25	15,698	2,604	17,062	2,604	17,927	2,604	18,229	2,604	10,905	2,116	46,875	15,625
0,30	13,802	4,5	15,167	4,5	16,031	4,5	16,333	4,5	9,533	3,487	40	22,5
0,35	11,156	7,146	12,521	7,146	13,385	7,146	13,687	7,146	7,751	5,270	31,875	30,625
0,40	7,875	10,427	9	10,667	9,865	10,667	10,167	10,667	5,554	7,467	22,5	40
0,45	4,156	14,146	4,75	14,917	5,344	15,187	5,646	15,187	2,959	10,062	11,875	50,625
0,50	0	18,302	1°	19,667	0	20,531	0	20,833	0	13,021	0	62,5
Формула прогиба

Таблица 164

Коэффициенты A и B для вычисления прогиба от равномерно распределенной нагрузки в середине однопролетной сзободно опертой балки с симметрично изменяющейся жесткостью

№ участка	Значения коэффициентов
№ участка	A	B
1	0,1666	0,125
2	1,1666	1,875
3	3,1666	8,125
4	6,1666	21,875
5	10,1666	46,125
6	15,1666	83,875
7	21,1666	138,125
8	28,1666	211,875
9	36,1666	308,125
10	45,1666	429,875
11	55,1666	580,125
12	66,1666	761,875
13	78,1666	978,125
14	91,1666	1231,875
15	105,1666	1526,125
16	120,1666	1863,875
17	136,1666	2248,125
18	153,1666	2681,875
19	171,1666	3168,125
20	190,1666	3709,875
21	210,1666	4310,125
22	231,1666	4971,875
23	253,1666	5698,125
24	276,1666	6491,875
25	300,1666	7356,125

Таблица 165

Коэффициенты K для вычисления ординат линий влияния прогиба в середине однопролетнон свободно опертой балки с симметрично изменяющейся жесткостью

№ участка n	Значения коэффициентов K
№ участка n	K₁	K₂	K₃	K₄	K₅	K₆	K₇	K₈	K₉	K₁₀	K₁₁	K₁₂
1	0,1666	0,75	1,25	1,75	2,25	2,75	3,25	3,75	4,25	4,75	5,25	5,75
	0,1666	1,1666	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	7,5	8,5	9,5	10,5	11,5
3	0,1666	1,1666	3,1666	5,25	6,75	8,25	9,75	11,25	12,75	14,25	15,75	17,25
4	0,1666	1,1666	3,1666	6,1666	9,0	11,0	13,0	15,0	17,0	19,0	21,0	23,0
5	0,1666	1,1666	3,1666	6,1666	10,1666	13,75	16,25	18,75	21,25	23,75	26,25	28,75
6	0,1666	1,1666	3,1666	6,1666	10,1666	15,1666	19,5	22,5	25,5	28,5	31,5	34,50
7	0,1666	1,1666	3,1666	6,1666	10,1666	15,1666	21,1666	26,25	29,75	33,25	36,75	40,25
8	0,1666	1,1666	3,1666	6,1666	10,1666	15,1666	21,1666	28,1666	34,0	38,0	42,0	46,00
9	0,1666	1,1666	3,1666	6,1666	10,1666	15,1666	21,1666	28,1666	36,1666	42,75	47,25	51,75
10	0,1666	1,1666	3,1666	6,1666	10,1666	15,1666	21,1666	28,1666	36,1666	45,1666	52,50	57,5
11	0,1666	1,1666	3,1666	6,1666	10,1666	15,1666	21,1666	28,1666	36,1666	45,1666	55,1666	63,25
12	0,1666	1,1666	3,1666	6,1666	10,1666	15,1666	21,1666	28,1666	36,1666	45,1666	55,1666	66,1666

Таблица 166

Прогибы и углы поворота консольной балки от сосредоточенного груза

Вид деформации	ζ
		Значения прогибов и углов поворота при η равном
		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
Прогиб в точке a	0,1	0,333	0,833	1,333	1,833	2,333	2,833	3,333	3,833	4,333	4,833
	0,2	0,833	2,667	4,667	6,667	8,667	10,667	12,667	14,667	16,667	18,667
	0,3	1,333	4,667	8	13,5	18	22,5	27	31,5	36	40,5
	0,4	1,833	6,667	13,5	21,333	29,333	37,333	45,333	53,333	61,333	69,333
	0,5	2,333	8,667	18	29,333	41,667	54,167	66,667	79,167	91,667	104,167
	0,6	2,833	10,667	22,5	37,333	54,167	72	90	108	126	144
	0,7	3,333	12,667	27	45,333	66,667	90	114,333	138,833	163,333	187,833
	0,8	3,833	14,667	31,5	53,333	79,167	108	138,833	170,667	202,667	234,667
	0,9	4,333	16,667	36	61,333	91,667	126	163,333	202,667	243	283,5
	1,0	4,833	18,667	40,5	69,333	104,167	144	187,833	234,667	283,5	333,333
	Множитель
Угол поворота	ζ = 1,0	5	20	45	80	125	180	245	320	405	500
Угол поворота	Множитель

Таблица 167

Коэффициенты для определения прогибов и углов поворота консольной балки от равномерно распределенной нагрузки и от момента на конце

Вид деформации	ζ
		Значения прогибов и углов поворота при η равном
		0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
Прогиб в точке a	0,1	2,337	2,325	2,267	2,158	2	1,792	1,533	1,225	0,867	0,458	5
	0,2	8,733	8,704	8,533	8,167	7,6	6,833	5,867	4,7	3,333	1,767	20
	0,3	18,337	18,292	18,004	17,325	16,2	14,625	12,6	10,125	7,2	3,825	45
	0,4	30,4	30,379	29,933	29,937	27,2	24,667	21,333	17,2	12,267	6,533	80
	0,5	44,271	44,192	43,671	42,358	40,004	36,458	31,667	25,625	18,333	9,792	125
	0,6	59,4	59,304	58,667	57,037	54,067	49,504	43,2	35,1	25,2	13,5	180
	0,7	75,337	75,225	74,471	72,525	68,937	63,358	55,537	45,325	32,667	17,558	245
	0,8	91,733	91,604	90,733	88,471	84,267	77,671	68,333	56,004	40,533	21,867	320
	0,9	108,375	108,229	107,241	104,662	99,842	92,229	81,375	66,929	48,642	26,325	405
	1,0	125,000	124,837	123,733	120,837	115,4	106,771	94,4	77,837	56,733	30,837	500
	Множитель
Угол поворота	ζ = 1,0	166,67	166,5	165,333	162,167	156	145,833	130,667	109,5	81,333	45,167	1000
Угол поворота	Множитель

Таблица 168

Прогибы от сосредоточенной нагрузки в балке, заделанной обоими концами

ζ
	Значения прогибов в точке a при η равном
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0,1	0,243	0,494	0,606	0,612	0,535	0,428	0,279	0,14	0,044
0,2	0,494	1,362	1,898	2,016	1,83	1,454	0,972	0,498	0,14
0,3	0,606	1,898	3,087	3,564	3,475	2,736	1,863	0,972	0,279
0,4	0,612	2,016	3,564	4,608	4,7	3,934	2,736	1,454	0,428
0,5	0,535	1,83	3,475	4,7	5,175	4,7	3,475	1,83	0,535
0,6	0,428	1,454	2,736	3,934	4,7	4,608	3,564	2,016	0,612
0,7	0,279	0,972	1,863	2,736	3,475	3,564	3,087	1,898	0,606
0,8	0,14	0,498	0,972	1,454	1,83	2,016	1,898	1,362	0,494
0,9	0,044	0,14	0,279	0,428	0,535	0,612	0,606	0,494	0,243
Множитель

Таблица 169

Прогибы балки, заделанной обоими концами, от равномерно распределенной нагрузки

ζ										η = 1,0
	Значения прогибов в точке a при η равном									η = 1,0
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
0,1	0,010	0,047	0,103	0,165	0,223	0,271	0,307	0,327	0,336	0,338
0,2	0,018	0,111	0,278	0,477	0,671	0,836	0,958	1,031	1,062	1,067
0,3	0,022	0,143	0,397	0,736	1,087	1,396	1,628	1,767	1,828	1,838
0,4	0,022	0,148	0,429	0,846	1,316	1,751	2,088	2,295	2,386	2,401
0,5	0,020	0,132	0,394	0,801	1,301	1,804	2,211	2,470	2,585	2,605
0,6	0,016	0,103	0,313	0,650	1,082	1,555	1,972	2,250	2,378	2,401
0,7	0,010	0,068	0,210	0,443	0,748	1,102	1,441	1,693	1,816	1,838
0,8	0,006	0,035	0,108	0,231	0,394	0,590	0,790	0,955	1,049	1,067
0,9	0,002	0,009	0,031	0,067	0,114	0,173	0,235	0,292	0,328	0,338
Множитель

Таблица 170

Прогибы и углы поворота, двухпролетной неразрезной балки

Вид деформации	ζ	Значения прогибов и углов поворота

		при η равном
		0,1	2,0	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
Прогиб в точке a	0,1	2,292	3,878	4,709	4,494	4,613	3,956	3,027	1,976	0,932	2,024	4,125
	0,2	3,878	6,994	8,786	9,312	8,830	-7,598	5,844	3,826	1,796	3,733	8
	0,3	4,709	8,786	11,595	12,678	12,234	10,632	8,239	5,424	2,555	4,90	11,375
	0,4	4,914	9,312	12,678	14,496	14,45	12,766	10,002	6,638	3,146	5,40	14
	0,5	4,613	8,83	12,234	14,45	14,91	13,7	10,992	7,33	3,488	5,209	15,625
	0,6	3,956	7,598	10,632	12,776	13,7	13,056	10,778	7,392	3,564	4,40	16
	0,7	3,027	5,844	8,239	10,002	10,922	10,788	9,389	6,686	3,291	3,15	14,875
	0,8	1,976	3,826	5,424	6,638	7,33	7,392	6,686	5,074	2,618	1,733	12
	0,9	0,932	1,796	2,555	3,146	3,488	3,564	3,291	2,618	1,482	0,525	7,125
	1,1	-0,705	-1,368	-1,945	-2,394	-2,674	-2,736	-2,544	-2,052	-1,218	0,525	-9,375
	1,2	-1,188	-2,304	-3,276	-4,032	-4,5	-4,608	-4,284	-3,456	-2,052	1,733	-20
	1,3	-1,472	-2,856	-4,063	-4,998	-5,578	-5,712	-5,310	-4,284	-2,544	3,15	-30,625
	1,4	-1,584	-3,072	-4,373	-5,376	-6	-6,144	-5,712	-4,608	-2,736	4,40	-40
	1,5	-1,547	-3	-4,266	-5,25	-5,859	-6	-5,578	-4,5	-2,674	5,209	-46,875
	1,6	-1,386	-2,688	-3,822	-4,704	-5,25	-5,376	-4,998	-4,032	-2,394	5,40	-50
	1,7	-1,126	-2,184	-3,104	-3,822	-4,266	-4,373	-4,064	-3,276	-1,945	4,90	-48,125
	1,8	-0,792	-1,536	-2,184	-2,688	-3	-3,072	-2,856	-2,304	-1,368	3,733	-40
	1,9	-0,408	-0,792	-1,126	-1,386	-1,547	-1,587	-1,472	-1,188	-0,705	2,024	-24,375
	Множитель
Угол поворота на опоре	0	-24,375	-40	-48,125	-50	-46,875	-40	-25,625	-20	-9,375	-20,833	-41,677
	2,0	+4,125	+8	+11,375	+14	+15,625	+16	+14,875	+12	+7,125	-20,833	+291,667
	Множитель

§ 34. Формулы интегрирования типовых эпюр

Нахождение перемещений по формуле Мора приводит к вычислению интегралов вида:

На тех участках сооружения, где EI постоянно, вопрос сводится к вычислению интегралов:

По правилу Верещагина интегралы где одна из эпюр произвольного очертания, а другая подчинена закону прямой линии, равны площади эпюры произвольного очертания, умноженной на ординату прямолинейной эпюры, взятой под центром тяжести первой эпюры. В табл. 173 приведены сочетания эпюр, наиболее часто встречающихся в практике расчетов. Во все формулы следует подставлять абсолютные величины моментов. Знак подинтегральиого произведения M_iM_kdx положителен, если моменты M_i и M_k одного знака. Виды эпюр изгибающих моментов, сочетания из которых приведены в табл. 173, показаны на рис. 46.

Рис. 46. Типовые эпюры (к табл. 173)

Таблица 173

Значения интегралов и (рис. 46)

№ перемножаемых эпюр
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
1-8
1-9
1-10
1-11
1-12
1-13
1-14
1-15
1-16
1-17
1-18
1-19
1-20
1-21
1-22
3-3
3-4
3-5
3-6
3-8
3-9
3-10
3-11
3-12
3-13
3-14
3-15
3-16
3-17
3-18
3-19
3-20
3-21
3-22
4-6
4-8
4-10
4-11
4-12
4-17
4-18
4-20
4-22
5-5
5-6
5-10
5-11
5-12
5-13
5-15
5-16
5-17
5-18
5-19
5-20
5-22
6-6
6-7
6-8
6-9
6-9
6-9
6-10
6-11
6-12
6-12
6-12
6-14
6-15
6-16
6-17
6-18
6-19
6-21
7-8
8-8
8-9
8-10
8-11
8-12
8-14
8-15
8-17
8-18
8-21
9-9
9-11
9-14
9-15
9-17
9-18
9-21
10-10
10-11
10-14
10-15
10-16
10-17
10-18
10-21
11-11
11-12
11-13
11-14
11-15
11-16
11-17
11-18
11-19
11-20
11-22
12-12
12-14
12-15
12-16
12-17
12-19
12-21
13-13
13-17
13-18
14-14
14-15
14-17
14-18
14-21
14-22
15-15
15-16
15-17
15-18
15-19
15-21
15-22
16-18
16-22
17-17
17-18
17-21
17-22
18-19
18-21
18-22
18-23
19-22
20-21
21-21
21-22
22-22

* Если ординаты c не равны и c > c₁, то формула будет

Глава 11

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА РАМ

§ 35. Рамы однопролетные, двухпролетные и трехпролетные

Приводимые формулы и таблицы могут быть использованы для предварительных расчетов рам, когда не учитывается переменность сечений ригеля (вуты) и влияние жестких участков стоек.

В табл. 174 даны формулы и показаны эпюры изгибающих моментов для различных часто встречающихся случаев загружения однопролетных рам с горизонтальным ригелем.

Таблица 174

Формулы для расчета однопролетных рам

Схема рамы, нагрузки и эпюры изгибающих моментов

Распор

Моменты

Вертикальные опорные реакции

M_A = M_D = 0;

Моменты в сечении ригеля на расстоянии x от B:

Опасное сечение при x = l/2:

Моменты в сечении ригеля на расстоянии x от B:

Наибольший момент в середине пролета ригеля:

при a = b

M_A = M_D = 0;

Момент в сечении на расстоянии x от B или x₁ от C:

на участке a:

на участке b:

Наибольший изгибающий момент под грузом P

при x = a:

при a = b = l/2:

M_B = M_A - H_Ah;

M_C = M_D - H_Ah.

Изгибающий момент под грузом P:

M_a = M_A - H_Ah + V_Aa.

Момент в сечении стойки AB на расстоянии x от A:

Опасное сечение:

Момент в ригеле равен 0

M_C = M_D - Hh.

Момент в сечении стойки AB на расстоянии x от A:

Момент в ригеле равен нулю при

M_C = M_D - Hh.

Момент в сечении стойки AB на расстоянии x от A:

Момент в сечении стойки на расстоянии x от A или соответственно D:

Момент в сечении ригеля

Момент в сечении на расстоянии x от A или соответственно D:

M_x = ±Hx.

Момент в ригеле равен нулю при

где α – коэффициент линейного расширения;

E - модуль упругости;

t° - повышение температуры

Линия влияния H

участок BC:

участок CE:

В таблицах 175 - 177 приведены данные для определения площадей линий влияния изгибающих моментов в двух- и трехпролетных рамах с жесткой заделкой стоек¹. Поперечные силы в ригелях таких рам приближенно могут быть определены, рассматривая ригель как неразрезную балку.

¹ К.К. Якобсон. Расчет железобетонных мостов. Гострансжелдориздат, 1948.

Tаблица 175

Площади линий влиянии изгибающих моментом для сечений двухпролетной рамы с концевыми стойками

Схема рамы и вид линий влияния	k	ω₁:l²	ω₂:l²	ω₃:l²	∑ω:l²
	2	0,07344	-0,01788	-	0,05556
	4	0,08100	-0,02277	-	0,05823
	6	0,08453	-0,02500	-	0,05958
	8	0,08634	-0,02615	-	0,06019
	10	0,08763	-0,02702	-	0,06061
	2	0,013242	-0,001525	0,002204	0,013921
	4	0,008083	-0,000946	0,001183	0,003320
	6	0,005820	-0,006697	0,000817	0,005910
	8	0,004550	-0,000534	0,000610	0,004626
	10	0,003733	-0,000442	0,000481	0,003680
	2	0,03100	-0,03100	-	0
	4	0,01942	-0,01942	-	0
	6	0,01413	-0,01413	-	0
	8	0,01112	-0,01112	-	0
	10	0,00917	-0,00917	-	0
	2	-0,03231	0,00492	-0,00043	-0,02782
	4	-0,01991	0,00339	-0,00018	-0,01670
	6	-0,01440	0,00252	-0,00012	-0,01200
	8	-0,01210	0,00207	-0,00007	-0,01010
	10	-0,00926	0,00170	-0,00006	-0,00762
	2	-0,07095	-0,01017	-	-0,11112
	4	-0,06817	-0,04845	-	-0,11662
	6	-0,06653	-0,05251	-	-0,11904
	8	-0,06605	-0,05432	-	-0,12037
	10	-0,06547	-0,05573	-	-0,12120
	2	-0,01812	0,01842	-	0
	4	-0,01158	0,01158	-	0
	6	-0,00846	0,00846	-	0
	8	-0,00664	0,00664	-	0
	10	-0,00548	0,00548	-	0

Таблица 176

Площади линии влияния изгибающих моментов для сечений трехпролетной рамы с подвижными опорами на концах

Схема рамы и вид линий влияния	k	ω₁:l²	ω₂:l₁²	ω₃:l²
	2	-0,00595	0,01190	-0,01190
	4	-0,00352	0,00694	-0,00690
	6	-0,00254	0,00490	-0,00481
	8	-0,00199	0,00379	-0,00369
	10	-0,00163	0,00309	-0,00300
	2	0,02083	-0,02380	0,01487
	4	0,01211	-0,01388	0,00837
	6	0,00849	-0,00980	0,00622
	8	0,00657	-0,00758	0,00479
	10	0,00532	-0,00618	0,00394
	2	-0,0804	-0,03571	0,0089
	4	-0,0734	-0,04167	0,0109
	6	-0,0714	-0,04412	0,0126
	8	-0,0700	-0,04545	0,0132
	10	-0,0697	-0,04629	0,0141
	2	-0,05957	-0,05951	0,02377
	4	-0,06192	-0,05556	0,01927
	6	-0,06291	-0,05392	0,01882
	8	-0,06343	-0,05303	0,01799
	10	-0,06438	-0,05247	0,01804
	2	0,08480	-0,01785	0,00445
	4	0,08830	-0,02083	0,00545
	6	0,08928	-0,02206	0,00630
	8	0,08998	-0,02273	0,00660
	10	0,09017	-0,02315	0,00705
	2	-0,01790	0,06549	-0,01790
	4	-0,02101	0,06945	-0,02101
	6	-0,02205	0,07080	-0,02205
	8	-0,02272	0,07197	-0,02272
	10	-0,02317	0,07253	-0,02317

Таблица 177

Площади линий влияний изгибающих моментов для сечений трехпролетной рамы с концевьми стойками

Схема рамы и вид линии влияния	k	ω₁:l²	ω₂:l₁²	ω₃:l²	ω₄:l²
	2	0,01527	-0,00379	0,00370	-0,00003
	4	0,00952	-0,00269	0,00258	-0,00001
	6	0,00692	-0,00205	0,00196	0
	8	0,00543	-0,00165	0,00158	0
	10	0,00448	-0,00138	0,00132	0
	2	-0,03379	0,00757	-0,00409	-
	4	-0,02106	0,00538	-0,00314	-
	6	-0,01529	0,00410	-0,00247	-
	8	-0,01201	0,00330	-0,00202	-
	10	-0,00988	0,00276	-0,00171	-
	2	0,07248	-0,01515	0,00328	-
	4	0,07974	-0,01882	0,00493	-
	6	0,08301	-0,02049	0,00578	-
	8	0,08487	-0,02145	0,00630	-
	10	0,08606	-0,02208	0,00665	-
	2	-0,07125	-0,03788	0,01065	-
	4	-0,06946	-0,04301	0,01300	-
	6	-0,06868	-0,04508	0,01402	-
	8	-0,06825	-0,04620	0,01462	-
	10	-0,06799	-0,04691	0,01501	-
	2	-0,01555	0,01136	-0,00131	0,00171
	4	-0,009510	0,00672	-0,00079	0,000890
	6	-0,006870	0,00478	-0,00056	0,00060
	8	-0,00537	0,00371	-0,00044	0,00045
	10	-0,00441	0,00304	-0,00037	0,00036
	2	0,02783	-0,02273	0,00316	-0,00069
	4	0,01702	-0,01344	0,00205	-0,00026
	6	0,01228	-0,00950	0,00158	-0,00019
	8	0,00960	-0,00743	0,00125	-0,00012
	10	0,00788	-0,00607	0,00102	-0,00007
	2	-0,04342	-0,06060	0,01312	-
	4	-0,05243	-0,05645	0,01479	-
	6	-0,05640	-0,05464	0,01511	-
	8	-0,05865	-0,05363	0,01575	-
	10	-0,06011	-0,05298	0,01596	-
	2	-0,01392	0,10985	-0,01392	-
	4	-0,01869	0,09543	-0,01869	-
	6	-0,01980	0,08948	-0,01980	-
	8	-0,02090	0,08622	-0,02090	-
	10	-0,02163	0,08416	-0,02163	-

Приближенно усилия от температуры и тормозной силы в двухпролетной раме с концевыми стойками могут быть определены по нижеследующим формулам (рис. 47).

