ГOCT P 50779.41-96

(ИСО 7873-93)

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

КОНТРОЛЬНЫЕ КАРТЫ ДЛЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО С ПРЕДУПРЕЖДАЮЩИМИ ГРАНИЦАМИ

ГОССТАНДАРТ РОССИИ

Москва

Предисловие

1 РАЗРАБОТАН И ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Стандартизация статистических методов управления качеством», Акционерным обществом «Нижегородский научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (АО «НИЦ КД»)

2 УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 14 августа 1996 г. № 512

3 Разделы (подразделы, приложения) настоящего стандарта, за исключением раздела 4, представляют собой полный аутентичный текст ИСО 7873-93 «Контрольные карты для арифметического среднего с предупреждающими границами» с дополнительными требованиями, отражающими потребности экономики страны

4 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Статистическое управление процессом предусматривает использование контрольных карт для арифметического среднего с предупреждающими границами, которые являются модификацией контрольных карт Шухарта.

Контрольные карты (КК) для арифметических средних с предупреждающими границами отличаются высокой чувствительностью к сдвигам уровня процесса.

Эти КК позволяют фиксировать даже самые небольшие сдвиги уровня процесса на основе дополнительной информации, получаемой от точек, попавших в предупреждающую зону. При этом сохраняется возможность определения резких крупных сдвигов в уровне процесса, когда выборочные средние арифметические выходят за пределы границ регулирования. По сравнению с контрольными картами Шухарта предлагаемые КК более чувствительны к незначительным и медленно формирующимся ухудшениям уровня процесса (таким, как сдвиги, не превышающие 2,5 s/, где s - стандартное отклонение контролируемого параметра и п - объем выборки).

ГОСТР 50779.41-96

(ИСО 7873-93)

Статистические методы

КОНТРОЛЬНЫЕ КАРТЫ ДЛЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО С ПРЕДУПРЕЖДАЮЩИМИ ГРАНИЦАМИ

Statistical methods.

Control charts for arithmetic average

Дата введения 1997-07-01

1 ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ

Настоящий стандарт устанавливает процедуры статистического управления процессом с помощью контрольных карт (далее - КК), основанных на вычислении среднего арифметического в выборке и использующих предупреждающие границы и границы регулирования. Предполагают, что для крупных партий и для массового выпуска штучной и серийной продукции контролируемым параметром качества является случайная величина, которая должна подчиняться нормальному закону распределения. Если вычисляют и наносят на КК среднее по четырем или более изделиям, предположение о нормальности распределения необязательно (4.2).

2 НОРМАТИВНЫЕ ССЫЛКИ

В настоящем стандарте использованы ссылки на следующие стандарты:

ГОСТ Р 50779.21-96 Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение

ИСО 3534-1-93¹⁾ Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 1. Вероятность и основные статистические термины

ИСО 3534-2-93¹⁾ Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 2. Статистический контроль качества

____________

¹⁾ До прямого применения данного стандарта ИСО в качестве государственного стандарта распространение его осуществляет ВНИИКИ.

3 ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В настоящем стандарте применяют термины с соответствующими определениями, данные в ИСО 3534-1 и ИСО 3534-2.

4 УСЛОВИЯ ПРИМЕНЕНИЯ

4.1 Прежде чем применять методы статистического управления процессом, следует в течение базового периода провести статистический анализ интересующего показателя качества, чтобы установить связь между процессом и качеством продукции для выработки рекомендаций по наладке процесса.

Если статистический анализ показывает, что процесс находится в статистически неуправляемом состоянии, и возможности процесса не соответствуют установленным требованиям, то необходимо определить причины сдвигов уровня процесса и способы его настройки.

