1.1 вероятность

Действительное число в интервале от 0 до 1, относящееся к случайному событию.

Примечания

1. Число может отражать относительную частоту в серии наблюдений или степень уверенности в том, что некоторое событие произойдет. Для высокой степени уверенности вероятность близка к единице.

2. Вероятность события А обозначают Рr (А) или Р (А)

en probability

fr probabilite

1.2. случайная величина

Переменная, которая может принимать любое значение из заданного множества значений и с которой связано распределение вероятностей.

Примечание - Случайную величину, которая может принимать только отдельные значения, называют дискретной. Случайную величину, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала, называют непрерывной.

en random variable; variate

fr variable aleatoire

1.3. распределение (вероятностей)

Функция, определяющая вероятность того, что случайная величина примет какое-либо заданное значение или будет принадлежать заданному множеству значений.

Примечание - Вероятность того, что случайная величина находится в области ее изменения, равна единице

en probability distribution

fr loi de probabilite

1.4. функция распределения

Функция, задающая для любого значения х вероятность того, что случайная величина Х меньше или равна х,

en distribution function

fr fonction de repartition

1.5. плотность распределения (вероятностей)

Первая производная, если она существует, функции распределения непрерывной случайной величины

Примечание -  называется элементом вероятности

en probability density function

fr fonction de densite de probabilit

1.6. функция распределения (вероятностей) масс

Функция, дающая для каждого значения x_i дискретной случайной величины Х вероятность p_i того, что случайная величина равна х_i:

en probability mass function

fr fonction de masse

1.7. двумерная функция распределения

Функция, дающая для любой пары значений х, у вероятность того, что случайная величина X будет меньше или равна х, а случайная величина Y - меньше или равна y:

Примечание - Выражение в квадратных скобках означает пересечение событий Х £ х и Y £ у

en bivariate distribution function

fr fonction de repartition a deux variables

1.8. многомерная функция распределения

Функция, дающая для любого набора значений х, у, ... вероятность того, что несколько случайных величин X, Y, ... будут меньше или равны соответствующим значениям х, у, ...:

en multivariate distribution function

fr fonction de repartition a plusieurs variables

1.9. маргинальное распределение (вероятностей)

Распределение вероятностей подмножества k₁ из множества k случайных величин, при этом остальные (k - k₁) случайные величины принимают любые значения в соответствующих множествах возможных значений.

Примечание - Для распределения вероятностей трех случайных величин X, Y, Z существуют:

- три двумерных маргинальных распределения, т.е. распределения пар (X, Y), (X, Z), (Y, Z);

- три одномерных маргинальных распределения, т.е. распределения X, Y и Z.

en marginal probability distribution

fr loi de probabilite marginale

1.10. условное распределение (вероятностей)

Распределение подмножества k₁ < k случайных величин из распределения случайных величин, когда остальные (k - k₁) случайные величины принимают постоянные значения.

Примечание - Для распределения вероятностей двух случайных величин X, Y существуют:

- условные распределения X: некоторое конкретное распределение представляют как «распределение X при Y = y»; - условные распределения Y: некоторое конкретное распределение представляют как «распределение Y при Х = х».

en conditional probability distribution

fr loi de probabilite conditionnelle

1.11. независимость (случайных величин)

Две случайные величины Х и Y независимы, если их функции распределения представлены как

где F (х, ¥) = G (х) и F (¥, у) = Н (у) - маргинальные функции распределения X и Y, соответственно, для всех пар (х, у).

Примечания:

1. Для непрерывной независимой случайной величины ее плотность распределения, если она существует, выражают как

где g (x) и h (у) - маргинальные плотности распределения Х и Y, соответственно, для всех пар (х, у).

Для дискретной независимой случайной величины ее вероятности выражают как

для всех пар (x_i, у_j).

2. Два события независимы, если вероятность того, что они оба произойдут, равна произведению вероятностей этих двух событий.

en independence

fr independance

1.12. параметр

Величина, используемая в описании распределения вероятностей некоторой случайной величины.

en parameter

fr parametre

1.13. корреляция

Взаимозависимость двух или нескольких случайных величин в распределении двух или нескольких случайных величин.

Примечание - Большинство статистических мер корреляции измеряют только степень линейной зависимости.

en correlation

fr correlation

1.14. квантиль (случайной величины)

Значение случайной величины х_p, для которого функция распределения принимает значение p (0 £ p £ 1) или ее значение изменяется скачком от меньшего p до превышающего р.