Рис. 47. Эпюры моментов в двухпролетной раме:
а - от температуры; б - от тормозной силы

Усилия от температуры:

где α - коэффициент линейного удлинения;

t - изменение температуры.

Усилия от тормозной силы:

Приближенно усилия от температуры и тормозной силы в трехпролетной раме с, концевыми стойками могут быть определены по нижеследующим формулам (рис. 48).

Рис. 48. Эпюры моментов в трехпролетной раме:
а - от температуры; б - от тормозной силы

Усилия от температуры:

в сечениях ригеля

в сечениях стоек

Здесь:

где α - коэффициент линейного удлинения;

t - изменение температуры.

Усилия от тормозной силы:

Глава 12

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА АРОК

В данной главе приведены формулы и некоторые указания для определения усилии в арках и сводах, а также данные для построения оси арок и назначения ряда геометрических характеристик их.

Приводимые данные могут быть использованы при эскизном проектировании арочных мостов.

Для более точного и окончательного расчета арок применяют аналитические методы строительной механики, а также используют существующие ускоренные способы расчета сводов с помощью таблиц, разработанных различными авторами, например: способ Штрасснера с поправками и дополнениями К.С. Завриева, способ П.С. Морозова, способ Маннинга и др.

Для расчета арок с затяжкой с вертикальными, а также наклонными подвесками удобно пользоваться методами расчета этих систем, изложенными в книге А.Я. Аствацатурова («Расчет мостовых арок с вертикальными наклонными подвесками». Дориздат, 1952).

§ 36. Очертание осей арок

Наиболее часто ось арки назначается по следующим кривым:

а) по квадратной параболе

(рис. 49);

(рис. 50);

Рис. 49. Геометрия оси арок. Начало координат в пяти

Рис. 50. Геометрия оси арок Начало координат в ключе

величины ординат y (см. рис. 53) приведены в таблице 179;

б) по дуге круга (см. табл. 179);

в) по катеноиду Легея-Штрасснера (очерчанне оси арки по кривой давления от постоянной нагрузки)

Величина y' представляет ординату оси свода, отсчитываемой от касательной в замке (см. рис. 50).

g_п и g_к - значения интенсивностей постоянной нагрузки (на 1 пог. м арки в пяте и ключе, рис. 51).

Для сплошного надсводного строения (рис. 52):

g_к = γd_к + γ₁h_к; g_п = γc_п + γ₁h_п,

где γ - объемный вес материала свода;

γ₁ - объемный вес материала надсводного строения.

В случае сквозного надсводного строения условно принимают:

(см. рис. 51),

Рис. 51. Схема арки со сквозным надарочным строением

где p₁ - вес 1 пог. м надсводного строения без стоек;

P - вес стойки в пяте;

λ - расстояние между стойками.

Величины ординат оси y' - приведены в табл. 178.

Рис. 52. Схема для определения постоянной нагрузки и пяте

Ось арок стальных мостов обычно очерчивается по одной из простых кривых: по квадратной параболе (подъемистые арки) или по кругу (пологие арки), простота геометрии которых обеспечивает большую простоту разметки и изготовления арки.

Ось арок железобетонных и в особенности каменных мостов, требующих более строгого соблюдения условия совпадения ее с линией давления от постоянной нагрузки, обычно принимается по катеноиду Легея.

Таблица 178

Ординаты оси свода y' по уравнению катеноида при f = 1 (табличные значения необходимо множить на f)

	Значения ординат y' в сечениях
	0 пята	1	2	3	4	5	6 четверть	7	8	9	10	11	12 замок
1,000	1,000	0,8403	0,6944	0,5625	0,4444	0,3403	0,2500	0,1736	0,1111	0,0625	0,0278	0,0070	0
1,347	1,000	0,8331	0,6831	0,5493	0,4312	0,3284	0,2400	0,1660	0,1059	0,0594	0,0264	0,0066	0
1,756	1,000	0,8256	0,6714	0,5359	0,4179	0,3163	0,2300	0,1584	0,1007	0,0563	0,0249	0,0062	0
2,240	1,000	0,8180	0,6595	0,5223	0,4044	0,3042	0,2200	0,1508	0,0955	0,0532	0,0235	0,0059	0
2,814	1,000	0,8101	0,6473	0,5085	0,3908	0,2920	0,2100	0,1432	0,0903	0,0502	0,0221	0,0055	0
3,500	1,000	0,8019	0,6348	0,4944	0,3771	0,2798	0,2000	0,1357	0,0852	0,0472	0,0208	0,0052	0
4,324	1,000	0,7935	0,6221	0,4801	0,3632	0,2675	0,1900	0,1282	0,0802	0,0443	0,0194	0,0048	0
5,321	1,000	0,7849	0,6090	0,4656	0,3491	0,2552	0,1800	0,1208	0,0751	0,0413	0,0181	0,0045	0
6,536	1,000	0,7758	0,5955	0,4507	0,3349	0,2428	0,1700	0,1133	0,0701	0,0384	0,0168	0,0041	0
8,031	1,000	0,7664	0,5816	0,4356	0,3205	0,2303	0,1600	0,1060	0,0652	0,0356	0,0155	0,0038	0
9,889	1,000	0,7567	0,5673	0.4200	0,3059	0,2177	0,1500	0,0986	0,0603	0,0327	0,0142	0,0035	0

Примечание. Значения m в таблице подобраны так, что величины у' для четверти пролета изменяются в пределах от 0,15 до 0,25 через 0.01. При значении m = 1 катеноид превращается в параболу.

Рис. 53. Схема к построению параболической оси арки по табл. 179

Таблица 179

Значения ординат y для оси параболических и круговых сводов при f = 1,0 (рис. 53)

№ сечений	Абсцисса сечения α	Значения ординат оси свода							Множитель
		параболические своды	круговые своды при f/L равном
		параболические своды	1/2	1/3	1/4	1/5	1/6	1/7
1'	0,025	0,0975	-	-	-	-	-	-		f
1	0,05	0,190	0,436	0,284	0,240	0,218	0,210	0,201
2'	0,075	0,2775	-	-	-	-	-	-
2	0,10	0,36	0,600	0,475	0,412	0,398	0,390	0,380
3	0,15	0,51	0,714	0,615	0,570	0,568	0,542	0,533
4	0,20	0,64	0,800	0,729	0,700	0,665	0,660	0,656
5	0,25	0,75	0,866	0,815	0,790	0,775	0,770	0,763
6	0,30	0,84	0,917	0,885	0,870	0,865	0,850	0,847
7	0,35	0,91	0,954	0,936	0,928	0,920	0,918	0,916
8	0,40	0,96	0,980	0,975	0,963	0,962	0,961	0,960
9	0,45	0,99	0,995	0,995	0,992	0,991	0.990	0,990
10	0,50	1,00	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000

§ 37. Изменение сечений арок

Бесшарнирные арки

В бесшарнирных арках момент инерции сечении обычно убывает от пят к замку. Изменение сечений по длине пролета для массивных мостов рекомендуется принимать по закону Штрасснера:

где - (см. рис. 51);

I_к и I_x - момент инерции сечения соответственно в ключе и в сечении с абсциссой ;

n - параметр, характеризующий изменение сечения;

φ_x - угол наклона сечения с абсциссой x'.

При ξ = 1 (сечение в пяте):

где I_п - момент инерции сечения в пяте;

φ_п - угол наклона пятового сечения.

При n = 1 закон Штрасснера переходит в более простой закон косинуса;

Коэффициент n в формуле Штрасснера для автодорожных и городских мостов в зависимости от соотношения постоянной и временной нагрузок принимается:

для железобетонных арок равным 0,3;

для бетонных и каменных сводов равным 0,40 - 0,60.

Закон изменения сечений по формуле Штрасснера наиболее часто применяется для прямоугольных сечений постоянной ширины. Однако его возможно применить и для других сечений, если их размеры подчинить некоторым соотношениям. В табл. 180 приведены формулы основных размеров сечений трех типов - сплошные прямоугольные, коробчатые и двутавровые - при постоянной и переменной ширине, удовлетворяющих формуле Штрасснера.

Таблица 180

Формулы размеров сечений, удовлетворяющих закону Штрасснера ¹

Размеры сечений	Сплошные сечения		Коробчатые и двутавровые сечения
Размеры сечений	при постоянном ширине	при переменной ширине	при постоянном ширине	при переменной ширине
Ширина в сечении х, a_x	a_к		a_к
Момент инерции в ключе I_к
Момент инерции в сечении х', I_x
	1 - (1 - n)ξ	1 - (1 - n)ξ	1 - (1 - n)ξ	1 - (1 - n)ξ
1 - (1 - n)ξ
Высота в сечении х', h_x
Типы сечений

¹ Н.И. Поливанов. Железобетонные мосты. Изд. МКХ, 1947.

Примечание. Принятые обозначения:

При изменении ширины по квадратной или кубической параболе r = 2 или 3.

Вычисление величин tg²φ_х и c может быть произведено с помощью таблиц 181 и 182, составленных в зависимости от параметров m и n.

Таблица 181

Величины

Параметр m	Значения для сечений
Параметр m	0 (пята)	1	2	3	4	5	6 (четверть)	7	8	9	10	11	12 (ключ)	y¹_1/4l
1,000	16,000	13,444	11,111	9,000	7,111	5,444	4,000	2,778	1,778	1,000	0,444	0,111	0	0,25
1,347	17,780	14,447	11,576	9,117	7,023	5,258	3,788	2,588	1,633	0,910	0,401	0,100	0	0,24
1,756	19,722	15,504	12,074	9,224	6,926	5,067	3,578	2,402	1,495	0,823	0,360	0,089	0	0,23
2,240	21,841	16,620	12,526	9,322	6,820	4,874	3,371	2,223	1,363	0,741	0,322	0,079	0	0,22
2,814	24,150	17,796	13,010	9,409	6,704	4,677	3,166	2,049	1,237	0,665	0,286	0,070	0	0,21
3,500	26,676	19,038	13,499	9,485	6,578	4,477	2,964	1,882	1,118	0,593	0,253	0,062	0	0,20
4,324	29,441	20,351	13,993	9,548	6,442	4,274	2,765	1,720	1,004	0,525	0,222	0,054	0	0,19
5,321	32,476	21,741	14,490	9,597	6,294	4,068	2,569	1,564	0,898	0,462	0,193	0,046	0	0,18
6,536	35,812	23,208	14,988	9,629	6,134	3,858	2,376	1,415	0,796	0,404	0,167	0,040	0	0,17
8,031	39,494	24,765	15,487	9,643	5,962	3,644	2,187	1,272	0,701	0,350	0,143	0,034	0	0,16
9,889	43,572	26,420	15,985	9,637	5,776	3,428	2,001	1,143	0,612	0,300	0,121	0,028	0	0,15

Таблица 182

Величины коэффициента c

Параметр n	Значения c для сечений
Параметр n	0 (пята)	1	2	3	4	5	6 (четверть)	7	8	9	10	11	12 (ключ)
1	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000
0,8	1,077	1,070	1,063	1,056	1,049	1,042	1,036	1,029	1,023	1,017	1,011	1,006	1,000
0,6	1,186	1,164	1,145	1,126	1,109	1,093	1,077	1,063	1,049	1,036	1,023	1,011	1,000
0,5	1,260	1,227	1,197	1,170	1,145	1,122	1,101	1,081	1,063	1,046	1,029	1,014	1,000
0,4	1,357	1,305	1,260	1,221	1,186	1,154	1,126	1,101	1,077	1,056	1,036	1,017	1,000
0,3	1,494	1,408	1,339	1,282	1,233	1,191	1,154	1,122	1,093	1,066	1,042	1,020	1,000
0,25	1,587	1,474	1,387	1,317	1,260	1,211	1,170	1,133	1,101	1,072	1,046	1,022	1,000
0,20	1,710	1,554	1,442	1,357	1,289	1,233	1,186	1,145	1,109	1,077	1,049	1,023	1,000
0,15	1,882	1,655	1,508	1,403	1,322	1,256	1,203	1,157	1,117	1,083	1,052	1,025	1,000

Примечание. При отсутствии в табл. 181 подходящего значения m величину tgφ_х можно вычислить по уравнению

Двухшарнирные арки

Закон изменения поперечных сечений двухшарнирных массивных арок может быть принят по формуле:

I_х = I_кcosφ_х

или по формуле инж. Шало:

где

I_к, I_п и I_x - моменты инерции соответственно в ключе, пяте и в сечении с абсциссой х'.

Высота сечений по Шало определяется формулой:

Для автодорожных и городских мостов можно принять значение

Трехшарнирные арки

Высогы сечения в ключе h_к в пятах h_п и в четверти пролета h_1/4l назначают при выборе основных размеров.

Если высоты сечения убывают от четверти пролета к ключу и пятам (что соответствует эпюре наибольших моментов), то изменение высот сечений по длине пролета может быть принято по параболическому закону:

h_х = h_к + (h_п - h_к + 4∆)ξ - 4∆ξ²,

где

§ 38. Определение усилий в бесшарнирных арках

Все приводимые ниже таблицы и формулы предназначены для использования их при составлении проектного задания, когда обычно удовлетворяются расчетом трех сечений полуарки: пяты, четверти пролета и ключа.

Определение усилий по таблицам Штрасснера

В этом случае очертание оси арки принимается по катеноиду и закон изменения сечений по формуле Штрасснера.

Основной распор от постоянной нагрузки без учета упругого обжатия:

где k_g - коэффициент по табл. 183;

l и f - пролет и стрелка, м;

g_к - интенсивность нагрузки в ключе, т/пог.м.

Вертикальная опорная реакция:

V = k_vg_кl,

где k_v - коэффициент по табл. 183.

Таблица 183

Величины коэффициентов k_g и k_v для вычисления опорных реакций от постоянной нагрузки без учета обжатия

m	1,000	1,347	1,756	2,240	2,814	3,500	4,324	5,321	6,536	8,031	9,889
k_g	1250	1320	1397	1483	1579	1687	1808	1946	2104	2287	2499
k_v	0,5000	0,5660	0,6206	0,6933	0,7761	0,8713	0,9812	1,1092	1,2593	1,4370	1,6496

Дополнительный распор от упругого обжатия, приложенный в упругом центре (по формуле Штрасснера и К.С. Завриева):

где

- радиус инерции сечения арки в ключе.

Для прямоугольного сечения формула для μ₁ принимает вид:

Значения коэффициентов и ν₁ приведены с таблицах 184 и 185. Дополнительный распор ∆H_g приложен в упругом центре на расстоянии y_к от центра ключа и имеет направление, указанное на рис. 54. Значение y_к определяется по табл. 186.

Рис. 54. Схема к определению распора от упругого обжатия

Таблица 184

Величины коэффициента

Параметр m	Значении при параметре n, равном
Параметр m	1,00	0,80	0,60	0,50	0,40	0,30	0,25	0,20	0,15
1,000	0,0889	0,0775	0,0653	0,0588	0,0520	0,0448	0,0410	0,0370	0,0329
1,347	0,0875	0,0761	0,0640	0,0577	0,0509	0,0437	0,0400	0,0361	0,0320
1,756	0,0363	0,0750	0,0629	0,0566	0,0498	0,0428	0,0390	0,0352	0,0312
2,240	0,0847	0,0736	0,0616	0,0553	0,0486	0,0417	0,0380	0,0342	0,0302
2,814	0,0834	0,0722	0,0604	0,0541	0,0475	0,0407	0,0370	0,0332	0,0294
3,500	0,0821	0,0710	0,0593	0,0530	0,0466	0,0396	0,0361	0,0323	0,0285
4,324	0,0807	0,0697	0,0581	0,0519	0,0455	0,0386	0,0351	0,0314	0,0276
5,321	0,0793	0,0684	0,0568	0,0507	0,0443	0,0376	0,0341	0,0305	0,0267
6,536	0,0779	0,0671	0,0556	0,0496	0,0432	0,0366	0,0331	0,0295	0,0258
8,031	0,0766	0,0658	0,0544	0,0434	0,0422	0,0356	0,0322	0,0286	0,0250
9,889	0,0750	0,0644	0,0532	0,0472	0,0411	0,0346	0,0312	0,0277	0,0241

Таблица 185

Значения коэффициента v₁ по К.С. Завриеву (к расчету дополнительного распора от упругого обжатии свода нормальными силами от постоянной нагрузки)

	n
	1,0	0,8	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2
	Значения v₁
1 3	0,87	0,90	0,94	0,97	0,99	1,02	1,05
1 4	0,91	0,95	0,99	1,01	1,04	1,03	1,12
1 5	0,94	0,98	1,02	1,04	1,07	1,11	1,15
1 6	0,96	1,00	1,04	1,06	1,09	1,13	1,17
1 8	0,97	1,01	1,05	1,08	1,11	1,14	1,18
1 10	0,98	1,02	1,06	1,09	1,12	1,15	1,19

Таблица 186

Значения

Параметр m	Величина при параметре n, равном
Параметр m	1,00	0,80	0,60	0,50	0,40	0,30	0,25	0,20	0,15
1,000	0,3333	0,3148	0,2917	0,2778	0,2619	0,2436	0,2333	0,2222	0,2101
1,347	0,3262	0,3079	0,2850	0,2713	0,2556	0,2374	0,2273	0,2163	0,2044
1,756	0,3190	0,3009	0,2783	0,2647	0,2491	0,2312	0,2212	0,2103	0,1985
2,240	0,3117	0,2938	0,2714	0,2580	0,2427	0,2250	0,2150	0,2043	0,1926
2,814	0,3044	0,2867	0,2646	0,2513	0,2362	0,2187	0,2089	0,1983	0,1867
3,500	0,2970	0,2795	0,2577	0,2446	0,2296	0,2124	0,2027	0,1922	0,1808
4,324	0,2895	0,2723	0,2507	0,2378	0,2230	0,2060	0,1964	0,1861	0,1748
5,321	0,2820	0,2650	0,2437	0,2309	0,2164	0,1996	0,1901	0,1799	0,1688
6,536	0,2743	0,2576	0,2366	0,2240	0,2097	0,1931	0,1838	0,1738	0,1628
8,031	0,2666	0,2501	0,2294	0,2170	0,2029	0,1865	0,1774	0,1675	0,1567
9,889	0,2587	0,2424	0,2221	0,2099	0,1960	0,1799	0,1709	0,1612	0,1506

Дальнейшая последовательность расчета приведена в таблицах 187, 188 и 193.

Таблица 187

Последовательность расчета на постоянную нагрузку

№ п/п	Элементы расчета	Расчетные сечения			Примечание
№ п/п	Элементы расчета	пята	четверть	ключ	Примечание
1	cosφ
2	Нормальная сила без учета упругого обжатия:				H_g и N_g - для всех сечений положительны
3	Дополнительная нормальная сила от упругого обжатия: ∆N_g = ∆H_gcosφ				∆H_g и ∆N_g - для всех сечений отрицательны
4	Полная нормальная сила: N_g + ∆N_g				Суммируются пп. 2 и 3 с учетом знаков
5	Ординаты y', считая от оси, проходящей через центр замкового сечении (см. рис. 51)
6	Ординаты y, считая от оси, проходящей через упругий центр: y = y_к - y' (см. рис. 54)				Знаки y: в пяте -; в ключе +; в четверти + или -
7	Изгибающий момент от упругого обжатия: ∆M_g = -∆H_gy				∆H_g и y подставляются в формулу со своими знаками
8	Площадь сечения F
9	Момент сопротивления W
10	Напряжения от сжатия:				Из пп. 4 и 8
11	Напряжения от изгиба в верхнем волокне:				∆M_g из п. 7 со своим знаком
12	Напряжения от изгиба в нижнем волокне:				∆M_g из п. 7 со своим знаком
13	Напряжения в верхнем волокне:				Суммируются пп. 10 и 11 с учетом знаков
14	Напряжения в нижнем волокне:				Суммируются пп. 10 и 12 с учетом знаков

Таблица 188

Последовательность расчета на температурные воздействия

№ п/п	Элементы расчета	Расчетные сечения			Примечание
№ п/п	Элементы расчета	пята	четверть	ключ	Примечание
	I. Понижение температуры
1	cosφ
2	Нормальная сила: N_t = H_t_(-)cosφ	(-)	(-)	(-)
3	Ординаты y м				Из п. 6 табл. 187
4	Изгибающий момент: M_t = -H_t_(-)y				H_t_(-) и y подставляются в формулу со своими знаками
5	Площадь сечения F				Из п. 8 табл. 187
6	Момент сопротивления W
7	Напряжения от нормальной силы:				Из пп. 2 и 5 N_t подставляется со своим знаком
8	Напряжении от изгиба и верхнем волокне				M_t из п. 4 со своими знаками
9	Напряжение от изгиба в нижнем волокне:				То же
10	Расчетные напряжения в верхнем волокне:				Суммируются пп. 7 и 8 со своими знаками
11	Расчетные напряжения в нижнем волокне:				Суммируются пп. 7 и 9 с учетом знаков
	II. Повышение температуры
12	Расчетные напряжения в верхнем волокне: σ_в				Получается умножением данных п. 10 настоящей таблицы с учетом знаков на коэффициент, равный
13	То же, в нижнем волокне: σ_н				Получается умножением строки 11 на тот же коэффициент, равный k

Распор от температуры определяется по формуле:

- при повышении температуры на +t°;

- при понижении температуры на -t°.