4.2 Прежде чем применять правила настоящего стандарта, необходимо в первую очередь установить следующее:

а) выборочное среднее арифметическое  распределено по нормальному закону распределения. За исключением особых нетипичных случаев, распределение выборочного среднего арифметического для четырех и более изделий в выборке (согласно центральной предельной теореме) близко к нормальному закону, даже если отдельные наблюдения не подчиняются нормальному закону;

б) индивидуальные измерения, используемые для вычисления , должны быть проведены измерительным инструментом, деление шкалы которого не превышает s/2;

в) неизвестное значение математического ожидания m выборочных средних  характеризует текущий уровень процесса. Если уровень процесса изменяется, то изменяется и m. В этом случае уровень процесса должен быть скорректирован.

Примечание - Следует обратить внимание на понятие «уровень процесса». Именно уровень процесса является объектом управления при применении КК. Поэтому сигналом к корректирующим действиям является не появление несоответствующих единиц продукции, а недопустимое изменение уровня процесса, например выход m за границы m₁ или m_-1, специально установленные для уровня процесса;

г) при двустороннем критерии целевой уровень процесса m₀ соответствует значению центра поля допуска на контролируемый параметр, установленного в нормативной документации;

д) стандартное отклонение s контролируемого параметра должно быть постоянным и приемлемым. Это предположение должно быть проверено по контрольной карте выборочных стандартных отклонений или размахов;

е) при применении одностороннего критерия (m₁ > m₀ или m_-1 < m₀) целевой уровень процесса предполагают равным m₀, а интерес представляет только нежелательное отклонение уровня процесса в том или ином направлении. Если процесс вышел из статистически управляемого состояния в соответствующем направлении, то необходима корректировка. Значения m₁ и m_-1 выбирают так, чтобы указать такие сдвиги уровня процесса (D = çm₁ - m₀çили D = çm_-1 - m₀ç), которые недопустимы и должны быть быстро обнаружены. Эти значения определяют через недопустимое значение доли несоответствующих единиц продукции (приложение А).

Примечание - Здесь важно подчеркнуть, что для статистического управления процессом изначально должны быть заданы и допуск на контролируемый параметр, и недопустимое значение возможной доли несоответствующих единиц продукции. По правилам приложения А эти требования к качеству продукции переводят в требования к качеству процесса через установление недопустимых сдвигов уровня процесса. Выполнение требований к качеству процесса означает выполнение требований к качеству продукции. КК служит инструментом для контроля выполнения требований к качеству процесса;

ж) в случае двустороннего критерия (m₁ > m₀ и m_-1 < m₀) интерес представляют оба направления возможных отклонений уровня процесса от m₀. Если процесс вышел из статистически управляемого состояния в любом направлении, то он должен быть скорректирован.

Значение d, которое характеризует приведенное значение математического ожидания (уровня процесса) для процесса, вышедшего из статистически управляемого состояния, рассчитывают через значения m₀, d, m₁ и (или) m_-1 следующим образом:

                                                   (4.1)

Когда величина s постоянна, процесс может выйти из статистически управляемого состояния вследствие изменения m под влиянием неслучайных причин.

Примечание - Важно подчеркнуть, что при применении КК должны быть установлены три вида требований:

- требование к качеству продукции - поле допуска контролируемого параметра и недопустимое значение возможной доли несоответствующих единиц продукции;

- требование к качеству процесса - m₀, m₁ и (или) m_-1;

- требование к выборочной характеристике  - контрольные границы (предупреждающие и границы регулирования).

Требования к качеству продукции устанавливают в технических условиях и (или) в контракте, требования к качеству процесса - в технологической документации, а контрольные границы - в инструкции для контролера или оператора (наладчика).

5 ОПИСАНИЕ МЕТОДА

5.1 Статистическое управление процессом осуществляют с использованием контрольных карт для арифметического среднего с предупреждающими границами.

Контрольная карта - это графическое отражение состояния процесса, его уровня и изменчивости. Текущие выборочные значения  наносят на КК, как показано в приложении Б (рисунок Б.1).

5.2 Контрольная карта для арифметического среднего с предупреждающими границами имеет целевую (центральную) линию процесса, соответствующую центру поля допуска контролируемого параметра. Эта линия соответствует значению m₀, предупреждающие границы - значениям m₀ ± В₂s/, а границы регулирования - значениям m₀ ± В₁s/, где п - объем выборки. Предполагают, что значения индивидуальных измерений контролируемого параметра, используемые для вычисления , статистически независимы.