Примечания

1. Если значение функции распределения равно p во всем интервале между двумя последовательными значениями случайной величины, то любое значение в этом интервале можно рассматривать как p-квантиль.

2. Величина х_p будет p-квантилем, если

3. Для непрерывной величины p-квантиль - это то значение переменной, ниже которого лежит р-я доля распределения.

4. Процентиль - это квантиль, выраженный в процентах.

en quantile

fr quantile

1.15. медиана

Квантиль порядка p = 0,5.

en median

fr mediane

1.16. квартиль

Квантиль порядка p = 0,25 или p = 0,75.

en quartile

fr quartile

1.17. мода

Значение случайной величины, при котором функция распределения вероятностей масс или плотность распределения вероятностей имеет максимум.

Примечание - Если имеется единственная мода, то распределение вероятностей случайной величины называется унимодальным; если имеется более чем одна мода, оно называется многомодальным, в случае двух мод - бимодальным.

en mode

fr mode

1.18. математическое ожидание (случайной величины)

а) Для дискретной случайной величины X, принимающей значения x_i с вероятностями p_i, математическое ожидание, если оно существует, определяют формулой

где суммируют все значения x_i, которые может принимать случайная величина X.

b) Для непрерывной случайной величины X, имеющей плотность f (x), математическое ожидание, если оно существует, определяют формулой

где интеграл берут по всему интервалу (интервалам) изменения Х.

en expectation; expected value; mean

fr esperance mathematique; valeur esperee; moyenne

1.19. маргинальное математическое ожидание

Математическое ожидание маргинального распределения случайной величины.

en marginal expectation

fr esperance mathematique marginale

1.20. условное математическое ожидание

Математическое ожидание условного распределения случайной величины.

en conditional expectation

fr esperance mathematique conditionnelle

1.21. центрированная случайная величина

Случайная величина, математическое ожидание которой равно нулю.

Примечание - Если случайная величина Х имеет математическое ожидание m, то соответствующая центрированная случайная величина равна X - m.

en centered random variable

fr variable aleatoire centree

1.22. дисперсия (случайной величины)

Математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины

en variance

fr variance

1.23. стандартное отклонение (случайной величины)

Положительный квадратный корень из значения дисперсии

en standard deviation

fr ecart-type

1.24. коэффициент вариации (случайной величины)

Отношение стандартного отклонения к абсолютному значению математического ожидания случайной величины

en coefficient of variation

fr coefficient de variation

1.25. стандартизованная случайная величина

Случайная величина, математическое ожидание которой равно нулю, а стандартное отклонение - единице.

Примечания

1. Если случайная величина X имеет математическое ожидание m и стандартное отклонение s, то соответствующая стандартизованная случайная величина равна

Распределение стандартизованной случайной величины называется стандартным распределением.

2. Понятие стандартизованной случайной величины является частным случаем «приведенной случайной величины», определяемой относительно центрального значения и параметра масштаба, отличных от математического ожидания и стандартного отклонения.

en standardized random variable

fr variable aleatoire centree reduite

1.26. момент¹⁾ порядка q относительно начала отсчета

Математическое ожидание случайной величины в степени q для одномерного распределения

Примечание - Момент первого порядка - математическое ожидание случайной величины Х.

en moment of order q about the origin

fr moment d’ordre q par rapport a l’origine

1.27. момент¹⁾ порядка q относительно а

Математическое ожидание величины (X - а) в степени q для одномерного распределения

en moment of order q about an origin a

fr moment d’ordre q a partir d’une origine a

1.28. центральный момент порядка q

Математическое ожидание центрированной случайной величины для одномерного распределения

Примечание - Центральный момент второго порядка - дисперсия случайной величины Х.

en central moment of order q

fr moment centre d’ordre q

1.29. совместный момент¹⁾ порядков q и s относительно начала отсчета

Математическое ожидание произведения случайной величины Х в степени q и случайной величины Y в степени s для двумерного распределения

Примечание - Совместный момент порядков 1 и 0 - маргинальное математическое ожидание случайной величины X.