где E - модуль упругости материала свода.

Расчетные колебания температуры отсчитывают от температуры замыкания.

Дли этого, пользуясь картами июльских и январских изотерм (см. рисунки 112 - 114), определяют температуру оси свода:

T_{оси
в июле} - наивысшая;

T_{оси в январе} - наинизшая.

Температуру замыкания свода T_зам принимают в зависимости от климата местности в пределах от +5° до +15°.

При этих обозначениях расчетные колебания температуры будут определяться:

Расчетное повышение температуры:

t_пов = T_{оси виюле} - T_зам.

Расчетное понижение температуры:

t_пов = T_{оси в январе} - T_зам.

Кроме того, учитывается условное добавочное понижение температуры за счет влияния усадки материала по ТУ.

Распор от температуры H_t приложен в упругом центре (рис. 55).

Рис. 55. Схема к определению усилии от температуры

Последовательность расчета на температурные воздействия приведена в табл. 188.

При определении усилии от временной нагрузки можно пользоваться эквивалентными нагрузками, используя линии влияния (рис. 56), площади которых определяются по табл. 189; длины отдельных участков загружения λ₁ и λ₂ принимаются по табл. 190.

Рис. 56. Линии влияния усилии и бесшарнирной арке

Таблица 189

Значения коэффициента α для вычисления площадей линий влиянии моментов, распора и поперечных сил

Сечение	Усилие	Величины коэффициентов α при параметре n, равном
Сечение	Усилие	1,00	0,80	0,60	0,50	0,40	0,30	0,25	0,20	0,15
m = 1,00
Замок	Макс. M	+0,0054	-0,0052	+0,0049	+0,0047	+0,0046	+0,0044	-0,0043	+0,0041	+0,0040
	Соотв. H₁	+0,060	+0,059	+0,059	+0,059	+0,059	+0,059	-0,059	+0,059	+0,059
	Мин. M	-0,0027×2	-0,0026×2	-0,0024×2	-0,0024×2	-0,0023×2	-0,0022×2	-0,0022×2	-0,0020×2	-0,0020×2
	Соотв. H₂	+0,033×2	+0,033×2	+0,033×2	+0,033×2	+0,033×2	+0,033×2	+0,033×2	+0,033×2	+0,033×2
Четверть	Макс. M	+0,0090	+0,0088	+0,0085	+0,0083	+0,0080	+0,0076	+0,0074	+0,0071	+0,0068
	Соотв. H₁	+0,040	+0,039	+0,038	+0,037	+0,036	+0,035	+0,034	+0,033	+0,081
	Соотв. Q₁	-	+0,0975	+0,096	+0,0945	+0,093	+0,0915	+0,090	+0,0885	+0,087
	Мин. M	-0,0090	-0,0088	-0,0085	-0,0083	-0,0080	-0,0076	-0,0074	-0,0071	-0,0068
	Соотв. H₂	+0,085	+0,086	+0,087	+0,088	+0,089	+0,090	-0,091	+0,092	+0,094
	Соотв. Q₂	-	+0,1525	+0,154	+0,1555	+0,157	+0,1585	+0,160	+0,1675	+0,163
Пята	Макс. M	+0,0171	+0,0177	+0,0186	+0,0192	+0,0200	+0,0211	+0,0217	+0,0226	+0,0236
	Соотв. H₁	+0,085	+0,086	+0,086	+0,086	+0,086	+0,086	+0,087	+0,087	+0,087
	Соотв. Q₁	-	+0,150	+0,149	+0,1475	+0,146	+0,145	+0,144	+0,143	+0,142
	Мин. M	-0,0171	-0,0177	-0,0186	-0,0192	-0,0200	-0,0211	-0,0217	-0,0226	-0,0236
	Соотв. H₂	+ 0,040	+0,039	+0,039	+0,039	+0,039	+0,039	+0,038	+0,038	+0,038
	Соотв. Q₂	-	+0,350	+0,351	+0,3525	+0,354	+0,355	+0,356	+0,357	+0,358
m = 2,24
Замок	Макс. M	+0,0065	+0,0062	+0,0059	+0,0056	+0,0054	+0,0052	+0,0050	+0,0049	+0,0047
	Соотв. H₁	+0,067	+0,067	+0,067	+0,067	+0,067	+0,067	+0,067	+0,067	+0,067
	Мин. M	-0,0022×2	-0,0022×2	-0,0022×2	-0,0020×2	-0,0020×2	-0,0019×2	-0,0019×2	-0,0019×2	-0,0018×2
	Соотв. H₂	+0,030×2	+0,030×2	+0,030×2	+0,030×2	+0,030×2	+0,030×2	+0,030×2	+0,030×2	+0,030×2
Четверть	Макс. M	+0,0086	+0,0084	+0,0081	+0,0079	+0,0076	+0,0073	+0,0070	+0,0068	+0,0064
	Соотв. H₁	+0,039	+0,038	+0,038	+0,036	+0,035	+0,034	+0,033	+0,032	+0,031
	Соотв. Q₁	-	+0,0915	+0,090	+0,0885	+0,087	+0,0855	+0,084	+0,0825	+0,081
	Мин. M	-0,0099	-0,0098	-0,0095	-0,0093	-0,0090	-0,0087	-0,0084	-0,0082	-0,0077
	Соотв. H₂	+0,089	+0,090	+0,091	+0,093	+0,094	+0,095	+0,097	+0,098	+0,099
	Соотв. Q₂	-	+0,1585	+0,160	+0,1615	+0,163	+0,1645	+0,166	+0,1675	+0,169
Пята	Макс. M	-0,0204	+0,0209	+0,0220	+0,0228	+0,0237	+0,0249	+0,0260	+0,0269	+0,0281
	Соотв. H₁	+0,091	-0,092	+0,092	+0,093	+0,093	+0,093	-0,094	+0,094	+0,095
	Соотв. Q₁	-	-0,1640	+0,1625	+0,161	+0,160	+0,159	+0,1575	+0,156	+0,155
	Мин. M	-0,0156	-0,0161	-0,0170	-0,0175	-0,0182	-0,0192	-0,0198	-0,0205	-0,0214
	Соотв. H₂	+0,037	+0,036	+0,036	+0,036	+0,036	+0,036	+0,036	+0,036	+0,036
	Соотв. Q₂	-	+0,336	+0,3375	+0,339	+0,340	+0,341	+0,3425	+0,344	+0,345
m = 3,500
Замок	Макс. M	+0,0073	+0,0069	+0,0065	+0,0063	+0,0060	+0,0057	+0,0055	+0,0053	+0,0051
	Соотв. H₁	+0,072	+0,072	+0,072	+0,072	+0,072	+0,072	+0,072	+0,072	+0,073
	Мин. M	-0,0021×2	-0,0020×2	-0,0020×2	-0,0019×2	-0,0018×2	-0,0018×2	-0,0018×2	-0,0017×2	-0,0016×2
	Соотв. H₂	+0,029×2	+0,029×2	+0,029×2	+0,030×2	+0,030×2	+0,030×2	+0,030×2	+0,030×2	+0,030×2
Четверть	Макс. M	+0,0083	+0,0081	+0,0078	+0,0076	+0,0073	+0,0070	+0,0068	+0,0065	+0,0062
	Соотв. H₁	+0,039	+0,038	+0,038	+0,036	+0,035	+0,034	+0,033	+0,032	+0,031
	Соотв. Q₁	-	+0,088	+0,0865	+0,084	+0,086	+0,083	+0,0815	+0,080	+0,079
	Мин. M	-0,0104	-0,0103	-0,0101	-0,0099	-0,0097	-0,0094	-0,0092	-0,0089	-0,0085
	Соотв. H₂	+0,090	+0,092	+0,093	+0,095	+0,096	+0,098	+0,099	+0,101	+0,103
	Соотв. Q₂	-	+0,162	+0,1635	+0,165	+0,166	+0,167	+0,1685	+0,170	+0,171
Пята	Макс. M	-0,0224	+0,0231	+0,0245	+0,0253	+0,0263	+0,0279	+0,0283	+0,0300	+0,0313
	Соотв. H₁	+0,094	-0,095	+0,095	+0,096	+0,096	+0,097	-0,097	+0,098	+0,100
	Соотв. Q₁	-	-0,170	+0,169	+0,168	+0,167	+0,166	+0,165	+0,164	+0,163
	Мин. M	-0,0145	-0,0150	-0,0159	-0,0164	-0,0170	-0,0180	-0,0186	-0,0192	-0,0201
	Соотв. H₂	+0,035	+0,035	+0,035	+0,035	+0,035	+0,035	+0,035	+0,034	+0,034
	Соотв. Q₂	-	+0,300	+0,31	+0,32	+0,33	+0,34	+0,35	+0,36	+0,37
m = 5,321
Замок	Макс. M	+0,0082	+0,0079	+0,0074	+0,0071	+0,0068	+0,0065	+0,0063	+0,0060	+0,0058
	Соотв. H₁	+0,078	+0,078	+0,078	+0,078	+0,078	+0,078	+0,079	+0,079	+0,079
	Мин. M	-0,0018×2	-0,0018×2	-0,0018×2	-0,0016×2	-0,0016×2	-0,0015×2	-0,0015×2	-0,0014×2	-0,0014×2
	Соотв. H₂	+0,027×2	+0,027×2	+0,028×2	+0,028×2	+0,028×2	+0,029×2	+0,029×2	+0,029×2	+0,030×2
Четверть	Макс. M	+0,0081	+0,0079	+0,0076	+0,0074	+0,0071	+0,0067	+0,0065	+0,0063	+0,0059
	Соотв. H₁	+0,039	+0,038	+0,037	+0,036	+0,035	+0,034	+0,033	+0,032	+0,031
	Соотв. Q₁	-	+0,084	+0,0825	+0,081	+0,080	+0,079	+0,0775	+0,076	+0,075
	Мин. M	-0,0110	-0,0110	-0,0108	-0,0107	-0,0105	-0,0101	-0,0099	-0,0097	-0,0093
	Соотв. H₂	+0,093	+0,094	+0,096	+0,098	+0,100	+0,101	+0,103	+0,105	+0,107
	Соотв. Q₂	-	+0,166	+0,1675	+0,169	+0,170	+0,171	+0,1725	+0,174	+0,175
Пята	Макс. M	+0,0248	+0,0256	+0,0270	+0,0279	+0,0293	+0,0307	+0,0319	+0,0333	+0,0349
	Соотв. H₁	+0,099	+0,099	+0,100	+0,101	+0,102	+0,103	+0,103	+0,104	+0,105
	Соотв. Q₁	-	+0,177	+0,176	+0,175	+0,174	+0,173	+0,172	+0,171	+0,170
	Мин. M	-0,0135	-0,0140	-0,0148	-0,0153	-0,0159	-0,0167	-0,0173	-0,0179	-0,0187
	Соотв. H₂	+0,033	+0,033	+0,033	+0,033	+0,033	+0,033	+0,033	+0,033	+0,033
	Соотв. Q₂	-	+0,323	+0,324	+0,325	+0,326	+0,327	+0,328	+0,329	+0,330
m = 8,031
Замок	Макс. M	+0,0093	+0,0089	+0,0083	+0,0080	+0,0075	+0,0072	+0,0070	+0,0067	+0,0065
	Соотв. H₁	+0,085	+0,085	+0,085	+0,085	+0,086	+0,086	+0,086	+0,086	+0,086
	Мин. M	-0,0016×2	-0,0016×2	-0,0014×2	-0,0014×2	-0,0014×2	-0,0013×2	-0,0012×2	-0,0012×2	-0,0012×2
	Соотв. H₂	+0,024×2	+0,025×2	+0,026×2	+0,026×2	+0,026×2	+0,026×2	+0,027×2	+0,028×2	+0,028×2
Четверть	Макс. M	+0,0078	+0,0076	+0,0073	+0,0071	+0,0068	+0,0065	+0,0063	+0,0060	+0,0057
	Соотв. H₁	+0,039	+0,039	+0,038	+0,036	+0,035	+0,034	+0,034	+0,033	+0,032
	Соотв. Q₁	-	+0,0835	+0,082	+0,0805	+0,079	+0,0775	+0,076	+0,0745	+0,073
	Мин. M	-0,0115	-0,0115	-0,0114	-0,0113	-0,0111	-0,0109	-0,0107	-0,0104	-0,0101
	Соотв. H₂	+0,095	+0,096	+0,098	+0,101	+0,103	+0,105	+0,106	+0,108	+0,110
	Соотв. Q₂	-	+0,1665	+0,168	+0,1695	+0,171	+0,1725	+0,174	+0,1755	+0,177
Пята	Макс. M	+0,0271	+0,0282	+0,0295	+0,0307	+0,0319	+0,0338	+0,0352	+0,0367	+0,0386
	Соотв. H₁	+0,101	+0,102	+0,103	+0,104	+0,105	+0,106	+0,108	+0,109	+0,110
	Соотв. Q₁	-	+0,185	+0,184	+0,183	+0,1815	+0,180	+0,179	+0,178	+0,177
	Мин. M	-0,0126	-0,0131	-0,0137	-0,0142	-0,0148	-0,0155	-0,0160	-0,0166	-0,0173
	Соотв. H₂	+0,032	+0,032	+0,032	+0,032	+0,032	+0,032	+0,032	+0,032	+0,032
	Соотв. Q₂	-	+0,315	+0,316	+0,316	+0,318	+0,320	+0,321	+0,321	+0,323

Таблица 190

Значения длин затруднении λ₁ и λ₂ (к рис. 56)

m	Пята		Замок		Четверть
m	λ₁	λ₂	λ₁	λ₂	λ₁	λ₂
1,000	0,40	0,60	0,25	0,375	0,38	0,62
1,347	0,40	0,60	0,26	0,370	0,38	0,62
2,240	0,38	0,62	0,28	0,360	0,38	0,62
3,500	0,37	0,63	0,30	0,350	0,37	0,63
5,321	0,36	0,64	0,32	0,340	0,37	0,63
8,031	0,35	0,65	0,35	0,325	0,36	0,64
0,889	0,34	0,66	0,37	0,315	0,36	0,64

Площади линий влияния исчисляются по формулам:

для M₁

ω = αl²;

для соответствующего H

для соответствующего Q

ω = αl,

где α - коэффициенты из табл. 189.

Расчет производится в следующем порядке:

Соответственно данным параметрам m и n из табл. 189 находят значения max M₁ и соответствующие ему H₁ и Q₁ и min M₁ с соответствующими H₂ и Q₂, после чего вычисляют:

Дальнейшая последовательность вычисления напряжений в сечениях свода от временной нагрузки при max M приведена в табл. 193. Вычисление напряжении при min M выполняется по аналогии для max M.

Данные для предварительного расчета

Для ускоренного предварительного расчета бесшарнирных арок можно воспользоваться следующими данными Н.И. Поливанова.

Ось арки принимается по параболе (рис. 57)

Рис 57. Геометрия бесшарнирной арки

и закон изменения сечений - по Штрасснеру при n = 0,3.

Тогда тригонометрические функции углов наклона оси арки будут:

в пяте

в четверти пролета

Высота арки:

в пяте

в четверти пролета

где h_к - высота сечения в замке.

Усилия от равномерно распределенной нагрузки интенсивностью g (постоянная нагрузка) вычисляются по формулам:

вертикальная опорная реакция

V_g = 0,5gl;

распор

момент в пяте

Здесь y_s =0,244f - ордината упругого центра;

- коэффициент упругого обжатия,

где v₁ - определяется по табл. 191;

i_к - радиус инерции сечения в замке.

Таблица 191

Значении величины v и v₁ в зависимости от

	Величины
	v	v₁
0,1	1,2	1,15
0,14	1,24	1,14
0,18	1,27	1,12
0,22	1,31	1,09
0,26	1,35	1,07
0,30	1,39	1,04

Усилия от нагрузки g в сечении арки с координатами х, y находятся по формулам:

Усилия от временной нагрузки находятся по формулам:

Здесь коэффициент упругого обжатия

где v - коэффициент по табл. 191.

Величины и H определяются по линиям влияния (рис. 58). Для сечений в замке, четверти пролета и в пяте площади этих линий влияния приведены в табл. 192.

Рис. 58. Линии влияния усилий в бесшарнирной арке (для предварительного расчета)

Таблица 192

Площади участков линий влияния (к рис. 58)

Сечение	Загружение		Площади участков линий влияния
Сечение	Загружение		K	соответствующее H	соответствующее
В ключе		+М	0,0044l²		0
В ключе		-М	-0,0044l²		0
		+М	0,0076l²		0,093l
		-М	-0,0076l²		0,157l
В пяте		+М	0,0211l²		0,144l
В пяте		-М	-0,0211l²		0,356l

Усилие от температуры определяется по формулам:

распор

нормальная сила в сечении х

N_x = H_tcosφ_x;

момент в сечении х

M_x = H_t(f - y - y_s),

где E - модуль упругости материала арки;

I_к - момент инерции ключевого сечения;

t - изменение температуры;

α - коэффициент линейного удлинения.

Формулы для расчета параболических бесшарнирных арок

При приближенном определении значений усилий можно использовать готовые решения для параболической арки, момент инерции сечения которой изменяется по закону косинуса:

Эти решения, приведенные в табл. 194 для различных случаев загружения, даны без учета упругого обжатия.

Величину распора с учетом упругого обжатия можно найти умножением табличных формул на коэффициент:

Для предварительного определения усилий с учетом влияния упругого обжатия для арок, очерченных по квадратной параболе или по кривой, близкой к ней по очертанию, при и при сечениях постоянных или мало изменяющихся по длине арки, можно пользоваться следующими формулами для линий влияния реактивных усилий (см. рис. 56):

Таблица 193

Элементы расчета на временную нагрузку при загружении M_max

с с"	Элементы расчета	Расчетные сечения			Примечание
с с"	Элементы расчета	пята	четверть	ключ	Примечание
1	cosφ. sinφ. Площадь сечения F. Момент сопротивления W
2					v₁ - по табл. 184 - по табл. 185
3	Ординаты y				По п. 6 табл. 187
4	Площадь линии влияния (для загружения на max M₁) ω₁				По табл. 189 для соответствующих m и n. Табличные коэффициенты умножать на l²
5	Эквивалентная нагрузка P₁ (для соответствующей длины загружения линии влияния max M₁)				По таблицам эквивалентных нагрузок с коэффициентом поперечной установки
6	max M₁ = P₁ω₁ (без учета упругого обжатия)
7	Соответствующая площадь линии влияния для H₁ ω₂				По табл. 189 Табличные коэффициенты умножать на
8	Эквивалентная нагрузка P₂ (для загружения соответствующей площади влияния H₁)				По таблицам эквивалентных нагрузок с коэффициентом поперечной установки
9	Соответствующий распор. H₁ = P₂ω₂
10
11	Полный момент:
12	Поперечная сила для пяты (при загружении на max M₁):				Значения P_A - по таблицам эквивалентных нагрузок для соответствующего значения опорной реакции A (см. П и У 1948 г. примеч. к табл. 9)
13	Для пяты				- поперечная сила - балочная. При соответствующем загружении на max M₁
14	Для пяты: H₁ = P₂ω₂				Из п. 9
15	Продольная сила в пяте max M:				H₁ из п. 9
16	Продольная сила для четверти пролета:				H₁ из п. 9
17	Продольная сила для замка:
18	Напряжения для max M:

Примечание. Принятая в таблице последовательность заимствована из книги проф. Н.Я. Калмыкова «Каменные и бетонные мосты и трубы». Автотрансиздат, 1957.

§ 39. Определение усилий в двухшарнирных арках

Для эскизного расчета двухшарнирных арок, имеющих очертание оси по квадратной параболе с законом изменений сечений

(см. стр, 348),

можно пользоваться следующими данными Н.И. Поливанова.

Тригонометрические функции углов оси арки (рис. 59):

в пяте

Рис. 59. Геометрия двухшарнирной арки в четверти пролета

в четверти пролета

Высота арки:

в пяте

в четверти пролета:

где h_к - высота арки в ключе.

Усилия от равномерно распределенной нагрузки интенсивностью g (постоянная нагрузка) определяются по формулам: вертикальная опорная реакция

распор

Здесь коэффициент упругого обжатия

где i_к - радиус инерции замкового сечения;

v - коэффициент, принимаемый по табл. 195.

Усилия от нагрузки g в сечении арки с координатами x, y найдутся по формулам:

Усилия от временных нагрузок находятся по формулам:

Величины определяются по линиям влияния (рис. 60). Для сечения в замке, четверти пролета и в пяте в табл. 196 приведены площади этих линий влияния.

Рис. 60. Линия влияния усилий в двухшарнирной арке

Усилия от температуры определяются по формулам:

распор

нормальная сила в сечении х

N_x = Н_tcosφ_x;

момент в сечении х

M_x = Н_ty,

где E - модуль упругости материала свода;

I_к - момент инерции замкового сечения;

t - изменение температуры;

α - коэффициент линейного удлинения.

Для некоторых частных случаев загружений арок в табл. 198 приводятся формулы усилий; в таблице принята арка параболическая с уравнением оси:

и законом изменения сечений:

Множитель, учитывающий влияние продольных сил для арки с затяжкой, исчисляется по формуле:

где E и E₁ - модули упругости соответственно арки и затяжки;

I_к - момент инерции сечения арки <в ключе;

F_к и F₁ - площади арки в ключе и затяжке.