В₁ и В₂ - коэффициенты, определяющие расположение границ регулирования и предупреждающих границ на КК. Принцип выбора значений В₁ и В₂ описан в разделе 6.

5.3 Контрольная карта может быть нанесена на бланке, на световом табло, приведена в памяти компьютера или представлена в другой удобной форме.

5.4 КК должны находиться как можно ближе к рабочим местам; ввод данных и построение графиков должны быть осуществлены чисто и подробно.

5.5 Необходимо подготовить стандартные рабочие процедуры для определения, подготовки и использования КК как метода измерения изменчивости процесса. Данные по мере их получения должны быть своевременно нанесены на контрольную карту.

5.6 Контрольные карты для арифметического среднего с предупреждающими границами могут быть использованы для процессов как с односторонним, так и с двусторонним критериями. Однако обычно используют двусторонний критерий.

5.6.1 В случае, когда процесс находится в статистически управляемом состоянии и имеет двусторонний критерий, выделяют пять зон качества (рисунок 1):

Рисунок 1 - Зоны качества для статистического управления процессом с двусторонним критерием

а) зону Т (целевую): выборочное среднее арифметическое находится между верхней и нижней предупреждающими границами;

б) зоны W₊ и W_- (предупреждающие): выборочное среднее арифметическое находится соответственно между верхней предупреждающей границей и верхней границей регулирования или между нижней предупреждающей границей и нижней границей регулирования;

в) зоны А₊ и А_- (критические): выборочное среднее арифметическое находится соответственно выше верхней или ниже нижней границ регулирования.

5.6.2 В случае, когда процесс находится в статистически управляемом состоянии и имеет односторонний критерий, выделяют три зоны качества (рисунки 2 и 3):

а) зону Т (целевую): выборочное среднее арифметическое находится ниже верхней или выше нижней предупреждающих границ в зависимости от конкретного случая;

б) зону W (предупреждающую): выборочное среднее арифметическое находится между предупреждающей границей и границей регулирования;

в) зону А (критическую): выборочное среднее арифметическое находится за пределами границы регулирования.

На рисунке 2 рассмотрен случай, когда нежелательный сдвиг уровня процесса связан с его возрастанием.

Рисунок 2 - Зоны качества для статистического управления с односторонним критерием - верхние границы

На рисунке 3 рассмотрен случай, когда нежелательный сдвиг уровня процесса связан с его убыванием.

Рисунок 3 - Зоны качества для статистического управления с односторонним критерием - нижние границы

5.7 Выборочное среднее арифметическое наносят на контрольную карту с предупреждающими границами следующим образом: для каждой выборки на КК наносят точку с указанием времени или порядкового номера в качестве абсциссы и соответствующего значения  - в качестве ординаты (рисунок Б.1).

6 СТАТИСТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ

6.1 Если хотя бы одна точка попала в верхнюю критическую зону А₊, или в нижнюю критическую зону А_-, то это сигнал о выходе процесса из-под контроля. При получении такого сигнала должна быть определена и устранена причина выхода процесса из статистически управляемого состояния.

6.2 Если установленное количество последовательных точек попадает в одну из предупреждающих зон - верхнюю W₊ или нижнюю W_-, то это служит сигналом о выходе процесса из-под контроля и необходимости корректировки.

Значения различных параметров для планов статистического управления процессом выбирают в соответствии с разделом 7.

7 ВЫБОР ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ ПЛАНОВ СТАТИСТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ

7.1 При выборе плана статистического управления процессом необходимо установить следующие значения:

а) объем выборки п (по 7.3)¹⁾;

б) период отбора выборок t (по 7.3)¹⁾;

_______________

¹⁾ Значения величин t и п устанавливают предварительно.

в) количество последовательных точек К (по 6.2);

г) коэффициенты В₁, и В₂ (по 7.2.2 и 7.4.1), - а также правила принятия решений для корректировки процесса.