Если затяжка отсутствует (F₁ = ∞), то

или несколько точнее

где вычисляется по табл. 197.

Величины M_x, N_x и Q_x для произвольного сечения x могут быть найдены по формулам:

где - момент и поперечная сила в сечении x как для простой балки.

Ординаты линии влияния распора H (рис. 61) могут быть вычислены по формуле:

Рис. 61. Схема к расчету двухшарнирной арки

Линия влияния H приведена на рис. 62.

Рис. 62. Ординаты липни влияния распора (умножать на )

От равномерного изменения температуры и сдвига опор пологой параболической арки распор может быть вычислен по формуле:

Здесь t- изменение температуры (положительное при нагреве);

∆l - сдвиг опоры (положительный при увеличении расстояния между опорами);

H - распор (положителен, если направлен внутрь пролета).

Таблица 195

Значения коэффициента γ

	γ
0,1	1,04
0,14	1,06
0,18	1,10
0,22	1,14

Таблица 196

Площади участков линий влияния

Сечение	Загружение	Площади участков линий влияния
Сечение	Загружение		соответственное H	соответственное
В ключе	+М	0,0080l²	0,056	0
В ключе	-М	-0,0080l²	0,069	0
В пролета	+М	0,0163l²	0,060	0,090l
В пролета	-М	-0,0163l²	0,075	0,160l
В пяте	Весь пролет	0	0,125	0,500l

Таблица 197

Значения величины n при различных отношениях

0,7852

0,8434

0,8812

0,9110

0,9306

0,9424

0,9524

0,9706

0,9888

Таблица 198

Формулы реакций опор и изгибающего момента в ключе двухшарнирной арки

Схема нагрузки	V_A	V_B	H	M_к


				-
				-
				-
			H_B = P - H_A
			H_A = -0,7143qf H_B = 0,2857qf	-0,0357qf²
			H_A = -0,4008qf H_B = -0,0992qf	-0,01587qf²

§ 40. Определение усилий в трехшарнирных арках

Общие формулы

Трехшарнириая арка - статически определимая система, вследствие этого линейные деформации ее оси (от температуры, усадки и упругого обжатия) не вызывают в ней дополнительных усилий.

Очертание оси арки рекомендуется принимать по кривой давления от постоянной нагрузки.

Если нагрузка распределяется равномерно по пролету симметричной арки, то ось арки очерчивается по квадратной параболе с уравнением относительно осей х и у (рис. 63)

Рис. 63. Схема к расчету трехшарннрной арки с равномерно распределенной нагрузкой

При этом распор равен:

Если нагрузка меняется по закону:

где q_к - интенсивность нагрузки в ключе и φ - угол наклона к горизонтали, касательной к оси арки, что соответствует случаю арки постоянной толщины, нагруженной только собственным весом, уравнение оси арки в координатах x и y будет (рис. 64):

Рис. 64. Схема к расчету трехшарннрной арки с нагрузкой, изменяющейся по закону косинуса

где e - основание натуральных логарифмов;

в этом случае ось арки очерчена по цепной линии и распор определяется формулой:

Если нагрузка изменяется вдоль пролета арки по закону q = γy, так что в ключе q_к = γc и в пяте q_п = γb (рис. 65), то ось арки берется по катеноиду (см. выше).

Рис. 65. Схема к расчету трехшарнирных арок. Загружение по закону q = γy

Если нагрузка изменяется по закону:

то ось арки очерчивается по окружности, причем радиус окружности равен:

Распор в этом случае вычисляется по формуле:

H = q_кR.

Для приближенного определения ординат оси симметричной арки в трех промежуточных сечениях по двум значениям интенсивности нагрузки - в ключе q_к и в пяте q_п (см. рис. 65) - проф. Г.П. Передерий рекомендует формулы табл. 199.

Таблица 199

Ординаты оси трехшарнирной арки

Абсцисса сечения х:l/2	Ординаты оси арки
0,25
0,50
0,75

При этом распор может быть вычислен по формуле:

Для симметричной арки пологостью от ¹/₄ до ¹/₁₂ ординаты оси, совпадающей с кривой давления, могут быть взяты по табл. 200. В ней приведены относительные величины ординат , отсчитываемые от горизонтали, проходящей через центр ключевого сечения, в зависимости от коэффициента (оси координат см. на рис. 64). Кроме того, в этой таблице приведены коэффициенты a, b, ab и a₁ с помощью которых можно получить следующие величины:

равнодействующую нагрузки на полуарку

R = aq_пl

(где l - пролет арки; q_п - интенсивность нагрузки в пяте);

плечо силы R относительно центра пяты

r = bl;

распор

тангенс угла наклона пяты к вертикали:

равнодействующую нагрузки на части арки, ограниченной сечениями в ключе и четверти пролета,

R₁ = a₁q_пl.

Таблица 200

Ординаты оси и коэффициенты для расчета пологой симметричной арки

Значения коэффициента k	Коэффициенты для расчета
	Коэффициенты для расчета				1,0	0,95	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	0,0
	a₁	ab	b	a	Ординаты оси арки
0	0,2500	0,1250	0,2500	0,5000	1,0	0,9025	0,8100	0,6400	0,4900	0,3600	0,2500	0,1600	0,0900	0,0400	0,0100	0
0,1	0,1656	0,0852	0,2303	0,3700	1,0	0,8947	0,7968	0,6206	0,4692	0,3407	0,2347	0,1490	0,0834	0,0369	0,0092	0
0,2	0,1234	0,0669	0,2148	0,3110	1,0	0,8882	0,7853	0,6034	0,4507	0,3242	0,2211	0,1394	0,0775	0,0342	0,0085	0
0,3	0,0992	0,0555	0,2033	0,2730	1,0	0,8826	0,7760	0,5895	0,4361	0,3110	0,2105	0,1320	0,0732	0,0321	0,0080	0
0,4	0,0346	0,0488	0,1948	0,2505	1,0	0,8780	0,7677	0,5780	0,4241	0,3003	0,2021	0,1260	0,0395	0,0304	0,0075	0
0,5	0,0742	0,0441	0,1878	0,2348	1,0	0,8740	0,7606	0,5677	0,4137	0,2908	0,1948	0,1208	0,0663	0,0239	0,0070	0
0,6	0,0661	0,0400	0,1815	0,2204	1,0	0,8071	0,7541	0,5586	0,4042	0,2826	0,1882	0,1164	0,0637	0,0277	0,0068	0
0,7	0,0585	0,0367	0,1762	0,2081	1,0	0,8663	0,7481	0,5504	0,3952	0,2750	0,1826	0,1123	0,0614	0,0267	0,0066	0
0,8	0,0539	0,0340	0,1714	0,1984	1,0	0,8633	0,7428	0,5429	0,3878	0,2683	0,1771	0,1057	0,0592	0,0257	0,0064	0
0,9	0,0499	0,0319	0,1677	0,1901	1,0	0,8607	0,7383	0,5366	0,3818	0,2630	0,1729	0,1059	0,0574	0,0249	0,0052	0
1,0	0,0462	0,0301	0,1646	0,1828	1,0	0,8583	0,7345	0,5311	0,3758	0,2578	0,1689	0,1031	0,0558	0,0242	0,0060	0
1,1	0,0429	0,0286	0,1620	0,1766	1,0	0,8556	0,7309	0,5255	0,3698	0,2525	0,1649	0,1005	0,0542	0,0235	0,0058	0
1,2	0,0398	0,0274	0,1597	0,1716	1,0	0,8526	0,7249	0,5187	0,3639	0,2476	0,1611	0,0978	0,0528	0,0228	0,0056	0

В общем случае расчет трехшарнирных арок производится по следующим формулам.

Вертикальная составляющая опорных реакций определяется так же, как опорные реакции балки пролетом l:

где M_а, M_в - моменты всех внешних нагрузок относительно опорных точек А и В (рис. 66).

Рис. 66. Схема к определению усилий и трехшарнирной арке

Распор:

где М_к - момент всех приложенных к одной из полуарок сил исключая искомую реакцию H, относительно замкового шарнира.

Для сечения m с координатами x_m и y_m усилия находятся по формулам:

момент

поперечная сила

нормальная сила

где - момент и поперечная сила в сечении m простой балки пролетом l.

Величины sinφ_m и cosφ_m определяются через:

где y = F(x) - уравнение оси арки.

Наибольшие нормальные фибровые напряжения в сечениях арки определяются по формуле:

где F_m - площадь сечения арки;

W_m - момент сопротивления арки;

I_m - момент инерции сечения арки;

d - расстояние от центра тяжести сечения до крайнего волокна сечения.

Отыскание наибольшего значения σ по приведенной выше двухчленной формуле при расчете па подвижную нагрузку приводит к одновременному загружению линий влияния M_m и N_m и вводит элемент неопределенности в смысле выбора той критической установки подвижной нагрузки, которая давала бы невыгоднейшую комбинацию. Поэтому при расчете на подвижную нагрузку целесообразнее пользоваться ядровыми моментами, при которых напряжения определяются по следующим одночленным формулам (рис. 67):

напряжения сжатия

напряжения растяжения

В этих выражениях M^u = N(c₂ + e) и M^o = N(e - c₁) представляют собой величины моментов в сечении арки относительно крайних ядровых точек u и o.

Рис. 67. Схема к определению ядровых моментов:
c₁ и c₂ - расстояния точек ядра от оси арки; e - эксцентриситет нормальной силы N. Для прямоугольного сечения

Для наиболее часто встречающихся случаев загружения параболических и кругойых арок ниже (в таблицах 201 и 202) приводятся формулы и таблицы опорных реакций и усилий в сечениях. На рис. 68 даны значения опорных реакций для некоторых случаев нагрузки.

Рис. 68. Опорные реакции трехшариирной арки от различных нагрузок

Таблица 201

Значения V, M, H и N для симметричной параболической трехшарнирной арки при загружении вертикальными нагрузками

Загружение	Усилия
Загружение	V_A	V_B	H	M_m (в ¹/₄l)	M_m₁ (в ³/₄l)	N_m (в ¹/₄l)	N_m₁ (в ³/₄l)
Груз P в среднем шарнире
Груз P в четверти пролета
Равномерная нагрузка по всему пролету q				0	0
Равномерная нагрузка до середины пролета

Таблица 202

Расчетные величины для круговых симметричных трехшарнирных арок

Уравнение оси круговой арки:

Нагрузки:

p₀ - полная, равномерно распределенная на длине l;

p₁ - односторонняя, равномерно распределенная на длине ;

p₂ - односторонняя, равномерно распределенная на длине c, соответствующая максимальному M в сечении при

Значения M, Q и N даны для сечения, определяемого координатами x₂, y₂ при

Наименование величины		Расчетные величины при пологости арки f/l, равной								Множитель
Наименование величины		¹/₂	¹/₃	¹/₄	¹/₅	¹/₆	¹/₇	¹/₈	¹/₁₀	Множитель
Вертикальные реакции	x₂	0,1465	0,1995	0,2205	0,2303	0,2365	0,2400	0,2423	0,2451	l
	y₂	0,7071	0,7271	0,7362	0,7407	0,7434	0,7449	0,7464	0,7475	f
	c	0,2929	0,3543	0,3750	0,3831	0,3890	0,3920	0,3939	0,3960	l
		0,5000p₀l
		0,3750p₀l
		0,2500	0,2915	0,3047	0,3101	0,3133	0,3152	0,3163	0,3176	p₂l


		0,0429	0,0628	0,0703	0,0736	0,0757	0,0768	0,0776	0,0784	p₂l
Распор	H₀	0,2500	0,3750	0,5000	0,6250	0,7500	0,8750	1,000	1,2500	p₀l
	H₁	0,1250	0,1775	0,2500	0,3125	0,3750	0,4375	0,5000	0,6250	p₁l
	H₂	0,0429	0,0942	0,1406	0,1840	0,2271	0,2688	0,3104	0,3920	p₂l
Моменты	M₀	-0,0259	-0,0110	-0,0061	-0,0040	-0,0027	-0,0019	-0,0015	-0,0009	p₀l²
	M₁	0	+0,0094	+0,0124	+0,0136	+0,0142	+0,0146	+0,0149	+0,0153	p₁l²
	M₂	+0,0107	+0,0154	+0,0170	+0,0180	+0,0182	+0,0184	+0,0185	+0,0186	p₂l²
Поперечные силы	Q₀	+0,0732	+0,0420	+0,0264	+0,0183	+0,0128	+0,0096	+0,0075	+0,0049	p₀l
	Q₁	+0,0732	+0,0420	+0,0264	+0,0183	+0,0128	+0,0096	+0,0075	+0,0049	p₁l
	Q₂	+0,0429	+0,0243	+0,0124	+0,0058	+0,0011	-0,0015	-0,0035	-0,0057	p₂l
Нормальные силы	N₀	-0,4268	-0,4787	-0,5722	-0,6805	-0,7948	-0,9128	-1,0326	-1,2758	p₀l
	N₁	-0,2500	-0,2534	-0,2927	-0,3439	-0,3996	-0,4578	-0,5173	-0,6384	p₁l
	N₂	-0,1036	-0,1294	-0,1634	-0,2005	-0,2397	-0,2791	-0,3191	-0,3986	p₂l

Линии влияния усилий в сечениях трехшарнирных арок изображены на рис. 69. Ниже приводятся формулы для построения этих линий влияния.

Рис. 69. Линии слияния усилий в трехшарнирной арке

Линия влияния опорных реакций V_a и V_b (рис. 69, а и б):

Наибольшие ординаты расположены под опорами и равны единице. Площади линий влияния:

Линия влияния распора H (рис. 69, в):

левая прямая

правая прямая

Наибольшая ордината y расположена под замковым шарниром и равна:

Площадь линий влияния H:

Линия влияния изгибающего момента M_m в сечении с координатами x_m и y_m показана на рис. 69, г.

Нулевая точка линии влияния определяется расстояниями:

Наибольшие ординаты расположены под сечением и ключевым шарниром; значения их:

где

Площади линии влияния:

Линия влияния поперечной силы Q_m в сечении с координатами x_m и y_m показана на рис. 69, д.

Нулевая точка (мнимая) располагается от опоры А на расстоянии:

Под ключевым шарниром располагается точка перелома линии влияния. Наибольшие ординаты линии влияния равны:

Площади линии влияния:

Линия влияния поперечной силы Q_m в сечении m₁ с действительной нулевой точкой показана на рис. 69, е. Положение нулевой точки r_m₁, величины ординат y₁, y₂ и y₃ и площади ω₁ вычисляются по приведенным выше формулам, подставляя в них вместо x_m абсциссу x_m₁. Площади остальных участков равны:

Линия влияния нормальной силы N_m в сечении с координатами x_m и y_m показана на рис. 69, ж.

Перелом линии влияния расположен под ключевым шарниром. Наибольшие ординаты равны:

Площадь линии влияния:

Для построения линий влияния ядровых моментов (рис. 70) остаются справедливы формулы для центральных моментов при замене ординат x_m и y_m ординатами крайних точек ядра сечения. Последние вычисляются по формулам (рис.71): верхняя точка ядра сечения

нижняя точка ядра сечения

Здесь

где ρ - радиус инерции;

d₁ и d₂ - расстояния от центра тяжести сечения до крайних величин.

Рис. 70. Линии влияния ядровых моментов в трехшарнирной арке

Рис. 71. Схема к определению ординат ядровых точек

Прогиб трехшари ирных арок

Для частного случая пологой параболической арки с I-const Мелан дает уравнение линии влияния прогиба ключевого шарнира:

где a - расстояние груза от опорного шарнира;

l - пролет;

f - стрела арки;

I, F - постоянные моменты инерции и площади сечения арки;

E - модуль упругости материала арки.

Равномерно распределенная нагрузка g вызывает прогиб в ключе:

Глава 13

БОКОВОЕ ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ

§ 41. Общие данные

Условные обозначения (рис. 72):

φ - угол внутреннего трения грунта;

δ - угол трения грунта по стенке;

- угол плоскости обрушения;

±α - угол поверхности грунта;

±β - угол наклона задней грани стенки;

γ -вес 1 м³ грунта;

γ₀ - вес 1 .м³ воды;

H - расчетная высота стенки;

E - активное давление грунта на стенку;

z - плечо давления;

h₀ - приведенная (эквивалентная) высота равномерно распределенной нагрузки, находящейся на призме обрушения, равная:

где q - интенсивность нагрузки.

Рис. 72. Расчетная схема подпорных стенок:
а - приведенная нагрузка на призме обрушения; б - стенка с восходящим откосом; в - стенка с нисходящим откосом; г - стенка с наклонной задней гранью; д - стенка с наклонной задней гранью и сторону насыпи

Приводимые ниже формулы и таблицы дают возможность с достаточной для практики точностью определять для большинства случаев расчетное давление грунта на береговые опоры и подпорные стенки.

Для упрощения расчетов формулы составлены без учета трения призмы обрушения по кладке стенок, т.е. принято δ = 0, вследствие чего направление бокового давления грунта E всегда горизонтально.

Формулы приведены для давлений грунта на 1 м длины стенки.

Физико-механические показатели грунта, необходимые для расчета подпорных стенок, должны, как правило, приниматься по данным лабораторных исследований.

При их отсутствии для стадии проектного задания можно пользоваться данными ТУ МКХ РСФСР 1948 г., приведенными в таблицах 203 - 205.

При разработке типовых проектов принимают для свеженасыпанной насыпи γ = 1,7 т/м³ и φ = 35° с уменьшением до φ = 30° при возможности насыщения грунта водой.

Таблица 203

Ориентировочные значения объемных весов и углов внутреннего трения связанных глинистых грунтов

Наименование грунтов и их состояние	Пористость, %	Объемный вес грунта γ в состоянии естественной влажности, т/м³	Угол φ внутреннего трения, град.
Глины:
текучие	63 - 56	1,65 - 1,75	12
пластичные	56 - 47	1,75 - 1,80	25
твердопластнчные	47 - 32	1,80 - 2,00	37
Глинистые грунты:
текучие	56 - 50	1,75 - 1,85	15
пластичные	50 - 42	1,85 - 1,90	28
твердопластнчные	42 - 29	1,90 - 2,10	40
Суглинки:
текучие	52 - 46	1,80 - 1,90	20
пластичные	46 - 39	1,90 - 2,00	32
твердопластнчные	39 - 27	2,00 - 2,10	40
Пылеватые глинистые:
текучие	50 - 45	1,85 - 1,90	10
пластичные	45 - 39	1,90 - 2,00	20
твердопластнчные	39 - 28	2,00 - 2,10	33

Таблица 204

Ориентировочные значения объемных весов и углов внутреннего трения сыпучих грунтов

Наименование грунтов и их состояние	Пористость, %		Грунты сухие		Грунты влажные		Грунты мокрые
Наименование грунтов и их состояние	максимальная	минимальная	объемный вес γ т/м³	угол φ внутреннего трения, град.	объемный вес γ т/м³	угол φ внутреннего трения, град.	объемный вес γ т/м³	угол φ внутреннего трения, град.
Супеси:
рыхлые	53	-	1,4-1,6	22	1,6 - 1,7	20	1,8 - 1,85	15
средней плотности	-	-	1,6-1,8	25	1,7 - 1,9	22	1,85 - 2,05	17
плотные	-	30	1,8-1,95	27	1,9 - 2,05	25	2,05 - 1,15	18
Пылеватые пески и супеси:
рыхлые	50	-	1,5 - 1,6	27	1,7 - 1,8	22	1,85 - 1,9	18
средней плотности	-	-	1,6 - 1,8	30	1,8 - 1,9	25	1,9 - 2,0	20
плотные	-	30	1,8 - 2,0	33	1,9 - 2,05	25	2,0 - 2,15	22
Пески мелкие:
рыхлые	50	-	1,5 - 1,6	27	1,65 - 1,75	25	1,85 - 1,90	22
средней плотности	-	-	1,6 - 1,75	30	1,75 - 1,90	27	1,90 - 2,00	25
плотные	-	32	1,75 - 1,90	33	1,90 - 2,00	30	2,00 - 2,10	28
Пески средней крупности:
рыхлые	45	-	1,60 - 1,70	30	1,70 - 1,85	27	1,90 - 2,00	25
средней плотности	-	-	1,70 - 1,80	33	1,85 - 1,95	30	2,00 - 2,05	28
плотные	-	30	1,80 - 1,95	33	1,95 - 2,05	30	2,05 - 2,15	28
Пески крупные и гравелистые:
рыхлые	38	-	1,85 - 1,90	33	1,95 - 2,00	30	2,05 - 2,10	30
средней плотности	-	-	1,90 - 2,00	35	2,00 - 2,10	33	2,10 - 2,20	33
плотные	-	25	2,00 - 2,10	37	2,10 - 2,15	35	2,20 - 2,25	35
Гравий и галька:
средней плотности	30	-	2,00 - 2,05	40	2,05 - 2,10	40	2,15 - 2,20	40
плотные	-	24	2,05 - 2,10	40	2,10 - 2,20	40	2,20 - 2,25	40

Таблица 205

Ориентировочные значения объемных весов и углов внутреннего трения структурных грунтов

Род и наименование грунтов	Грунты сухие		Грунты влажные		Грунты мокрые до насыщения
Род и наименование грунтов	объемный вес γ т/м³	угол φ внутреннего трения, град.	объемный вес γ т/м³	угол φ внутреннего трения, град.	объемный вес γ т/м³	угол φ внутреннего трения, град.
Пылевидные грунты:
ил	1,5	30	1,6	18	1,8	10

илистый грунт	1,5	30	1,6	20	1,8	12
лёсс	1,5	-	1,6	30	1,8	25
лёссовидные суглинки	1,5	-	1,6	30	1,8	25
Грунты органического происхождения:
торфяной грунт	1,0	30	1,3	20	1,6	15
растительная земля рыхлая (почвенный слой)	1,5	40	1,5	33	-	-
Растительная земля, плотно слежавшаяся	1,7	40	1,8	33	-	-

§ 42. Основные случаи загружения подпорной стенки

Подпорные стенки с горизонтальной поверхностью засыпки

1-й случай (рис.73).

где

Рис. 73. Схема нагрузки на стенку. 1-й случай

Нижняя ордината эпюры давления:

Значения k_E для некоторых φ приведены в табл. 206.

Таблица 206

Значении величин и k_E для некоторых углов

Угол внутреннего трения φ, град.
20	0,70	0,490
25	0,637	0,406
26	0,625	0,391
27	0,613	0,376
28	0,601	0,361
29	0,589	0,347
30	0,577	0,333
31	0,566	0,320
32	0,554	0,307
33	0,543	0,295
34	0,532	0,283
35	0,521	0,271
36	0,510	0,260
37	0,499	0,249
38	0,488	0,238
39	0,477	0,228
40	0,466	0,217
41	0,456	0,208
42	0,445	0,198
43	0,435	0,189
44	0,424	0,180
45	0,414	0,171
50	0,364	0,132

2-й случаи (рис. 74).

Рис. 74. Схема нагрузки на стенку. 2-й случай

Ординаты эпюры давления:

3-й случай (рис. 75).

где

S - центр тяжести временной нагрузки и призмы обрушения
x₀ и y₀ - координаты точки S
Проектируя на заднюю грань стенки точку S параллельно плоскости обрушения, определяем точку приложения E
Рис. 75. Схема нагрузки на стенку. 3-й случай

Координаты x₀ и y₀

где

Данные для построения эпюры давления:

4-й случай (рис. 76).

где

S - центр тяжести временной нагрузки и призмы обрушения
x₀ и y₀ - координаты центра тятести - S
z - плечо давления
Рис. 76. Схема нагрузки на стенку. 4-й случай

Координаты x₀ и y₀:

где

Данные для построения эпюры давления:

5-й случай (рис. 77).

где

S - центр тяжести временной нагрузки и призмы обрушения
x₀ и y₀ - координаты центра тяжести
Рис. 77. Схема нагрузки на стенку. 5-й случай

Координаты x₀ и y₀:

где

Данные для построения эпюры давления:

Примечание к 4-му и 5-му случаям.

При определении значения по формуле может оказаться, что тогда значение получается мнимое. Значение может получиться и равное нулю и даже отрицательное. Во всех этих случаях следует полагать, что призма обрушения проходит через конец нагрузки b, т.е. через точки D и B, и отсюда определять величину , а именно: для 4-го случая и для 5-го случая

Случаи 6a и 6b (рис. 78).

Рис. 78. Схема нагрузки на стенку. Случаи 6a и 6b

Случаи 6а. Стенка имеет наклон +β; горизонтальное давление определяется на фиктивную грань a - b с учетом дополнительной вертикальной нагрузки от веса клина a₁ab.

Временная нагрузка на призме обрушения устанавливается непосредственно у этой грани.

Случай 6b. Стенка имеет наклон -β (в сторону насыпи); горизонтальное давление на грань AB определяется по формуле:

E = E₀(1 - tgβtgφ),

где E₀ - давление земли на условную вертикальную грань AC.

Плечо давления принимается то же, что и для давления на стенку AC.

Подпорные стенки с наклонной поверхностью засыпки

В дальнейшем имеется в виду, что наклонная поверхность лежит под углом α ≤ β (кроме особо рассмотренного 15-го случая).

В 7-м и 8-м случаях рассматриваются стенки, где плоскость обрушения засыпки пересекает откос.

7-й случай (рис. 79).

Ордината эпюры давления:

Рис. 79. Схема нагрузки на стенку. 7-й случай

Для частных случаев откосов 1:m и φ значения k приведены в табл. 217.

8-й случай (рис. 80).

Ордината эпюры давления:

Рис. 80. Схема нагрузки на стенку. 8-й случай

Для частных случаев откосов 1:m и φ значения k_E приведены в табл. 216.

9-й случай (рис. 81). - частный случай, когда α = φ

Рис. 81. Схема нагрузки на стенку. 9-й случай

10-й случай. Плоскость обрушения пересекает горизонтальную поверхность засыпки, временная нагрузка на поверхности отсутствует (рис. 82).

Рис. 82. Схема нагрузки на стенку. 10-й случай

Плечо давления грунта может определяться положением центра тяжести эпюры давления или по формуле:

z = ξH,

где

Данные для построения эпюры давления:

Значения n, ξ и при γ = 1,0 т/м³ φ = 30° для различных m и k приведены в табл. 207.

11-й случай. Плоскость обрушения пересекаем горизонтальную поверхность засыпки, граница временной нагрузки отстоит от бровки на расстоянии K (рис. 83).

где

Рис. 83. Схема нагрузки на стенку. 11-й случай

Плечо давления z определяется как расстояние до центра тяжести эпюры давления.

Ординаты эпюры давления:

12-й случай. Отличается от 11-го случая тем, что граница нагрузки не доходит до плоскости обрушения на величину m (рис. 81).

где

Рис. 84. Схема нагрузки на стенку. 12-й случаи

Плечо давления z находится как расстояние до центра тяжести эпюры.

Ординаты эпюры давления:

Значения могут получаться мнимые и отрицательные. В этих случаях следует поступать так же, как это указано в примечании для 4-го и 5-го случаев.

13-й случай. Бесконечно простирающийся откос начинается на расстоянии c от стенки (рис. 85).

Рис. 85 Схема нагрузки на стенку. 13-й случай

Эпюра давления может быть построена следующим образом.

Продолжают откос до пересечения со стенкой в точке b и определяют ординату давления как для стенки высотой H₁ с бесконечным откосом под углом α (см. 7-й случай).

Ордината σ_н определяется как для стенки высотой H с горизонтальной засыпкой. Расчетная эпюра давления показана на рисунке сплошными линиями и заштрихована.

14-й случай. Отличается от 13-го случая тем, что откос распространяется не бесконечно вверх, а только до высоты h₀ (рис. 86).

Рис. 86. Схема нагрузки на стенку. 14-й случай

Аналогично предыдущему случаю находятся: ордината - как для стенки высотой H₁ с бесконечным откосом, ордината - как для стенки высотой H + h₀ с горизонтальной засыпкой и ордината σ_н - как для стенки высотой H с горизонтальной засыпкой. Расчетная эпюра давления показана на рисунке 86 сплошными линиями и заштрихована.

15-й случай. Простирающийся вверх откос наклонен под углом β > φ (рис. 88).

Примером такого случая может быть стенка набережной при высоком горизонте воды, когда откос выше горизонта воды и грунт откоса, будучи сухим или насыщенным водой, при быстром ее спаде имеет величину:

γ₂ > γ₁

где γ₁ - объемный вес грунта, находящегося в воде во взвешенном состоянии.

В этом случае по обычно принятому методу расчета приводят вес грунта, расположенный выше уровня воды x - x, к весу нижележащего грунта, т.е. высоты откоса a умножают на (рис 87).

Рис. 87. Общая схема нагрузки на стенку. 15-й случаи

При этом линия приведенного откоса пойдет под углом β (см. рис. 88) и может оказаться, что β > φ.

Рис. 88. Схема нагрузки на стенку. 15-й случай

Для такого случая может быть применен способ инж. Лозовского Б.М.¹, по которому эпюра давления (см. рис. 88) строится следующим способом.

¹ Проф. Ляхницкий и др. Портовые гидротехнические сооружения. Часть 1 Речиздат, 1955.

Определяют ординату давления как для случая отсутствия откоса:

где

Если угол откоса α = φ и в предположении γ₁ = γ₂, то интенсивность давления определялась бы выражением:

где

Следовательно, разность представляет собой влияние откоса с углом α = φ в предположении однородности грунтов, т.е. при γ₁ = γ₂.

Если же в действительности угол приведенного откоса окажется:

β = φ и γ₂ ≠ γ₁

то искомая интенсивность давления определится из выражения:

или

В соответствии с этим выражением и интенсивность давления a_y в любой точке m, находящейся на расстоянии y от верха стенки, равна:

где q₁ = γ₁y_пр - интенсивность равномерно распределенной нагрузки на рассматриваемом уровне, не считая влияния откоса;

y_пр - при однородном грунте равно y, а при неоднородном представляет собой приведенную высоту вышележащих слоев к грунту в точке m;

- интенсивность треугольной нагрузки в точке n, определяемой линией m - n, проведенной через точку m под углом φ.

В насыщенных водой грунтах величина давления грунта на стенку вследствие уменьшения веса частиц грунта в воде уменьшается. Но, как показали опыты, стенка испытывает также и гидростатическое давление воды, что в сумме дает большее давление.

Величина суммарного давления грунта и воды определяется и зависимости от положения уровня воды по отношению к уровню грунта. Различают два случая.

1. Уровень воды выше или совпадает с уровнем грунта (рис. 89).

Рис. 89. Схема нагрузки на стенку при уровне воды выше уровня грунта

Грунт в этом случае по всей высоте находится во взвешенном состоянии и величина суммарного давления грунта воды на стенку равна:

Эпюра давления грунта имеет вид двух треугольников.

2. Уровень воды ниже уровня грунта (рис. 90). В этом случае во взвешенном состоянии находится грунт, расположенный ниже уровня воды, и величина суммарного давления находится по формуле:

где k_E - коэффициент давления грунта, по предыдущим формулам;

α - объем частиц в единице объема грунта (для песка равно от 0,55 до 0,70);

γ - объемный вес сухого грунта;

γ₀ - объемный вес воды.

Рис. 90. Схема нагрузки на стену при уровне воды ниже уровни грунта

Учет насыщенного состояния грунта распространяется не только на пористые грунты (крупный песок), но и на грунты связные (глинистые). Указанное обстоятельство заставляет с большой осторожностью относиться к условиям сдвига стенок в глинистых водонасыщенных грунтах и учитывать в этом случае взвешивающее действие.

Таблица 207

Значения коэффициентов n, ζ и углов (при γ =1,0 т/м³ и φ = 30°)

m	n	ζ
При k = 1,0
0	0,167	0,333	30°00'	0,577
0,2	0,229	0,370	31°10'	0,605
0,4	0,284	0,382	33°17'	0,656
0,6	0,334	0,389	35°23'	0,710
0,8	0,383	0,396	37°15'	0,760
1,0	0,430	0,403	38°50'	0,805
1,5	0,549	0,424	41°48'	0,894
2,0	0,673	0,449	43°48'	0,959
2,5	0,804	0,476	45°13'	1,008
3,0	0,944	0,506	46°16'	1,045
3,5	1,092	0,537	47°05'	1,075
4,0	1,250	0,570	47°42'	1,099
4,5	1,419	0,604	48°14'	1,120
5,0	1,594	0,639	48°40'	1,137
5,5	1,781	0,673	49°01'	1,151
6,0	1,981	0,709	49°19'	1,163
7,0	2,413	0,784	49°48'	1,184
8,0	2,869	0,857	50°11'	1,200
9,0	3,375	0,935	50°29'	1,213
10,0	3,913	1,011	50°45'	1,223
При k = 1,25
0	0,167	0,333	30°00'	0,577
0,2	0,226	0,361	31°27'	0,612
0,4	0,274	0,367	34°02'	0,675
0,6	0,314	0,369	36°36'	0,743
0,8	0,350	0,370	38°45'	0,802
1,0	0,381	0,372	40°31'	0,856
1,5	0,403	0,379	43°55'	0,963
2,0	0,539	0,390	46°08'	1,040
2,5	0,616	0,402	47°40'	1,098
3,0	0,706	0,422	48°48'	1,142
3,5	0,778	0,432	49°40'	1,177
4,0	0,865	0,419	50°20'	1,206
4,5	0,956	0,466	50°53'	1,230
5,0	1,048	0,484	51°20'	1,250
5,5	1,145	0,503	51°42'	1,267
6,0	1,244	0,522	52°02'	1,281
7,0	1,463	0,569	52°32'	1,305
8,0	1,681	0,583	52°40'	1,311
9,0	1,931	0,646	53°15'	1,339
10,0	2,194	0,730	53°42'	1,361
При k = 1,50
0	0,167	0,333	30°00'	0,577
0,2	0,223	0,359	31°42'	0,618
0,4	0,264	0,357	34°45'	0,694
0,6	0,295	0,354	37°43'	0,774
0,8	0,320	0,351	40°05'	0,842
1,0	0,341	0,350	42°09'	0,905
1,5	0,386	0,349	45°48'	1,029
2,0	0,424	0,352	48°11'	1,118
2,5	0,461	0,354	49°48'	1,183
3,0	0,504	0,359	50°58'	1,234
3,5	0,540	0,362	51°52'	1,274
4,0	0,574	0,367	52°34'	1,307
4,5	0,608	0,371	53°06'	1,332
5,0	0,646	0,377	53°35'	1,356
5,5	0,677	0,383	53°59'	1,376
6,0	0,721	0,389	54°18'	1,392
7,0	0,796	0,401	54°48'	1,418
8,0	0,876	0,403	55°01'	1,429
9,0	0,960	0,430	55°32'	1,457
10,0	1,102	0,446	55°47'	1,471
При k = 1,75
0	0,167	0,333	30°0'	0,577
0,2	0,221	0,354	32°00'	0,625
0,4	0,255	0,348	35°28'	0,712
0,6	0,277	0,343	38°43'	0,802
0,8	0,292	0,340	41°26'	0,884
1,0	0,303	0,338	43°38'	0,954
1,5	0,320	0,335	47°32'	1,092
2,0	0,328	0,334	50°00'	1,192
2,5	0,333	0,334	51°41'	1,265
3,0	0,337	0,334	52°53'	1,322
3,5	0,338	0,333	53°48'	1,366
1,0	0,339	0,333	54°31'	1,402
4,5	0,339	0,333	55°05'	1,432
5,0	0,339	0,333	55°33'	1,457
При k = 2,0
0	0,167	0,333	30°00'	0,577
0,2	0,218	0,350	32°17'	0,632
0,4	0,246	0,341	36°09'	0,730
0,6	0,260	0,336	39°43'	0,831
0,8	0,266	0,334	42°39'	0,921
1,0	0,268	0,333	45°00'	1,000

§ 43. Давление земли от временной нагрузки

Определение давлений от автомобилей и гусеничной нагрузки

Давление грунта при наличии автомобильной и гусеничной нагрузки на призме обрушения в автодорожных мостах, в отличие от железнодорожных, следует определять с учетом сосредоточенного действия этой нагрузки, так как замена отдельных давлений осей нагрузкой, распределенной равномерно вдоль всей призмы обрушения, в данном случае ведет к значительным ошибкам вследствие большого расстояния между осями колес и отсутствия ростверка из рельсов и шпал.

Правилами и указаниями Гунюсдора 1948 г. (§359 - 360) рекомендуется давление грунта от автомобильной нагрузки, находящейся на призме обрушения, определять, применяя следующий прием.

При расположении рассчитываемой подпорной стенки перпендикулярно направлению движения для расчета выделяют 1 пог. м длины стенки и находят силу:

приходящуюся на 1 пог. м длины стенки от одного ряда задних колес автомобилей утяжеленного веса или давление от 1 пог. м полос гусеничной нагрузки.

Здесь S при автомобильной нагрузке - расстояние между внешними гранями ободов колес автомобилей (рис. 91); S при гусеничной нагрузке - расстояние между внешними гранями полос (рис. 92).

Рис. 91 Схема к определению интенсивности давления от автомобильной нагрузки при расположении подпорной стенки перпендикулярно движению

Рис. 92. Схема к определению интенсивности давления от гусеничной нагрузки при расположении подпорной стенки перпендикулярно движению

Длина площадки опирания a принимается для автомобиля равной длине соприкасания обода, т.е. 20 см. с учетом распределения давления через полотно и под углом 15°, а для гусеничной нагрузки - равной длине гусеницы.

В тех случаях, когда имеется распределение сосредоточенного давления в стороны параллельно стенке, например для обсыпных устоев с откосными крыльями, расчетное давление на 1 пог. м стенки уменьшается умножением на коэффициент α, принимаемый по табл. 208, в зависимости от отношений где H - высота стенки.

Таблица 208

Значения коэффициентов

	α
0,10	0,327
0,12	0,360
0,14	0,389
0,16	0,414
0,18	0,437
0,20	0,459
0,25	0,505
0,30	0,544
0,35	0,576
0,40	0,602
0,50	0,668
0,60	0,681
0,70	0,710
0,80	0,735
0,90	0,754
1,00	0,772
1,20	0,810
1,50	0,840
2,00	0,875
3,00	0,900
4,90	0,92
Более 4,90	1,00

В тех случаях, когда рассасывания единичного давления в стороны - параллельно стенке не имеется, например в устоях с обратными стенками, коэффициент α для автомобильной нагрузки принимается равным 1,0, но ширина S может быть принята равной расстоянию между краями кузовов автомобилей (рис. 93).

Рис. 93. Схема к определению интенсивности нагрузки при устоях с обратными стенками

При расположении стенки (рис. 94) параллельно движению (например, обратные стенки устоя, подпорные стенки подходов) при высоте насыпи до 2 м давление, приходящееся на 1 пог. м, может быть определено по формуле:

где G - давление заднего колеса автомобиля;

a - ширина опирания колеса вдоль движения;

H - высота стенки.

Рис. 94. Схема к определению интенсивности давления от автомобильной нагрузки при расположении подпорной стенки параллельно движению

Если высота насыпи более 4 м, то давление на 1 пог. м по длине стенки определяется по формуле:

где c - расстояние между передней и задней осями грузовика:

- вес заднего и переднего колес.

При высоте насыпи от 2 до 4 м давление определяется по линейной интерполяции.

В направлении, перпендикулярном стенке (поперек движения), размер площадки принимается равным ширине обода или полосы гусеничной нагрузки.

В практике расчета устоев, при определении давления земли с учетом временной нагрузки обычно встречаются два случая:

1-й случай. На призме обрушения находится одна ось автомобиля (рис. 95), вторая ось выходит за пределы призмы обрушения. В этом случае и расчет ведется по формулам, указанным в § 42 для 4-го и 5-го случаев.

Рис. 95. Схема к определению давления земли при расположении одной оси автомобиля на призме обрушения

2-й случай. В пределах основной призмы обрушении, т.е. на расстоянии Htg(45° - φ/2) помещаются два груза (рис. 96). В этом случае призма обрушения проводится через конец площадки давления от второго груза и Давление земли E и плечо z определяются построением эпюры единичных давлений (см. рис. 96) по следующим формулам:

Pine. 96. Схема к определению давления земли при расположении двух осей автомобиля на призме обрушения

При действии сосредоточенных сил, т.е. при малой ширине грузовой площадки b, вычисляемое по указанным выше формулам давление земли при малом значении угла призмы обрушения получается преувеличенным, так как игнорирование трения земли по кладке, при почти нулевых значениях угла призмы обрушения, дает преувеличенный запас.

Учитывая сказанное, при определении давления земли от сосредоточенных нагрузок, находящихся непосредственно у стенки, необходимо вводить поправочные коэффициенты ε.

В табл. 209 приводятся значения поправочных коэффициентов ε, исчисленные для угла внутреннего трения засыпки φ = 35° и для двух случаев трения грунта призмы обрушения:

по каменной стенке, при коэффициенте трения грунта по стенке f = 0,35;

по грунту засыпки (трение призмы обрушения по фиктивным стенкам из грунта, при стенках наклонных и с уступами) при коэффициенте трения f = 0,70, т.е. при угле внутреннего трения φ = 35°.

Таблица 209

Поправочные коэффициенты ε для φ = 35°

Угол призмы обрушения с вертикальной стенкой	Коэффициенты ε
Угол призмы обрушения с вертикальной стенкой	при трении грунта по каменной стенке	при трении грунта о грунт
27°45'	-	1,0
27°30'	1,000	-
26°	0,987	0,976
24°	0,973	0,951
22°	0,958	0,925
20°	0,943	0,898
18°	0,928	0,871
16°	0,913	0,844
14°	0,896	0,816
12°	0,860	0,789
10°	0,863	0,761
8°	0,846	0,734
6°	0,828	0,707
4°	0,810	0,679
2°	0,791	0,652

Таблица составлена для малых призм обрушения с углами от 0° до 27°45' через каждые 2°.

Определение расчетного случая загружения временной нагрузкой

В практике расчета береговых опор приходится встречаться со случаями загружения поверхности засыпки временной нагрузкой, которая может оказаться расположенной относительно расчетной плоскости обрушения по-разному, а от этого зависит применение той или иной формулы для расчета давления земли.

Поэтому при наличии временной нагрузки на поверхности засыпки прежде всего необходимо выяснить, к какой из следующих пяти схем загружений (рис. 97) подходит рассматриваемый случай.

Рис. 97. Схемы расположения временной нагрузки на поверхности засыпки

Схема I - призма обрушения не загружена временной нагрузкой (рисунки 73, 79 - 82).

Схема II - временная нагрузка полностью находится на призме обрушения (рисунки 76; 77; 83; 84).

Схема III - временная нагрузка частично располагается на призме обрушения (рисунки 74; 75).

Схема IV - временная нагрузка располагается полностью на призме обрушения, построенной по тангенсу угла, определяемого случаями схемы III, и частично - на призме обрушения, построенной по тангенсу угла, определяемого случаями схемы II. В этом случае условно принято определять давление грунта от призмы обрушения ограниченной плоскостью обрушения, проведенном через конец нагрузки.