Исходными величинами для выбора плана статистического управления процессом являются m₀, s m₁, и (или) m_-1 (в соответствии с разделом 4); L₀ и L₁ [средние длины серий выборок для процессов соответственно в статистически управляемом и неуправляемом состояниях (в соответствии с 7.2 и приложением В)].

7.2 Эффективность процедуры статистического управления процессом может быть оценена через средние длины серий выборок.

7.2.1 Средняя длина серии выборок (ARL) процесса - это среднее число выборок, которые будут извлечены до получения сигнала о неуправляемом состоянии процесса, при неизменном уровне процесса. Значения ARL представлены в таблицах 1-4. ARL имеет максимальное значение, когда уровень процесса совпадает с целевым уровнем m₀; значение ARL резко уменьшается, когда уровень процесса отклоняется от целевого. Контрольная карта должна быть рассчитана таким образом, чтобы были выполнены два условия:

а) при совпадении уровня процесса с целевым уровнем m₀ средняя длина серий выборок обозначается L₀ и должна принимать большое значение. Это обеспечивает низкую вероятность возникновения ложных сигналов о выходе процесса из статистически управляемого состояния;

б) при уровне процесса со значениями m₁, или m_-1 средняя длина серий выборок обозначается L₁ и должна принимать малое значение. Это позволяет быстро обнаружить неудовлетворительное состояние процесса.

7.2.2 Для одностороннего критерия в таблицах 1, 2 и 3 в строке  даны значения ARL, равные L₀, и значения ARL, равные L₁, - в строках, соответствующих различным значениям , как функции от К, В₁, В₂ и . При выборе L₀ и L₁ необходимо установить несколько вариантов В₁, и В₂; из них, насколько это возможно, выбирают те, которые дают максимальное значение отношения L₀/L₁.

Таблица 1 - Значения ARL для В₁ = 2,75 (односторонний критерий)

Таблица 2 - Значения ARL для В₁ = 3,00 (односторонний критерий)

Таблица 3 - Значения ARL для В₁ = 3,25 (односторонний критерий)

Таблица 4 - Значения ARL (двусторонний критерий)

7.2.3 Для двустороннего критерия следует использовать таблицы 1-4. Для процесса в статистически управляемом состоянии значения ARL, равные L₀, определяют из таблицы 4 в строке  = 0. Для процесса в статистически неуправляемом состоянии значения ARL, равные L₁, определяют по таблице 4 при  < 1 и по таблицам 1-3 при   1, так как для   1 значения ARL для двустороннего критерия совпадают со значениями ARL для одностороннего критерия (таблица B.I).

7.2.4 Для значений , отсутствующих в таблицах 1-4, соответствующие значения L₁ получают путем линейной интерполяции.

7.3 Объем выборки п, как показано в формуле (рисунок B.I) приложения В, влияет на кривые ARL так же, как и параметры m₀, m₁, m_-1 и К. Причем для того же самого числа наблюдений или измерений можно разработать контрольную карту с длительным периодом взятия выборок t и малым объемом выборок п или наоборот.

В каждом практическом случае различные экспериментальные комбинации n и t должны быть тщательно проанализированы при построении КК и определении окончательных значений параметров L₀, и L₁. Контрольная карта с окончательными значениями L₀ и L₁ должна быть оценена с учетом прошедшего протекания процесса.

В большинстве случаев предварительный выборочный план (n, t) может служить в качестве базовой пробной комбинации. Другие пробные значения можно сравнить с ним путем сопоставления получающихся значений L₀ и L₁ и затрат.

7.4 Таблицы 1-4 предназначены для выбора планов статистического управления процессом.

7.4.1 Если значения d и n так же, как L₀ и L₁ (и ограничения для них) определены заранее, то значения параметров В₁, В₂ и К могут быть найдены по значениям  из таблиц 1-4 (с интерполяцией в случае необходимости) (Б.2).