Схема V - плоскость обрушения засекает откос насыпи.

На схемах (см. рис. 97) цифрами 1, 2 и 4 обозначены плоскости обрушения, построенные по определяемым соответственно по формулам для случаев давления земли по схемам I, II и III, - тангенсы углов, образуемых плоскостями, проведенными через начало н и конец к нагрузки, с вертикалью.

Расчетный случаи, формулами которого надлежит пользоваться, определяется по табл. 210.

Таблица 210

Характеристики расчетных случаев для временной нагрузки

№ схем по рис. 97	Неравенства, определяющие расчетный случай	Расчетный случаи для определения угла наклона плоскости обрушения
I		1; 7; 8; 9; 10
II		4; 5; 11; 12
III		2; 3
IV			См. описание схем IV и V на стр. 416
V

§ 44. Определение давлений грунта по таблицам С.В. Зелепугина

В практике проектирования автодорожных мостов получили широкое применение таблицы С.В. Зелепугина, позволяющие облегчить и сократить вычислительную работу по определению давления земли при наличии временной нагрузки на призме обрушения.

Эти таблицы составлены для вертикальной стенки в предположении отсутствия трения между грунтом и поверхностью стенки. Для наклонных стенок вносится поправка, как это приведено для случая 6б.

Для вертикальных стенок давление земли может быть определено по общей формуле:

(1)

где

(2)

Коэффициенты A и B для наиболее распространенных случаев, могут определяться по табл. 211.

Таблица 211

Формулы коэффициентов A, B и K

Вид призмы обрушения и схема расположения нагрузки на насыпи
Формулы коэффициента A
Формулы коэффициента B
Формулы коэффициента K

Если ввести обозначения:

(3)

то формулы (1) и (2) представляются в следующем виде:

E = γAK_E; (3)

(4)

В таблице 213 приведены значения для различных величин K и φ. Влияние временной нагрузки учитывается следующим образом. Предварительно определяется расчетный случай по табл. 212.

Таблица 212

Определение расчетных случаев расположения временной нагрузки

Расчетный случай	Схема расположения нагрузки	Неравенство	Давление земли определяется по
1			K₁
2			K₂
3			K₃
3а			K₃ требуется дополнительная проверка по K₁
4			K₂ при плоскости обрушения, проведенной под конец нагрузки
4а			То же, что и по схеме 4, но с дополнительной проверкой по K₁
5			Случаи неограниченного откоса см. табл. 217; при нисходящем откосе см. табл. 216

Таблица 213

Значения коэффициентов для определения горизонтального давления земли

K	Значения величин
K			K_E
φ = 20°
-0,30	0,099	2,082	0,830
-0,20	0,349	1,224	0,672
-0,10	0,541	0,887	0,568
0,00	0,700	0,700	0,490
0,10	0,837	0,579	0,427
0,20	0,960	0,481	0,367
0,30	1,074	0,423	0,328
0,40	1,177	0,371	0,288
0,50	1,275	0,327	0,254
0,60	1,368	0,290	0,223
0,70	1,455	0,259	0,196
0,80	1,539	0,231	0,171
0,90	1,618	0,207	0,149
1,00	1,696	0,186	0,130
1,10	1,770	0,167	0,112
1,20	1,841	0,150	0,096
1,30	1,911	0,134	0,082
1,40	1,978	0,120	0,069
1,50	2,044	0,107	0,058
1,60	2,107	0,093	0,047
1,70	2,170	0,082	0,038
1,80	2,230	0,073	0,031
1,90	2,280	0,064	0,024
2,00	2,348	0,052	0,018
2,10	2,404	0,014	0,013
2,20	2,460	0,038	0,009
2,30	2,514	0,029	0,006
2,40	2,568	0,023	0,004
2,50	2,620	0,017	0,002
φ = 25°
-0,30	0,198	1,366	0,680
-0,20	0,368	0,983	0,553
-0,10	0,507	0,785	0,477
0,00	0,637	0,637	0,405
0,10	0,750	0,535	0,347
0,20	0,853	0,456	0,297
0,30	0,948	0,395	0,256
0,40	1,038	0,343	0,219
0,50	1,121	0,291	0,181
0,60	1,202	0,263	0,158
0,70	1,279	0,231	0,134
0,80	1,352	0,210	0,116
0,90	1,422	0,178	0,093
1,00	1,490	0,156	0,076
1,10	1,566	0,136	0,062
1,20	1,620	0,117	0,049
1,30	1,681	0,091	0,035
1,40	1,741	0,084	0,029
1,50	1,800	0,070	0,021
1,60	1,857	0,058	0,015
1,70	1,912	0,044	0,009
1,80	1,967	0,035	0,004
1,90	2,019	0,023	0,003
2,00	2,071	0,012	0,001
φ = 30°
-0,40	0,063	1,505	0,697
-0,30	0,223	1,089	0,569
-0,20	0,356	0,851	0,473
-0,10	0,473	0,692	0,397
0,00	0,577	0,577	0,333
0,10	0,673	0,489	0,280
0,20	0,762	0,418	0,235
0,30	0,846	0,359	0,196
0,40	0,925	0,300	0,157
0,50	1,000	0,268	0,134
0,60	1,072	0,231	0,109
0,70	1,134	0,202	0,088
0,80	1,206	0,160	0,065
0,90	1,270	0,144	0,053
1,00	1,332	0,111	0,037
1,10	1,391	0,090	0,026
1,20	1,449	0,071	0,018
1,30	1,505	0,063	0,013
1,40	1,560	0,0407	0,008
1,50	1,613	0,032	0,004
φ = 35°
-0,40	0,100	1,162	0,582
-0,30	0,221	0,918	0,478
-0,20	0,330	0,747	0,396
-0,10	0,430	0,618	0,327
0,00	0,520	0,520	0,271
0,10	0,603	0,446	0,223
0,20	0,683	0,377	0,182
0,30	0,757	0,322	0,147
0,40	0,830	0,274	0,121
0,50	0,898	0,232	0,093
0,60	0,963	0,196	0,070
0,70	1,025	0,164	0,054
0,80	1,085	0,135	0,038
0,90	1,145	0,103	0,026
1,00	1,202	0,083	0,017
1,10	1,255	0,062	0,010
1,20	1,308	0,042	0,004
φ = 40°
-0,40	0,105	0,964	0,488
-0,30	0,207	0,790	0,400
-0,20	0,300	0,657	0,329
-0,10	0,382	0,557	0,273
0,00	0,467	0,467	0,218
0,10	0,542	0,395	0,174
0,20	0,613	0,334	0,136
0,30	0,681	0,282	0,107
0,40	0,747	0,235	0,081
0,50	0,810	0,194	0,060
0,60	0,870	0,158	0,043
0,70	0,927	0,126	0,028
0,80	0,985	0,095	0,018
0,90	1,040	0,068	0,010
1,00	1,093	0,043	0,004
φ = 45°
-0,50	0,000	1,000	0,500
-0,40	0,095	0,826	0,408
-0,30	0,183	0,681	0,329
-0,20	0,265	0,571	0,266
-0,10	0,342	0,480	0,212
0,00	0,414	0,414	0,171
0,10	0,483	0,349	0,134
0,20	0,549	0,281	0,103
0,30	0,612	0,241	0,075
0,40	0,673	0,196	0,053
0,50	0,732	0,155	0,036
0,60	0,789	0,118	0,022
0,70	0,844	0,085	0,012
0,80	0,897	0,054	0,005
0,90	0,949	0,026	0,001
1,00	1,000	0,000	0,000
φ = 50°
-0,40	0,078	0,714	0,342
-0,30	0,153	0,608	0,278
-0,20	0,222	0,520	0,220
-0,10	0,295	0,436	0,172
0,00	0,364	0,364	0,132
0,10	0,436	0,295	0,099
0,20	0,489	0,248	0,072
0,30	0,548	0,200	0,050
0,40	0,607	0,154	0,032
0,50	0,658	0,117	0,019
0,60	0,716	0,077	0,009
0,70	0,768	0,043	0,003

Для этого следует:

определить для трех случаев по формулам табл. 211;

определить тангенсы углов наклона плоскостей, проведенных соответственно под начало и под конец временной нагрузки:

пользуясь табл. 213, по (колонка ) определить соответствующие им коэффициенты k_н и k_к (колонка K);

в соответствии с указаниями табл. 212 определить, какой случай имеет место.

После установления по табл. 212 расчетного случая расположения временной нагрузки на призме обрушения определяется величина горизонтального давления земли на подпорную стенку:

для случаев 1 - 3а по формуле:

E = γAK_E;

для случаев 4 - 4 а по формуле:

(5)

для случая 5 по формуле для неограниченного откоса:

(5а)

Коэффициент K_E находится по табл. 216 (в случае нисходящего откоса) или по табл. 217 (в случае восходящего откоса).

Плечо приложения силы горизонтального давления грунта на стенку при отсутствии временной нагрузки на призме обрушения находится по формуле:

(6)

где K_m - коэффициент, значения которого приведены в табл. 214.

Таблица 214

Коэффициенты K_m для призмы обрушения без временной нагрузки

K	Значения K_m при m, равном
K	1,0	1,25	1,50	1,75	2,0
φ = 20°
0,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
0,10	1,20	1,15	1,11	1,09	1,07
0,20	1,295	1,19	1,135	1,015	1,06
0,30		1,25	1,16	1,105	1,07
0,40		1,31	1,19	1,12	1,075
0,50			1,23	1,13	1,035
0,60			1,29	1,16	1,10
0,70			1,37	1,19	1,115
0,80				1,23	1,135
0,90				1,29	1,165
1,00				1,365	1,20
1,10					1,25
1,20					1,31
1,30					-
φ = 25°
0,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
0,10	1,19	1,135	1,105	1,08	1,06
0,20	1,24	1,15	1,10	1,06	1,04
0,30	1,32	1,175	1,10	1,06	1,03
0,40		1,215	1,11	1,055	1,025
0,50		1,27	1,13	1,055	1,02
0,60		1,35	1,155	1,06	1,02
0,70			1,195	1,065	1,02
0,80			1,24	1,075	1,02
0,90			1,31	1,095	1,02
1,00			1,42	1,12	1,02
1,10				1,155	1,02
1,20				1,21	1,025
1,30				1,29	1,03
1,40				1,43	1,04
1,50					1,055
1,60					1,08
1,70					1,13
1,80					1,21
φ = 30°
0,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
0,10	1,155	1,105	1,07	1,05	1,04
0,20	1,19	1,11	1,06	1,035	1,02
0,30	1,24	1,115	1,05	1,02	1,01
0,40	1,30	1,125	1,05	1,015	1,00
0,50	1,415	1,15	1,05	1,01	1,00
0,60		1,19	1,055	1,00
0,70		1,25	1,06
0,80		1,35	1,065
0,90			1,085
1,00			1,115
1,10			1,165
1,20			1,27
φ = 35°
0,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
0,10	1,13	1,08	1,05	1,035	1,025
0,20	1,14	1,07	1,03	1,01	1,00
0,30	1,155	1,06	1,02	1,00
0,40	1,185	1,055	1,01
0,50	1,25	1,055	1,00
0,60	1,35	1,05
0,70		1,075
0,80		1,10
0,90		1,14
1,00		1,24
φ = 40°
0,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
0,10	1,10	1,06	1,04	1,02	1,01
0,20	1,09	1,03	1,01	1,00	1,00
0,30	1,085	1,015	1,00
0,40	1,09	1,01
0,50	1,10	1,005
0,60	1,14	1,00
0,70	1,21
0,80	1,39
φ = 45°
0,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
0,10	1,07	1,04	1,02	1,00	1,00
0,20	1,04	1,01	1,00
0,30	1,03	1,00
0,40	1,01
0,50	1,01
0,60	1,00
0,70	1,00
φ = 50°
0,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
0,10	1,05	1,02	1,005	1,00	1,00
0,20	1,01	1,00
0,30	1,00

При наличии на призме обрушения временной нагрузки для нахождения плеча z необходимо определить величины давлений отдельно от временной нагрузки E_вр и от грунта засыпки E_а.

Величину давления E_вр определяют по формуле:

(7)

Здесь P_вр = γlh₀ - вес временной нагрузки на призме обрушения.

Давление от грунта засыпки E_з находят как разность

E_з = E - E_вр. (8)

Плечо z_з приложения силы давления грунта определяют по формуле (6), но коэффициент K_m в этом случае находят по табл. 215 (в зависимости от величин и K = K₁).

Таблица 215

Коэффициент K_m для призм с временной нагрузкой

	Значения K_m при K, равном
	0,00	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00	1,10	1,20	1,30	1,40	1,50
m = 1,00
0,30	1,000
0,35	1,000	0,006
0,40	1,000	1,027
0,45	1,000	1,052	1,000
0,50	1,000	1,078	1,015
0,55	1,000	1,102	1,044	1,000
0,60	1,000	1,124	1,079	1,018
0,65	1,000	1,144	1,114	1,056	1,003
0,70	1,000	1,162	1,148	1,100	1,037
0,75	1,000	1,179	1,180	1,147	1,091	1,018
0,80	1,000	1,193	1,210	1,193	1,151	1,082	1,014
0,85	1,000	1,206	1,238	1,237	1,213	1,162	1,092	1,007
0,90	1,000	1,222	1,263	1,279	1,274	1,246	1,200	1,114	1,002
0,95	1,000	1,230	1,287	1,318	1,332	1,330	1,319	1,278	1,183	1,004
1,00	1,000	1,240	1,309	1,354	1,387	1,413	1,437	1,456	1,471	1,490	1,500
m = 1,25
0,35	1,000
0.40	1,000	1,007
0,45	1,000	1,023
0,50	1,000	1,042	1,000
0,55	1,000	1,062	1,009
0,60	1,000	1,080	1,028
0,65	1,000	1,097	1,051	1,006
0,70	1,000	1,113	1,076	1,026
0,75	1,000	1,127	1,101	1,054	1,009
0,80	1,000	1,140	1,125	1,085	1,035	1,000
0,85	1,000	1,151	1,148	1,116	1,070	1,020
0,90	1,000	1,164	1,169	1,147	1,108	1,057	1,010
0,95			1,190	1,178	1,147	1,104	1,048	1,003
1,00			1,208	1,206	1,187	1,151	1,103	1,041	1,000
0,05				1,234	1,223	1,200	1,162	1,106	1,038
1,10				1,260	1,262	1,250	1,225	1,183	1,122	1,039
1,15					1,296	1,298	1,288	1,254	1,224	1,156	1,050
1,20					1,330	1,345	1,350	1,346	1,333	1,302	1,237	1,094
1,25						1,387	1,410	1,427	1,445	1,459	1,472	1,484
m = l,50
0,40	1,000	1,000
0,45	1,000	1,009
0,50	1,000	1,023
0,55	1,000	1,037	1,000
0,60	1,000	1,052	1,005
0,65	1,000	1,067	1,021
0,70	1,000	1,081	1,038	1,002
0,75	1,000	1,094	1,057	1,015
0,80	1,000	1,106	1,076	1,034	1,002
0,85	1,000	1,117	1,095	1,055	1,016
0,90			1,113	1,075	1,037	1,004
0,95			1,131	1,102	1,063	1,022	1,000
1,00			1,149	1,125	1,090	1,049	1,011
1,05				1,148	1,118	1,080	1,037	1,004
1,10					1,147	1,113	1,072	1,028	1,002
1,15					1,174	1,147	1,110	1,066	1,020
1,20						1,181	1,151	1,111	1,052	1,014
1,25						1,215	1,192	1,160	1,115	1,061	1,009
1,30						1,247	1,234	1,210	1,174	1,126	1,059	1,000
1,35							1,274	1,251	1,277	1,205	1,148	1.075!	1,003
1,40								1,312	1,298	1,279	1,244	1,189	1,103	1,000
1,45								1,360	1,361	1,358	1,346	1,321	1,273	1,175
1,50								1,407	1,421	1,437	1,450	1,460	1,470	1,480
m = 1,75
0,45	1,000	1,002
0,50	1,000	1,010
0,55	1,000	1,022
0,60	1,000	1,035	1,000
0,65	1,000	1,043	1,006
0,70	1,000	1,059	1,017
0,75	1,000	1,071	1,031	1,001
0,80	1,000	1,082	1,046	1,010
0,85	1,000	1,092	1,062	1,024	1,000
0,90			1,077	1,040	1,007
0,95			1,092	1,058	1,019	1,001
1,00				1,077	1,035	1,010
1,05				1,095	1,061	1,027	1,002
1,10					1,083	1,047	1,015
1,15					1,104	1,071	1,035	1,006
1,20						1,096	1,050	1,025	1,001
1,25						1,124	1,088	1,051	1,016
1,30							1,118	1,082	1,044	1,010
1,35							1,148	1,116	1,078	1,038	1,005
1,40								1,151	1,117	1,076	l,033	1,001
1,45								1,191	1,158	1,121	1,07	1,031	1,000
1,50									1,200	1,169	1,130	1,081	l,028
1,55										1,219	1,189	1,145	1,090	1,028
1,60										1,270	1,259	1,216	1,171	1,109	1,032
1,65											1,320	1,292	1,252	1,217	1,147	1,045
1,70											1,38	1,357	1,356	1,337	1,300	1,234
1,75												1,444	1,452	1,463	1,470	1,482

Плечо z_вр приложения силы давления от временной нагрузки определяют на основе данных расчетной схемы (см. пример).

Плечо z приложения равнодействующей суммарного горизонтального давления на стенку находят по формуле:

(9)

Если плоскость обрушения засекает откос засыпки, то плечо z приложения силы давления грунта на стенку определяют также по формуле (6), а коэффициент K_m находят по таблицам 216 или 217.

Таблица 216

Значения коэффициентов K_E и K_m для определении горизонтального давления земли при нисходящем откосе

φ	d h	Значения коэффициентов при m, равном
		1,00		1,25		1,50		1,75		2,00
		K_E	K_m	K_E	K_m	K_E	K_m	K_E	K_m	K_E	K_m
20°	0,00	0,320	1,00	0,340	1,00	0,356	1,00	0,368	1,00	0,379	1,00
	0,10	0,376	1,05	0,388	1,04	0,398	1,04	0,406	1,04	0,414	1,03
	0,20	0,420	1,05	0,423	1,04	0,431	1,04	0,435	1,04	0,440	1,03
	0,30	0,447	1,03	0,451	1,03	0,456	1,03	0,458	1,03	0,460	1,02
	0,40	0 467	1,02	0,470	1,02	0,471	1,02	0,473	1,02	0,475	1,02
	0,50	0,481	1,01	0,482	1,01	0,483	1,01	0,484	1,01	0,484	1,00
	0,(10	0,490	1,00	0,490	1,00	0,490	1,00	0,490	1,00	0,490	1,00
	0,70	0,490	1,00	0,490	1,00	0,490	1,00	0,490	1,00	0,490	1,00
25°	0,00	0,269	1,00	0,288	1,00	0,299	1,00	0,310	1,00	0,317	1,00
	0,10	0,315	1,05	0,326	1,04	0,332	1,03	0,341	1,03	0,345	1,03
	0,20	0,352	1,04	0,356	1,04	0,361	1,04	0,365	1,04	0,368	1,03
	0,30	0,375	1,03	0,378	1,03	0,382	1,03	0,384	1,02	0,386	1,02
	0,40	0,393	1,02	0,394	1,02	0,396	1,02	0,397	1,02	0,397	1,01
	0,50	0,401	1,00	0,402	1,00	0,403	1,00	0,403	1,00	0,403	1,00
	0,60	0,405	1,00	0,405	1,00	0,405	1,00	0,405	1,00	0,405	1,00
	0,637	0,405	1,00	0,405	1,00	0,405	1,00	0,405	1,00	0,405	1,00
30°	0,00	0,225	1,00	0,239,	1,00	0,250	1,00	0,253	1,00	0,265	1,00
	0,10	0,264	1,05	0,274	1,04	0,280	1,04	0,284	1,03	0,290	1,03
	0,20	0,294	1,04	0,298	1,04	0,302	1,04	0,395	1,03	0,307	1,02
	0,30	0,314	1,03	0,316	1,02	0,317	1,02	0,319	1,02	0,321	1,02
	0,40	0,325	1,01	0,326	1,01	0,327	1,01	0,328	1,01	0,330	1,01
	0,50	0,332	1,00	0,332	1,00	0,332	1,00	0,333	1,00	0,333	1,01
	0,577	0,333	1,00	0,333	1,00	0,333	1,00	0,333	1,00	0,333	1,00
35°	0,00	0,187	1,00	0,198	1,00	0,208	1,00	0,214	1,00	0,219	1,00
	0,10	0,210	1,05	0,226	1,04	0,231	1,04	0,235	1,03	0,238	1,03
	0,20	0,243	1,04	0,246	1,04	0,250	1,03	0,251	1,03	0,253	1,03
	0,30	0,258	1,02	0,260	1,02	0,262	1,02	0,262	1,02	0,264	1,02
	0,40	0,267	1,01	0,267	1,01	0,268	1,01	0,268	1,00	0,269	1,00
	0,50	0,272	1,00	0,272	1,00	0,272	1,00	0,272	1,00	0,272	1,00
	0,52	0,272	1,00	0,272	1,00	0,272	1,00	0,272	1,00	0,272	1,00
40°	0,00	0,150	1,00	0,163	1,00	0,170	1,00	0,177	1,00	1,179	1,00
	0,10	0,180	1,05	0,185	1,04	0,189	1,03	0,192	1,03	0,195	1,03
	0,20	0,200	1,04	0,201	1,03	0,203	1,03	0,204	1,02	0,205	1,02
	0,30	0,210	1,02	0,211	1,01	0,212	1,01	0,213	1,01	0,214	1,01
	0,40	0,216	1,00	0,217	1,00	0,217	1,00	0,218	1,00	0,218	1,00
	0,467	0,218	1,00	0,218	1,00	0,218	1,00	0,218	1,00	0,218	1,00
45°	0,00	0,125	1,00	0,132	1,00	0,137	1,00	0,141	1,00	0,144	1,00
	0,10	0,146	1,04	0,150	1,04	0,152	1,03	0,155	1,03	0,156	1,02
	0,20	0,161	1,03	0,162	1,03	0,163	1,02	0,164	1,02	0,165	1,02
	0,30	0,168	1,01	0,169	1,01	0,169	1,01	0,169	1,01	0,170	1,01
	0,40	0,171	1,00	0,171	1,00	0,171	1,00	0,171	1,00	0,171	1,00
50°	0,00	0,100	1,00	0,105	1,00	0,108	1,00	0,111	1,00	0,113	1,00
	0,10	0,116	1,04	0,118	1,03	0,121	1,03	0,122	1,02	0,123	1,02
	0,20	0,127	1,02	0,128	1,02	0,128	1,02	0,129	1,02	0,129	1,02
	0,30	0,132	1,00	0,132	1,00	0,132	1,00	0,132	1,00	0,132	1,00
	0,384	0,132	1,00	0,132	1,00	0,132	1,00	0,132	1,00	0,132	1,00