Если есть несколько планов статистического управления процессом, удовлетворяющих установленным требованиям (по Б.2), то из них необходимо выбрать план, обеспечивающий максимум отношения L₀/L₁, с учетом 7.2. Если значение отношения L₀/L₁ высокое (больше или равно 40) для нескольких планов, то рекомендуется выбрать вариант с наименьшим значением L₁.

7.4.2 Если объем выборки п предварительно не указан, то его возможное значение может быть найдено по таблицам 1-4. Для этого выбирают сначала те колонки в таблицах 1-4, для которых значение L₀, удовлетворяет заданным ограничениям, а затем первое число, меньшее или равное заданному значению L₁. После этого из соответствующего значения  при известном d вычисляют п и округляют до ближайшего целого числа (по Б.4).

В этом случае получается несколько вариантов планов статистического управления процессом, и предпочтение должно быть отдано тому плану, который обеспечивает наименьший объем выборки (с учетом 7.2 и 7.4.1). Это особенно важно в ситуациях, когда затраты на контроль велики.

7.5 В условиях промышленного производства продукции могут происходить различные изменения, например замена операторов с разной квалификацией, смена поставляемых материалов, сужение или расширение границ регулирования по технологическим или экономическим соображениям и т. п. Все эти изменения должны быть незамедлительно отражены в планах статистического управления процессом.

В нормативных документах должно быть записано, что в течение некоторых установленных периодов времени (месяца, квартала, года и т. д.) КК и другие нормативные документы должны быть подвергнуты статистическому анализу для их обновления. Частота такого анализа должна быть определена производственной необходимостью.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

(обязательное)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕДОПУСТИМОГО ЗНАЧЕНИЯ СРЕДНЕГО УРОВНЯ ПРОЦЕССА НА ОСНОВЕ ДОЛИ НЕСООТВЕТСТВУЮЩИХ ЕДИНИЦ ПРОДУКЦИИ

А.1 Односторонний критерий

Пусть контролируют верхнее отклонение уровня процесса. Задана верхняя граница технического допуска Т_в для контролируемого параметра х. В этом случае долю несоответствующих единиц продукции q₀ для процесса в статистически управляемом состоянии определяют по формуле

.                                                   (А.1)

Долю несоответствующих единиц продукции q₁ для процесса в статистически неуправляемом состоянии определяют по формуле

,                                                   (А.2)

где Ф - функция стандартного нормального закона распределения.

Следовательно, если Т_в и q₁ известны, то m₁ может быть определено по формуле

,                                                      (А.3)

где z_1-q1 - квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - q₁).

Аналогично, если контролируют нижнее отклонение уровня процесса и задана нижняя граница технического допуска Т_н для количественного признака  то

;                                                   (А.4)

,                                                  (А.5)

и m_-1 можно определить по следующей формуле:

,                                                       (а.6)

где q₀, q₁ и Ф определены выше.

А.2 Двусторонний критерий

Это тот же случай, что и случай, когда Т_в - m₀ = m₀ - Т_н.

Используя те же обозначения, что и в А.1, получают

;                                                (А.7)

.                                (А.8)

Поскольку обычно

,

то значениями

можно пренебречь. Тогда m₁ и m_-1 могут быть определены с помощью формул (А.3) и (А.6) соответственно.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

(информационное)

ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ НАСТОЯЩЕГО СТАНДАРТА

Б.1 Пример расчета контрольной карты для арифметического среднего с предупреждающими границами для производственного процесса поддержания концентрации азота в аммиаке

25 %-ю концентрацию азота в аммиаке считают нормальной для процесса в статистически управляемом состоянии.

Даны пределы концентрации азота:

Т_в = 27,5 %;

Т_н = 22,5 %.

Максимально нежелательный уровень несоответствий равен 3 %.

Из предыдущих экспериментальных данных известно, что s = 1 %.

Определяют значения m₁ и m_-1.

Согласно формулам (А.3) и (А.6)

m₁ = 27,50 % - 1 % ´ z_0,97 = 27,50 % - 1,88 % = 25,62 %;

m_-1 = 22,50 % + 1,88 % = 24,38 %.