Таблица 217

Значение коэффициентов K_E и K_m для определения горизонтального давления земли при восходящем откосе

φ	Значения коэффициентов при m, равном
	d h	1,00		1,25		1,50		1,75		2,00
	d h	K_E	K_m	K_E	K_m	K_E	K_m	K_E	K_m	K_E	K_m
30°	0,00							0,687	1,00	0,536	1,00
	0,10							0,601	0,94	0,485	0,95
	0,20							0,534	0,89	0,441	0,92
	0,30							0,472	0,85	0,399	0,92
	0,40							0,412	0,82	0,365	0,92
	0,50							0,364	0,81	0,342	0,95
	0,577							0,333	1,00	0,333	1,00
35°	0,00					0,530	1,00	0,434	1,00	0,393	1,00
	0,10					0,461	0,94	0,387	0,96	0,357	0,95
	0,20					0,402	0,88	0,345	0,92	0,327	0,94
	0,30					0,348	0,87	0,312	0,91	0,300	0,94
	0,40					0,304	0,85	0,287	0,93	0,280	0,90
	0,50					0,272	0,94	0,272	0,99	0,272	1,00
	0,52					0,272	1,00	0,272	1,00	0,272	1,00
40°	0,00			0,452	1,00	0,352	1,00	0,316	1,00	0,296	1,00
	0,10			0,386	0,93	0,308	0,95	0,283	0,96	0,268	0,95
	0,20			0,326	0,87	0,272	0,91	0,256	0,94	0,247	0,95
	0,30			0,272	0,84	0,243	0,92	0,234	0,95	0,231	0,96
	0,40			0,232	0,87	0,224	0,97	0,221	0,98	0,220	1,00
	0,467			0,218	1,00	0,218	1,00	0,218	1,00	0,218	1,00
45°	0,00	0,500	1,50	0,289	1,00	0,253	1,00	0,233	1,00	0,222	1,00
	0,10	0,405	1,43	0,246	0,92	0,221	0,95	0,210	0,96	0,202	0,97
	0,20	0,320	1,36	0,212	0,90	0,198	0,93	0,192	0,95	0,187	0,96
	0,30	0,245	1,29	0,186	0,92	0,180	0,96	0,178	0,97	0,177	0,98
	0,40	0,180	1,23	0,171	1,00	0,171	1,00	0,171	1,00	0,171	1,00
	0,414	0,171	1,00	0,171	1,00	0,171	1,00	0,171	1,00	0,171	1,00
50°	0,00	0,243	1,00	0,200	1,00	0,181	1,00	0,172	1,00	0,165	1,00
	0,10	0,198	0,94	0,171	0,94	0,161	0,95	0,154	0,96	0,151	0,97
	0,20	0,163	0,89	0,148	0,93	0,144	0,95	0,141	0,96	0,140	0,97
	0,30	0,139	0,92	0,136	0,97	0,135	0,98	0,134	0,98	0,134	1,00
	0,304	0,132	1,00	0,132	1,00	0,132	1,00	0,132	1,00	0,132	1,00

Пользование таблицами 211 - 217 показано на следующих двух примерах¹.

¹ А.И. Отрешко, А.М. Ивянский и К.В. Шмурнов. Инженерные конструкции в гидромелиоративном строительстве. Сельхозгиз, 1955.

Пример 1. Определить величину горизонтального давления земли на подпорную стенку, приведенную на рис. 98.

Рис. 98. Схема к примеру 1

а) Выявление расчетного случая по таблицам 211 и 212.

Величины A, B и K для всех трех схем табл. 211:

схема 1

схема 2

схема 3

Проводя линии от низа стенки к началу н и к концу к нагрузки, находят тангенсы

По табл. 213 (для φ = 30°) для значений находят соответствующие величины K_н и K_к (в колонке для K), а именно K_н =0,34 и K_к = 0,68.

Сравнивая в соответствии с указаниями табл. 212 величины K₁, K₂ и K₃ с величинами K_н и K_к, определяют расчетный случай. Для нашего примера K_к > K₃ > K_н и K₁ > K_н. Это значит, что временная нагрузка попадает на призму обрушения частично и расчет следует производить по 3-му случаю (см. табл. 212).

б) Определение величины горизонтального давления земли и плеча приложения его равнодействующей.

Так как по предыдущему был установлен расчетный случай 3-й, то определение давления грунта производится по K₃.

Выше были определены величины K₃ = 0,590 и A₃ = 56.

Пользуясь табл. 213 (для φ = 30°), по величине K = 0,590 находят величины и K_E: и K_E = 0,112. Далее по формуле (3) находят величину суммарного горизонтального давления E земли на стенку:

E = γAK_E = 1,8×56×0,112 = 11,3 т.

Для нахождения плеча приложения равнодействующей горизонтального давления грунта следует подразделить величину полного давления E на давление от временной нагрузки E_вр и давление от грунта засыпки Е_з.

По рис. 99 длина части, попадающей на призму обрушения временной нагрузки:

Вес временной нагрузки, находящейся на призме обрушения:

P_вр = γlh₀ = 1,8×1,51×3 = 8,15 т.

Горизонтальное давление E_вр от временной нагрузки определяется по формуле (7):

Горизонтальное давление E от грунта засыпки определяется по формуле (8):

E_з = E - E_вр = 11,3 - 1,9 = 9,4 т.

Плечо давления грунта засыпки находится при помощи коэффициента K_m, пользуясь табл. 215, по величинам и K₁.

Следует оговорить, что независимо от того, какой случай является расчетным, определение коэффициента K_m нужно производить по K₁, подсчитанному для первой схемы табл. 211.

Для нашего случая было определено K₁ = 0,375 и по табл. 215 при m = 1,5 получаем K_m = 1,13.

Плечо z₃ приложения горизонтального давления грунта засыпки определяется по формуле (6):

Плечо z_вр приложения горизонтального давления от временной нагрузки (рис. 99):

где

Рис. 99. Схема к определению плеча приложения равнодействующей

Плечо z приложения равнодействующей суммарного горизонтального давления на стенку определяется по формуле:

Пример 2. Определить величину E и плечо z для стенки, приведенной на рис. 100.

Рис. 100. Схема к примеру 2

а) Выявление расчетного случая (по таблицам 211 и 212) аналогично примеру 1:

схема 1

схема 2

схема 3

По рис. 100 находим:

По табл. 213 (для φ = 35°) по значениям находят значения K_н и K_к.

Величине соответствует значение K_н = 0,252, а величине - значение K_к = 0,406.

Расчетный случай определяется из сравнения величин K₁, K₂ и K₃ с величинами K_н и K_к (по указаниям табл. 212). Для данного примера:

K₂ < K_к < K₃; K₁ < K_н.

Это значит, что расчет следует производить по случаю 4а, т.е. при плоскости обрушения, проведенной условно под конец нагрузки, и с дополнительной проверкой по случаю 1.

б) Определение величины горизонтального давления земли и плеча приложения его равнодействующей.

Для расчета по случаю 4а величина E определяется по формуле (5):

Выше было найдено:

Пользуясь табл. 213 (для φ = 35°), по величине находим соответствующее значение:

и, следовательно, E = 1,8×40,5(0,834 - 0,173)0,272 = 13,1 т.

Дополнительная проверка по случаю 1: K₁ = 0,247; A₁ = 0,45. По табл. 213 для величины K = K₁ = 0,247 находим величину K_E = 0,1655.

По формуле (3)

E = γAK_E = 1,8×40,5×0,1655 = 12,1 т <13,1,

т.е. случай 4а дает значение выше, чем по случаю 1 и, следовательно, расчетное значение E = 13,1 т.

Плечо приложения равнодействующей суммарного давления находится так же, как и в примере 1.

Так как плоскость обрушения (см. рис. 100) проведена под конец нагрузки, то последняя целиком попадает на призму обрушения.

Следовательно, вес временной нагрузки, находящейся па призме обрушения:

P_вр = γeh₀ = 1,8×1,0×3,0 = 5,4 т.

Горизонтальное давление E_вр от временной нагрузки:

Горизонтальное давление E_з от грунта засыпки:

E_з = Е - E_вр = 13,1 - 1,5 = 11,6 т.

По и K₁ = 0,247, пользуясь табл. 215 (при m = 1,25), находим K_m = 1,12.

Плечо z_з приложения горизонтального давления E_з грунта засыпки:

Плечо z_вр приложения равнодействующей горизонтального давления E_вр от временной нагрузки:

где

Плечо z приложения равнодействующей суммарного горизонтального давления на стенку:

Фигура	Общие формулы
Прямоугольный треугольник m и n - отрезки на гипотенузе, отсекаемые перпендикуляром p	a² + b² = c²; c = m+ n; a = csinA = btgA; b = ccosA;
Косоугольный треугольник R - радиус описанного круга; r - радиус вписанного круга; 2S - периметр; h_a, h_b и h_c - высоты; m_a, m_b и m_c - медианы
Правильный равносторонний треугольник a - сторона; h - высота; R - радиус описанного круга; r - радиус вписанного круга
Четырехугольник Общий случай D₁ и D₂- диагонали; φ - угол между ними; - полупериметр; m - линия, соединяющая середины диагоналей	Если четырехугольник вписан в круг, то и ac +bd = D₁D₂. Радиус описанного круга:
Параллелограмм
Прямоугольник R - радиус описанного круга; r - радиус вписанного круга	Для квадрата:
Трапеция
Несимметричная трапеция с двумя прямыми углами
Симметричная трапеция
Четырехугольник с одним пряным углом
Произвольный четырехугольник
Правильный шестиугольник
Скрещенный четырехугольник
Круг β - центральный угол в радианах; β° - центральный угол в градусах; a - окружность	где k - длина хода половинной дуги
Круговой сегмент	Приблизительно для пологих сегментов:
Круговой сектор
Другие элементы дуги круга	Координаты конца дуги: Радиус дуги: где S – длина дуги; β – центральный угол в радианах
Отрезок кольца
Эллипс a и b - полуоси	F = πab Длина эллипса: u ≈ 2aψ. Значения коэффициента ψ приведены в следующей таблице: Таблица
			ψ							ψ						ψ
	0,10		2,032				0,48			2,398			0,75			2,763
	0,20		2,102				0,50			2,423			0,76			2,778
	0,22		2,120				0,52			2,448			0,78			2,807
	0,24		2,138				0,54			2,474			0,80			2,836
	0,25		2,147				0,55			2,487			0,82			2,865
	0,26		2,156				0,56			2,500			0,84			2,895
	0,28		2,175				0,58			2,527			0,85			2,910
	0,30		2,145				0,60			2,553			0,86			2,926
	0,32		2,215				0,62			2,580			0,88			2,956
	0,34		2,230				0,64			2,607			0,90			2,986
	0,35		2,247				0,65			2,621			0,92			3,017
	0,36		2,258				0,66			2,635			0,94			3,048
	0,38		2,280				0,68			2,663			0,95			3,063
	0,40		2,302				0,70			2,691			0,96			3,079
	0,42		2,325				0,72			2,719			0,98			3,110
	0,44		2,349				0,74			2,748
	0,45		2,361
	0,46		2,373
Парабола	Уравнение, отнесенное к хорде: Тангенс угла наклона касательной к горизонтальной оси; Значения ординаты параболы и tgφ приведены в следующей таблице. Таблица
	№ точек	0		1	2	3		4	5		6	7		8	9		10	Множитель
	Абсцисса x	0,00		0,05	0,10	0,15		0,20	0,25		0,30	0,35		0,40	0,45		0,50	l
	Ордината y	0,00		0,19	0,36	0,51		0,64	0,75		0,84	0,91		0,96	0,99		1,00	f
	tgφ	4,0		3,6	3,2	2,8		2,4	2,0		1,6	1.2		0,8	0,4		0,0	f/l
	при x = 0 при x = 0,25l Длина всей дуги параболы от x = 0 до x = l При f < 0,4l Площадь, ограниченная параболой:
Площади, расположенные под данной кривой (приближенные вычислении)	а) Элементарная формула Симпсона. Если y - целая функция x не выше 3-й степени, то искомая площадь равна:
	б) Формула трапеций. Разбивают интервал b - a на большое число (n) равных частей. Тогда площадь:
	в) Правило Симпсона (параболическая формула). Делят абсциссу в интервале от a до b на четное число (2n) равных частей и вычисляют ординаты y₀, y_`, y₂,…, y₂_n. Тогда площадь:
Прямая и наклонная призмы	а) Для прямой призмы: M = Uh, где U - периметр основании; Q = Uh + 2F; V = Fh. б) Для наклонной призмы с параллельными основаниями: V = Nl, где N - площадь нормального к ребрам сечения; l - длина ребра
Усеченная трехгранная призма	где F - площадь нормального к ребрам сечения
Цилиндр (прямой)	M = πdh;
Наклонный цилиндр (основании параллельны)	V = Nl, где N - площадь сечения, нормального к образующей
Усеченный цилиндр
Полый цилиндр (труба)	δ - толщина стенки
Цилиндрическим клин	При 2φ = π; хорда 2a = 2r; b = r и M = 2rh; При 2φ = 2π; хорда 2a = 0; b = 2r и M = πrh;
Цилиндрический круговой с под
Призмойд (тело, ограниченное двумя параллельными основаниями и произвольным числом плоских боковых граней)	Плоскость f параллельна плоскости F, F_m - площадь среднего сечения. По формуле Симпсона
Обелиск (с прямоугольными основаниями)
Клин (с прямоугольным основанием)
Пирамида	_M_{равна сумме площадей ограничивающих треугольников}
Усеченная пирамида
Круглый конус (прямой)	_M_{= πrS;}
Усеченный круговой конус	_{M = π(R + r)S;}
Эллиптический конус	где a и b - полуоси эллипса основании
Усеченный эллиптический конус	где A и B - полуоси эллипса нижнего основания; a и b - полуоси эллипса верхнего основания
Шар
Пустотелый шар	При очень тонкой стенке, толщиной δ, объем можно определять приближенно по формуле: V ≈ 4πR_m²δ, где R_m - средний радиус
Шаровой сегмент	_a_{2 = h(2R - h);}
Шаровой сектор	Q = πR(2h + a)
Шаровой слой (шаровой пояс)	Q = 2πRh
Эллипсоид a, b, c, - полуоси	Эллипсоид вращения (c = b и 2a - ось вращения):
Параболоид вращения
Параболоид, усеченный двумя параллельными основаниями, перпендикулярными к оси
Земляные подходы к мосту¹	Для приближенного подсчета объемов работ по подходам можно пользоваться следующими формулами. Обозначения: L - длина земляной призмы; H - высота насыпи в месте сопряжения с мостом; i₁ - уклон дороги в пределах въезда; i₂ - средний уклон естественной поверхности грунта; B - ширина насыпи поверху; m - отношение заложения откоса насыпи к высоте. Объем земляной призмы: при полуторных откосах (m = 1,5): Объем конуса (на всю ширину насыпи), не учитывая влияния уклона естественной поверхности земли: Площадь поверхности конуса: Площадь поверхности двух откосов: Длина откоса:

Наименование		Форма сечения	Площадь сечении F	Расстояние от центральной оси до крайнего волокна y	Момент инерции I	Момент сопротивления W	Радиус инерции
Прямоугольник			bh
			bh
			bh
Прямоугольники	с вырезом		bh - b₁h₁
	Два прямоугольника		b(h – h₁)
	С вырезом		a² – b²
	Параллелограмм		bh
Треугольник

Трапеция

Прямоугольник с трапецией			ad – (a - b)h
Устой с обратными стенками					_Ix_{= I1 – Fy2}
Тавр			d₀h + bd	y₂ = h – y₁		-	-
Бык с симметричными закруглениями			bd + πR²
Круг и его части	Круг
	Полукруг
	Полукруг			x = 0,2122d
	Круговой сектор
	Квадрант					W_x = 0,096R³
	Кольцо
	Полукольцо
	Круговой треугольник			y₁ = 0,7766R; y₂ = 0,2234R	I_x = 0,0075R⁴; I₁ = 0,137R⁴	W_x = 0,00966R³	r_x = 0,18693R
	Круг без двух сегментов
	Круг без четырех сегментов (с обзолами)	F₁, F₂, F₃, F₄ - площади обзолов
	Сегмент			до центра тяжести
	шестиугольник			x = R
	Восьмиугольник	a = 0,7653R; h = 2,414a				W_x = 0,6906R³ = 1095h³; W₁ = 0,6381R³ = 0,1012h³	r_x = 0,475R = 0,257h
	Правильный многоугольник	Число сторон - n; α = 180°:n; r = Rcosα
Эллипс и его части	Эллипс		_F_{= πab}			W_x = 0,7854b²a; W_x = 0,7854a²b
	Эллиптическое кольцо		_F_{= π(ab - a0b0)}
	Половина эллипса
	Четверть эллипса
	Эллиптический треугольник					W_x = 0,00966ba³	r_x = 0,18693a
Параболы	Парабола x² = 2py					-	-
	Парабола y² = 2px			b
	Парабола y² = 2px		_{Для половины параболы}	От оси 1 – 1		-	-
	Треугольник параболы y² = 2px					-	-
	Парабола xⁿ = py
	Парабола yⁿ = px			b
	Парабола yⁿ = px		_{Половина параболы}
	Треугольник параболы yⁿ = px
Разные фигуры			_F_{= BH + bh}
			_F_{= HB - hb}
			_F_{= Ha + bd =} _{= BH - b(y2 +h)} _где_: ₍_b_{= B - a}₎	y₂ = H - y₁
			_F_{= Ha + b1d1 + B1d,}_где_: ₍_b_{1 = b - a}₎ ₍_B_{1 = B - a}₎	y₂ = H - y₁

n	K_f	K_s	K_x	K_y
1,0	1,7854	5,1416	0,2648	0,4954
2,0	2,7854	7,1416	0,4315	1,2230
3,0	3,7854	9,1416	0,5982	2,2831
4,0	4,7854	11,1416	0,7648	3,6763
5,0	5,7854	13,1416	0,9315	5,4027
6,0	6,7854	15,1416	1,0982	7,4623

Значения m	Значения n
	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6
	K_y_(лед)						K_y_(норм)
0	0,4222	1,0650	2,0330	3,3305	4,9591	6,9196	0,5767	1,3248	2,4051	3,8181	5,5642	7,6432
0,1	0,4472	1,1105	2,1014	3,4231	5,0765	7,0624	0,5721	1,3173	2,3950	3,8056	5,5490	7,6261
0,2	0,4689	1,1484	2,1581	3,4997	5,1739	7,1809	0,5594	1,2960	2,3661	3,7696	5,5064	7,5764
0,3	0,4881	1,1794	2,2038	3,5613	5,2521	7,2760	0,5399	1,2629	2,3208	3,7126	5,4380	7,4968
0,4	0,5055	1,2043	2,2393	3,6091	5,3119	7,3486	0,5154	1,2200	2,2612	3,6374	5,3466	7,3898
0,5	0,5221	1,2240	2,2655	3,6426	5,541	7,3995	0,4871	1,1694	2,1896	3,5450	5,2346	7,2579
0,6	0,5396	1,2399	2,2837	3,6644	5,3800	7,4298	0,4567	1,1130	2,1086	3,4393	5,1046	7,1038

Значения m	Значения n
	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6
	K_F						K_x						K_y
0	1,0000	2,0000	3,0000	4,0000	5,0000	6,0000	0,1667	0,3333	0,5000	0,6667	0,8333	1,0000	0,1667	0,6667	1,5000	2,6667	4,1667	6,0000
0,1	0,9914	1,9914	2,9914	3,9914	4,9914	5,9914	0,1628	0,3294	0,4961	0,6628	0,8294	0,9961	0,1628	0,6585	1,4875	2,6499	4,1456	5,9746
0,2	0,9657	1,9657	2,9657	3,9657	4,9657	5,9657	0,1524	0,3190	0,4857	0,6524	0,8190	0,9857	0,1524	0,6353	1,4515	2,6010	4,0849	5,9000
0,3	0,9227	1,9227	2,9227	3,9227	4,9227	5,9227	0,1372	0,3038	0,4705	0,6372	0,8038	0,9705	0,1372	0,5992	1,3941	2,5222	3,9337	5,7784
0,4	0,8627	1,8627	2,8627	3,8627	4,8627	5,8627	0,1188	0,2854	0,4521	0,6188	0,7854	0,9521	0,1188	0,5520	1,3173	2,4156	3,8471	5,6119