Б.2 Значение объема выборки для условий примера Б.1 взято равным 5, т. е. n = 5. Контрольные границы на контрольной карте должны быть построены таким образом, чтобы ARL для процесса в статистически управляемом состоянии (L₀) составляла как минимум 300 и для процесса с максимально нежелательным уровнем процесса (L₁) - не превышала 12.

Имеют

и

.

Комбинацию коэффициентов, определяющих положение границ регулирования и предупреждающих границ на контрольных картах В₁, В₂, и количество последовательных точек К выбирают из таблиц 1-4 (с интерполяцией для значения  = 1,39), так чтобы L₀ ³ 300 и L₁ < 12 (таблица 4), т. е. L₀ ³ 600 и L₁ < 12, если используют таблицы 1-3 настоящего стандарта (В.3).

Результаты представлены в таблице Б.1.

Таблица Б.1

Установленные исходные данные приводят к неоднозначности плана контроля (получилось четыре возможных варианта). Согласно 7.4.1 (поскольку отношение L₀/L₁ > 50) выбирают план с минимальным L₁, т. е. третью строку в таблице Б.1.

Таким образом, К = 3; В₁ = 3,25; В₂ = 1,25.

В соответствии с разделом 5 для нанесения на контрольную карту границ получены следующие значения:

для границ регулирования

;

;

для предупреждающих границ

;

.

Б.3 Для условий, приведенных в Б.1 и Б.2, были получены следующие значения : 25,1; 25,2; 24,2; 25,6; 24,1; 24,3; 25,0; 25,3; 25,9; 24,7; 25,1; 25,3; 24,9; 25,4; 24,8; 24,7; 25,9; 25,6; 25,7 % (рисунок Б.1).

Рисунок Б.1 - Пример контрольной карты для арифметического среднего с предупреждающими границами

После 19-й выборки необходимо принять решение о наладке процесса, так как последние три точки (25,9; 25,6; 25,7) находятся в зоне W между предупреждающей границей и границей регулирования.

Следует обратить внимание на то, что две другие соседние точки (24,1 и 24,3) находятся в зоне W₊, и корректировка процесса не может быть произведена, так как в соответствии с принятой процедурой этих точек должно быть три.

Корректировка должна быть осуществлена немедленно при первом же значении  либо больше 26,45, либо меньше 23,55.

Примечание - 3s-границы показаны на рисунке Б.1 пунктирными линиями. Как видно из этого рисунка, контрольная карта Шухарта не позволила бы осуществить корректировку рассмотренного процесса.

Б.4 Для s, m₀, m₁ и m_-1, приведенных выше, а также условий, установленных для L₀ и L₁, необходимо найти план контроля, дающий наименьший объем выборки. Из колонки таблицы Б.1, соответствующей L₀ ³ 600, находят, что минимальное значение , для которого L₁ < 12, равно 1,4 (например, план с параметрами В₁ = 3,0, В₂ = 1,5, К = 3 дает L₁ = 10,3; план с параметрами В₁ = 3,25, В₂ = 1,25 и К =3 дает L₁ = 8,8).

Отсюда  и n = 5.

ПРИЛОЖЕНИЕ В

(информационное)

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ

B.1 Общая часть

Контрольные карты, использующие только границы регулирования, не во всех случаях достаточно чувствительны к изменению уровня процесса.

Средняя длина серии выборок, по результатам которых принимают решение о корректировке процесса, - критерий чувствительности КК к сдвигу уровня процесса. Если процесс находится в статистически управляемом состоянии, то решение о корректировке ошибочно. В этом случае средняя длина серии выборок должна быть максимально возможной.

Если же процесс вышел из статистически управляемого состояния, то решение о его корректировке необходимо принять как можно быстрее. Здесь средняя длина серии выборок должна быть по возможности меньшей.

Введение предупреждающих границ повышает чувствительность КК к определению состояния процесса.