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ

ДАННЫЕ К СТАТИЧЕСКОМУ РАСЧЕТУ МОСТОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Глава 8

ГЕОМЕТРИЯ ФИГУР И ТЕЛ

§ 28. Геометрические характеристики плоских фигур. Объемы и поверхности геометрических тел

Глава 9

МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ФИГУР

§ 29. Простые геометрические фигуры

§ 30. Площади F, периметры S и моменты сопротивления W_x и W_y некоторых поперечных сечений мостовых опор

Глава 10

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК

§ 31. Балки однопролетные и консольные

§ 32. Неразрезные многопролетные балки

§ 33. Деформации балок

§ 34. Формулы интегрирования типовых эпюр

Глава 11

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА РАМ

§ 35. Рамы однопролетные, двухпролетные и трехпролетные

Глава 12

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА АРОК

§ 36. Очертание осей арок

§ 37. Изменение сечений арок

§ 38. Определение усилий в бесшарнирных арках

§ 39. Определение усилий в двухшарнирных арках

§ 40. Определение усилий в трехшарнирных арках

Глава 13

БОКОВОЕ ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ

§ 41. Общие данные

§ 42. Основные случаи загружения подпорной стенки

§ 43. Давление земли от временной нагрузки

§ 44. Определение давлений грунта по таблицам С.В. Зелепугина

Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов
Опорные реакции А и В			A = P; B = P
Поперечная сила в сечении x, Q_x
Моменты в сечении x, M_x
Максимальный момент M_max и расстояние x₀			M_max = Pa x₀ = от a до (l - a)
Уравнение упругой линии
Наибольший прогиб и его место y_max				при x₂ = ~0,54l
Углы поворота φ
Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов
Опорные реакции A и B					A = qa; B = qa
Поперечная сила в сечении х, Q_x
Моменты в сечении x, M_x
Максимальный момент M_max и расстояние x₀					x₀ = от c до d
Уравнение упругой линии		-
Наибольший прогиб и его место y_max		-
Углы поворота φ		-
Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов
Опорные реакции A и B
Поперечная сила в сечении x, Q_x
Моменты в сечении x, M_x
Максимальный момент M_max и расстояние x₀
Уравнение упругой линии
Наибольший прогиб и его место y_max		при x = 0,5193l
Углы поворота φ
Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов
Опорные реакции A и B
Поперечная сила в сечении x, Q_x
Моменты в сечении x, M_x
Максимальный номент M_max и расстояние x₀		x₀ = 0	x₀ = l	x₀ = 0	x₀ = 0
Уравнение упругой линии	-
Наибольший прогиб и его место y_max	-
Углы поворота φ
Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов
Опорные реакции A и B	A = 0	A = P	A = ql	A = P	A = P
Поперечная сила в сечении x, Q_x	Q_x = 0	Q_x = P
Моменты в сечении x, M_x	M_x = M₀
Минимальный момент M_min и расстояние x₀	M_max = M₀; x₀ = от 0 до l	M_min = -Pl; x₀ = 0	x₀ = 0	x₀ = 0	x₀ = 0
Уравнение упругой линии
Наибольший прогиб и его место y_max	при x = l	при x = l	при x = l	при x = l	при x = l
Углы поворота φ	φ₁ = 0;	φ₁ = 0;	φ₁ = 0;	φ₁ = 0;	φ₁ = 0;
Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов
Опорные реакции A и B	A = P	A = qb	A = qa	A = B = P
Поперечная сила в сечении x, Q_x	Q₁ = P;	Q₁ = qb; Q₂ = q(l - x₂)	Q₁ = q(a - x); Q₂ = 0	Q_c = -P; Q_c = P	Q_c = -qx_c; Q_a = A - qx
Моменты в сечении x, M_x
Минимальный момент M_min и расстояние x₀	при x₁ = 0	при x₁ = 0	при x₁ = 0	На участке AB
Уравнение упругой линии
Наибольший прогиб и его место y_max		при x₂ = l		Прогиб посередине:	В середине:
Углы поворота φ				Прогиб на концах: Упругая линия между A и B представляет дугу круга радиуса ρ
Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов
Опорные реакции A и B
Поперечная сила в сечении x, Q_x	Q₁ = -P; Q₂ = 0
Моменты в сечении x, M_x			На участке AB: На участке CA:	(на участке AP); (на участке PB)
Минимальный момент M_min и расстояние x₀				(под грузом P)
Уравнение упругой линии	На участке AB: На консолях:	На участке AB:	На участке AB: На участке CA: На участке BD:	На участке AP: На участке Pb
Наибольший прогиб и его место y_max	при x = 0,577l Прогиб под грузом P:	Прогиб в любом сечении консоли на расстоянии x₁ от A до B	y_max в пролете: прогиб в c:	Максимальный прогиб на расстоянии: при a > b при b > a

Схема загружения	Опорные реакции	Опорные моменты











	B = p - A
	B = 2p - A









	A = 0,233pl; B = 0,433pl

Формулы момента M_B	Схемы нагрузки	Значения коэффициента α
		0	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00
		Значение коэффициента K
-KPl		0,000	0,0855	0,1440	0,1785	0,1920	0,1875	0,1680	0,1365	0,0960	0,0495	0,000
-KPl		0,000	0,0495	0,0900	0,1355	0,1680	0,1875	0,1920	0,1785	0,1440	0,0855	0,000
-KPl		0,000	0,1350	0,2400	0,3150	0,3600	0,3750	0,3600	0,3150	0,2400	0,1350	0,000
-KPl		0,000	0,0355	0,0480	0,0420	0,0240	0	-0,0240	-0,0420	-0,0480	-0,0355	0,00
+KM		1,000	0,7150	0,4600	0,2350	0,0400	-0,1250	-0,2600	-0,3650	-0,4400	-0,4850	-0,5000
		0,000	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50
-Kql²		0,000	0,0045	0,0162	0,0325	0,0512	0,0703	0,0882	0,1035	0,1152	0,1225	0,1250
-Kql²		0,000	0,0025	0,0098	0,0215	0,0368	0,0547	0,0738	0,0925	0,1088	0,1205	0,1250
-Kql²		0,000	0,0187	0,0370	0,0546	0,0710	0,0860	0,0990	0,1098	0,1180	0,1232	0,1250
-Kql²		0,000	0,0070	0,0260	0,0540	0,0880	0,1250	-	-	-	-	-
-Kql²		0,000	0,0020	0,0064	0,0110	0,0144	0,0156	0,0144	0,0110	0,0064	0,0020	0,000
-Kql²		0,000	0,0030	0,0105	0,0207	0,0319	0,0427	0,0520	0,0587	0,0623	0,0623	0,0584
-Kql²		0,000	0,0017	0,0065	0,0142	0,0241	0,0354	0,0471	0,0577	0,0657	0,0694	0,0567
-Kql²		0,000	0,0045	0,0170	0,0349	0,0560	0,0781	-	-	-	-	-
-Kql²		0,000	0,0016	0,0057,	0,0118	0,0193	0,0276	0,0363	0,0448	0,0529	0,0603	0,0657
-Kql²		0,000	0,0009	0,0033	0,0073	0,0127	0,0193	0,0253	0,0349	0,0431	0,0511	0,0584
-Kql²		0,000	0,0024	0,0090	0,0191	0,0320	0,0469	-	-	-	-	-
-Kql²		0,000	0,1226	0,1160	0,1059	0,0930	0,0781	-	-	-	-	-
-Kq₀l²		0,0307	0,0725	0,0748	0,0842	0,0900	0,0959	0,1017	0,1075	0,1134	0,1192	0,1250

Формулы моментов		Схемы нагрузки	Значение коэффициента α
Формулы моментов			0,0		0,10		0,20		0,30		0,40		0,50		0,60		0,70		0,80		0,90		1,0
M_A	M_B		K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B	K_A	K_B
-K_APl	-K_BPl		0	0	0,0810	0,0090	0,1280	0,0320	0,1470	0,0630	0,1440	0,0960	0,1250	0,1250	0,0960	0,1440	0,0630	0,1470	0,0320	0,1280	0,0090	0,0810	0	0
-K_APl	-K_BPl		0	0	0,0090	0,0090	0,1600	0,1600	0,2100	0,2100	0,2400	0,2400	0,2500	0,2500	-	-	-	-	-	-	-	-	0	0
-K_APl	-K_BPl		0	0	0,0711	-0,0711	0,0960	-0,0960	0,0840	-0,0840	0,0480	-0,0480	0	0	-0,0480	0,0480	-0,0840	0,0840	-0,0960	-0,0960	-0,0711	0,0711	0	0
-MK_A	-MK_B		1,000	0	0,6293	0,1700	0,3200	0,2800	0,0700	0,3300	-0,1200	0,3200	-0,2500	0,2500	-0,3200	0,1200	-0,3300	-0,0700	-0,2800	-0,3200	-0,1700	-0,6293	0	1,000
			0	0	0,10	-0,10	0,20	-0,20	0,30	-0,30	0,40	-0,40	0,50	-0,50	0,60	-0,60	0,70	-0,70	0,80	-0,80	0,90	-0,90	1,00	-1,00
-K_Aql²	-K_Bql²		0	0	0,0043	0,0003	0,0151	0,0023	0,0290	0,0070	0,0437	0,0149	0,0573	0,0261	0,0684	0,0396	0,0763	0,0543	0,0811	0,0683	0,0830	0,0790	0,0833	0,0833
-K_Aql²	-K_B		0	0	0,0125	0,0125	0,0247	0,0247	0,0364	0,0364	0,0473	0,0473	0,0573	0,0573	0,0660	0,0660	0,0732	0,0732	0,0787	0,0787	0,0821	0,0821	0,0833	0,0833
-K_Aql²	-K_Bql²		0	0	0,0047	0,0047	0,0173	0,0173	0,0360	0,0360	0,0587	0,0587	0,0833	0,0833	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
-K_Aql²	-K_Bql²		0	0	0,0040	-0,0040	0,0128	-0,0128	0,0220	-0,0220	0,0288	-0,0288	0,0312	-0,0312	0,0288	-0,0288	0,0220	-0,0220	0,0128	-0,0128	0,0040	-0,0040	0	0
-K_Aql²	-K_Bql²		0	0	0,0029	0,0002	0,0097	0,0017	0,0181	0,0051	0,0265	0,0109	0,0333	0,0187	0,0379	0,0281	0,0398	0,0377	0,0393	0,0461	0,0367	0,0510	0,0334	0,0500
-K_Aql²	-K_Bql²		0	0	0,0030	0,0030	0,0133	0,0133	0,0232	0,0232	0,0373	0,0373	0,0521	0,0521	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
-K_Aql²	-K_Bql²		0	0	0,0015	0,0001	0,0054	0,0006	0,0109	0,0019	0,0173	0,0041	0,0240	0,0073	0,0305	0,0115	0,0365	0,0166	0,0418	0,0222	0,0463	0,0280	0,0500	0,0334
-K_Aql²	-K_Bql²		0	0	0,0016	0,0016	0,0060	0,0060	0,0127	0,0127	0,0213	0,0213	0,0312	0,0312	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
-K_Aql²	-K_Bql²		0,0833	0,0833	0,0817	0,0817	0,0773	0,0773	0,0706	0,0706	0,0620	0,0620	0,0521	0,0521	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
-K_Aq_al²	-K_Bq_al²		0,0500	0,0334	0,0533	0,0383	0,0567	0,0433	0,0600	0,0484	0,0633	0,0533	0,0667	0,0583	0,0700	0,0634	0,0733	0,0683	0,0767	0,0733	0,0600	0,0784	0,0833	0,0833

Вид деформации	ζ
		Прогибы и углы поворота при η равном
		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5
Прогиб в точке a	0,1	2,264	3,825	4,634	4,822	4,510	3,850	2,929	1,897	0,885	-0,643	-1,056	-1,27	-1,32	-1,237	2,442	-1,102
	0,2	3,825	6,892	8,640	9,133	8,630	7,393	5,654	3,672	1,705	-1,248	-2,048	-2,164	-2,560	-2,400	4,53	-2,138
	0,3	4,634	8,640	11,388	12,423	11,950	10,341	7,968	5,206	2,425	-1,774	-2,912	-3,506	-3,645	-3,412	6,037	-3,039
	0,1	4,822	9,133	12,423	14,182	14,100	12,408	9,666	6,369	2,986	-2,184	-3,584	-4,312	-4,480	-4,200	6,8	-3,741
	0,5	4,510	8,630	11,950	14,100	14,55	13,3	10,550	7,03	3,310	-2,439	-4,00	-4,813	-5,00	-4,687	6,772	-4,175
	0,6	3,850	7,393	10,341	12,408	13,3	12,616	10,407	7,085	3,382	-2,496	-4,096	-4,928	-5,120	-4,800	6,0	-4,275
	0,7	2,929	5,654	7,968	9,666	10,550	10,407	9,035	6,400	3,122	-2,320	-3,808	-4,582	-4,760	-4,462	4,637	-3,975
	0,8	1,897	3,672	5,206	6,369	7,03	7,085	6,400	4,844	2,481	-1,872	-3,072	-3,695	-3,844	-3,600	2,93	-3,206
	0,9	0,883	1,705	2,425	2,986	3,310	3,382	3,122	2,481	1,400	-1,111	-1,824	-2,194	-2,28	-2,139	1,242	-1,904
	1,1	-0,643	-1,248	-1,774	-2,184	-2,439	-2,496	-2,320	-1,872	-1,111	1,341	2,318	2,832	2,964	2,783	-0,407	2,502
	1,2	-1,056	-2,048	-2,912	-3,584	-4,00	-4,096	-3,808	-3,072	-1,824	2,318	4,434	5,706	6,112	5,830	-0,27	5,338
	1,3	-1,27	-2,464	-3,506	-4,312	-4,813	-4,928	-4,582	-3,696	-2,194	2,832	5,705	7,889	8,828	8,625	+0,087	8,174
	1,4	-1,32	-2,560	-3,645	-4,480	-5,00	-5,120	-4,760	-3,844	-2,28	2,964	6,112	8,828	10,496	10,700	+0,4	10,677
	1,5	-1,237	-2,400	-3,412	-4,200	-4,687	-4,800	-4,462	-3,600	-2,139	2,783	5,830	8,625	10,700	11,425	0,522	12,513
	1,6	-1,056	-2,048	-2,912	-3,584	-4,00	-4,096	-3,808	-3,072	-1,821	2,396	5,038	7,554	9,566	10,700	+0,4	13,347
	1,7	-0,808	-1,568	-2,228	-2,744	-3,062	-3,141	-2,919	-2,352	-1,396	1,833	3,884	5,878	7,554	8,625	+0,087	12,848
	1,8	-0,528	-1,024	-1,456	-1,792	-2,00	-2,043	-1,904	-1,540	-0,912	1,196	2,546	3,884	5,038	5,830	-0,27	10,678
	1,9	-0,247	-0,48	-0,682	-0,840	-0,937	-0,96	-0,892	-0,720	-0,427	0,566	1,196	1,833	2,396	2,783	-0,407	6,507
	2,1	0,188	0,365	0,519	0,638	0,712	0,730	0,678	0,517	0,325	-0,427	-0,912	-1,396	-1,824	-2,139	1,242	-8,890
	2,2	0,317	0,614	0,874	1,075	1,2	1,229	1,142	0,922	0,547	-0,720	-1,540	-2,352	-3,072	-3,600	2,93	-19,184
	2,3	0,393	0,762	1,083	1,333	1,487	1,523	1,416	1,142	0,678	-0,892	-1,904	-2,919	-3,808	-4,462	4,637	-29,613
	2,4	0,422	0,819	1,165	1,434	1,600	1,638	1,523	1,229	0,730	-0,96	-2,048	-3,141	-4,096	-4,800	6,0	-38,913
	2,5	0,412	0,800	1,137	1,400	1,562	1,600	1,487	1,200	0,712	-0,937	-2,00	-3,062	-4,00	-4,687	6,772	-45,812
	2,6	0,370	0,717	1,019	1,254	1,400	1,434	1,333	1,075	0,638	-0,84	-1,792	-2,744	-3,584	-4,200	6,8	-49,048
	2,7	0,300	0,582	0,828	1,019	1,137	1,165	1,083	0,874	0,519	-0,682	-1,456	-2,228	-2,912	-3,412	6,037	-47,351
	2,8	0,211	0,410	0,528	0,717	0,800	0,819	0,762	0,614	0,365	-0,48	-1,024	-1,568	-2,048	-2,40	4,53	-39,486
	2,9	0,109	0,211	0,300	0,370	0,412	0,422	0,393	0,817	0,188	-0,247	-0,528	-0,808	-1,056	-1,237	2,442	-24,94
	Множитель
Угол поворота на опоре	0	-24,1	-39,467	-47,367	-49,067	-45,833	-38,933	-24,633	-19,2	-8,9	+6,5	+10,667	+12,833	+13,333	+12,5	-25,0	11,133
	3,0	-1,1	-2,133	-3,033	-3,733	-4,167	-4,267	-3,967	-3,2	-1,9	+2,5	+5,333	+8,167	+10,667	+12,5	-25,0	288,8
	Множитель

Род нагрузки	Вертикальные опорные реакции		Распор H	Опорные моменты		Момент в замке M_K
Род нагрузки	V_A	V_B	Распор H	M_A	M_B	Момент в замке M_K
	-	-	-	-	-	-


	+P(1 - β)²× ×(1 + 2β)	+Pβ²(3 - 2β)
	+P	+P
	+P	+P
						0


				0	0	0
						0


	+qlβ	+qlβ





	0	0
			0			0
Равномерный нагрев на t°	0	0

Значения m	Значения n
	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6
	K_F						K_x						K_y
0	1,8599	2,8599	3,8599	4,8599	5,8599	6,8599	0,2389	0,4055	0,5722	0,7389	0,9055	1,0722	0,4819	1,1478	2,1381	3,4575	5,1079	7,0904
0,1	1,8495	2,8495	3,8495	4,8495	5,8495	6,8495	0,2389	0,4055	0,5722	0,7389	0,9055	1,0722	0,5030	1,1877	2,1991	3,5407	5,2140	7,2197
0,2	1,8188	2,8188	3,8188	4,8188	5,8188	6,8188	0,2388	0,4054	0,5721	0,7388	0,9054	1,0721	0,5064	1,2025	2,2269	3,5826	5,2704	7,2910
0,3	1,7675	2,7675	3,7675	4,7675	5,7675	6,7675	0,2383	0,4049	0,5716	0,7383	0,9049	1,0716	0,4946	1,1941	2,2236	3,5851	5,2792	7,3062
0,4	1,6955	2,6955	3,6955	4,6955	5,6955	6,6955	0,2371	0,4037	0,5704	0,7371	0,9037	1,0704	0,4696	1,1650	2,1915	3,5505	5,2425	7,2676
0,5	1,6031	2,6031	3,6031	4,6031	5,6031	6,6031	0,2344	0,4010	0,5677	0,7344	0,9010	1,0677	0,4338	1,1170	2,1323	3,4806	5,1620	7,1767
0,6	1,4901	2,4901	3,4901	4,4901	5,4901	6,4901	0,2295	0,3961	0,6628	0,7295	0,8961	1,0628	0,3892	1,0523	2,0482	3,3772	5,0395	7,0351

Значения m	Значения n
	0	1	2	3	4	5	6	0	1	2	3	4	5	6	0	1	2	3	4	5	6
	K_F							K_x							K_S
0	0,8226	1,8226	2,8226	3,8226	4,8226	5,8226	6,8226	0,0852	0,2519	0,4186	0,5853	0,7520	0,9187	1,0854	3,5580	5,5580	7,5580	9,5580	11,5580	13,5580	15,5580
0,1	0,8175	1,8175	2,8175	3,8175	4,8175	5,8175	6,8175	0,0852	0,2519	0,4185	0,5853	0,7520	0,9187	1,0854	3,4395	5,4395	7,4395	9,4395	11,4395	13,4395	15,4395
0,2	0,8021	1,8021	2,8021	3,8021	4,8021	5,8021	6,8021	0,0851	0,2518	0,4185	0,5852	0,7519	0,9186	1,0853	3,3210	5,3210	7,3210	9,3210	11,3210	13,3210	15,3210
0,3	0,7764	1,7764	2,7764	3,7764	4,7764	5,7764	6,7764	0,0849	0,2516	0,4183	0,5850	0,7517	0,9184	1,0851	3,2025	5,2025	7,2025	9,2025	11,2025	13,2025	15,2025
0,4	0,7404	1,7404	2,7404	3,7404	4,7404	5,7404	6,7404	0,0843	0,2510	0,4177	0,5344	0,7511	0,9178	1,0845	3,0840	5,0840	7,0840	9,0840	11,0840	13,0340	15,0840
0,5	0,6942	1,6942	2,6942	3,6942	4,6942	5,6942	6,6942	0,0829	0,2496	0,4163	0,5830	0,7497	0,9164	1,0831	2,9655	4,9655	6,9655	8,9655	10,9655	12,9655	14,9655
0,6	0,6377	1,6377	2,6377	3,6377	4,6377	5,6377	6,6377	0,0805	0,2472	0,4139	0,5806	0,7473	0,9140	1,0807	2,8470	4,8470	6,8470	8,8470	10,8470	12,8470	14,8470

§ 30. Площади F, периметры S и моменты сопротивления Wx и Wy некоторых поперечных сечений мостовых опор

§ 30. Площади F, периметры S и моменты сопротивления W_x и W_y некоторых поперечных сечений мостовых опор