Если сравнить КК с предупреждающими границами с контрольными картами Шухарта для одного и того же значения L₀, то поскольку  < 2,5, КК с предупреждающими границами имеют гораздо меньшие значения L₀.

,

где Ф - функция нормального распределения.

Рисунок B.1 - Сравнение значений ARL, полученных для процесса, находящегося в статистически неуправляемом состоянии для обычной контрольной карты Шухарта (пунктирная линия) и контрольной карты с предупреждающими границами (сплошная линия)

На рисунке B.1 сплошная линия представляет значения ARL для контрольной карты для арифметического среднего с предупреждающими границами с односторонним критерием с зонами качества при В₁ = 3,00; В₂; = 1,75; К = 2 (таблица 2 настоящего стандарта). Пунктирная линия показывает значения ARL для обычной КК Шухарта с односторонним критерием, рассчитанной для того же значения L₀ = 346,2, что и первая КК (границы будут на расстоянии 2,76 ´  от центральной линии).

Пример приведен для одностороннего критерия. Для двустороннего критерия кривые строят по тем же правилам (7.2.3).

В.2 Формулы для вычисления ARL с односторонним критерием

Точка на контрольной карте может попасть в зону Т с вероятностью р, в зону W - с вероятностью q, а в зону А - с вероятностью 1-р-q (рисунок 2 настоящего стандарта), где вероятности р и q определяют по формулам:

p = Ф(В₂ - );                                                          (В.1)

q = Ф(В₁ - ) - Ф(В₂ - ),                                             (В.2)

где  - функция стандартного нормального закона распределения, значения которой приведены в приложении А ГОСТ Р 50779.21;

x - переменная интегрирования и d = 0 для процесса в статистически управляемом состоянии.

Среднюю длину серий выборок L определяют по формуле

.                                                         (В.3)

Когда К = 2, рекомендуют использовать формулу (В.3) в следующем виде:

.                                                              (В.4)

Значения ARL в таблицах 1-3 настоящего стандарта вычислены с использованием приведенных формул.

В.3 Формула для вычисления ARL с двусторонним критерием

В случае двустороннего критерия формула (В.3) принимает вид (при К = 2):

,                                            (В.5)

rдe q₁ и q₂ - вероятности попадания в зоны W₊ и W_- соответственно;

p¢ - вероятность попадания в зону Т.

Очевидно, что р¢ = 2р - 1, где р определяют по формуле (B.1).

Когда  = 0, то q₁ = q₂ = q и формула (В.4) принимает вид

                                (В.6)

Когда  ¹ 0, меньшая из вероятностей q₁ и q₂ (например, q₂) становится настолько малой, что ею можно пренебречь.

Таким образом, для малых значений  (0,2; 0,4) необходимо учитывать разницу между значениями ARL с односторонним и двусторонним критериями, но если  > 0,6, то эта разница становится настолько малой, что ею можно пренебречь (таблица B.1).

Таблица B.1 - Значение ARL, в случаях с двусторонним и односторонним критериями

Затем, если q₁ = q, q₂ = 0, то формула (В.5) переходит в формулу (В.4), т. е. ARL процесса, вышедшего из-под контроля, будет такой же, как и ARL процесса с односторонним критерием:

L¢₁ = L₁.                                                                   (B.7)

Например, если причиной выхода процесса из-под контроля служит увеличение значения уровня процесса, то возможность выхода за нижнюю предупреждающую границу можно не брать в расчет как и в случае одностороннего критерия.

Формулы (В.6) и (В.7) также применимы для К = 3 и К = 4.

В.4 Взаимосвязь приведенных формул с теорией цепей Маркова

Формулы (В.3), (В.4) и (В.5) могут быть выведены с помощью теории цепей Маркова.

Для процесса с односторонним критерием и К = 2 следует рассматривать цепь Маркова с тремя состояниями:

а) точка находится в зоне Т;

б) точка находится в зоне W, в то время как предыдущая точка - в зоне Т;

в) точка находится в зоне А или в зоне W вместе с предыдущей.