Совместный момент порядков 0 и 1 - маргинальное математическое ожидание случайной величины Y.

en joint moment of orders q and s about the origin

fr moment d’ordres q et s a partir de l’origine

1.30. совместный момент¹⁾ порядков q и s относительно точки (а, b)

Математическое ожидание произведения случайной величины (X - а) в степени q и случайной величины (Y - b) в степени s для двумерного распределения:

en joint moment of orders q and s about an origin (a, b)

fr moment d’ordres q et s a partir d’une origine (a, b)

1.31. совместный центральный момент¹⁾ порядков q и s

Математическое ожидание произведения центрированной случайной величины (X - m_x) в степени q и центрированной случайной величины (Y - m_y)в степени s для двумерного распределения:

Примечание - Совместный центральный момент порядков 2 и 0 - дисперсия маргинального распределения X.

Совместный центральный момент порядков 0 и 2 - дисперсия маргинального распределения Y.

¹⁾ Если при определении моментов значения случайных величин X, X - a, Y, Y - b и т.д. заменяют на их абсолютные значения |Х|, |Х - а|, |Y|, |Y - b| и т.д., то моменты называют «абсолютными моментами».

en joint central moment of orders q and s

fr moment centre d’ordres q et s

1.32. ковариация; корреляционный момент

Совместный центральный момент порядков 1 и 1:

en covariance

fr covariance

1.33. коэффициент корреляции

Отношение ковариации двух случайных величин к произведению их стандартных отклонений:

Примечания

1. Эта величина всегда будет принимать значения от минус 1 до плюс 1, включая крайние значения.

2. Если две случайные величины независимы, коэффициент корреляции между ними равен нулю только в случае двумерного нормального распределения.

en correlation coefficient

fr coefficient de correlation

1.34. кривая регрессии (Y по X)

Для двух случайных величин Х и Y кривая, отображающая зависимость условного математического ожидания случайной величины Y при условии Х = х для каждой переменной х.

Примечание - Если кривая регрессии Y по X представляет собой прямую линию, то регрессию называют «простой линейной». В этом случае коэффициент линейной регрессии Y по Х - это коэффициент наклона перед х в уравнении линии регрессии.

en regression curve

fr courbe de regression

1.35. поверхность регрессии (Z по Х и Y)

Для трех случайных величин X, Y, Z поверхность, отображающая зависимость условного математического ожидания случайной величины Z при условии Х = х и Y = y для каждой пары переменных (х, у).

Примечания

1. Если поверхность регрессии представляет собой плоскость, то регрессию называют «линейной». В этом случае коэффициент линейной регрессии Z по Х - это коэффициент перед х в уравнении регрессии.

2. Определение можно распространить на число случайных величин более трех.

en regression surface

fr surface de regression

1.36. равномерное распределение; прямоугольное распределение

а) Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятности которой постоянна на конечном интервале [а, b] и равна нулю вне его.

b) Распределение вероятностей дискретной случайной величины такое, что

для i = 1, 2, ..., n.

Примечание - Равномерное распределение дискретной случайной величины имеет равные вероятности для каждого из п значений, то есть

для j = 1, 2, ..., n.

en uniform distribution; rectangular distribution

fr loi uniforme; loi rectangulare

1.37. нормальное распределение; распределение Лапласа - Гаусса

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х такое, что плотность распределения вероятностей при - ¥ < х < + ¥ принимает действительное значение

Примечание - m - математическое ожидание; s - стандартное отклонение нормального распределения.

en normal distribution; Laplace - Gauss distribution

fr loi normale; loi de Laplace - Gauss

1.38. стандартное нормальное распределение; стандартное распределение Лапласа - Гаусса

Распределение вероятностей стандартизованной нормальной случайной величины U, плотность распределения которой

при - ¥ < u < + ¥ (п. 1.25, примечание 1).

en standardized normal distribution; standardized Laplace - Gauss distribution

fr loi normale reduite; loi de Laplace - Gauss reduite

1.39. распределение c²

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, принимающей значения от 0 до + ¥, плотность распределения вероятностей которой

где c² ³ 0 при значении параметра n = 1, 2,...;

Г - гамма-функция.

Примечания

1. Сумма квадратов n независимых стандартизованных нормальных случайных величин образует случайную величину c² с параметром n; n называют степенью свободы случайной величины c².

2. Распределение вероятностей случайной величины c²/2 - это гамма-распределение с параметром m = n/2.

en chi-squared distribution; c²-distribution

fr loi de chi carre; loi de c²

1.40. t-распределение; распределение Стьюдента

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятностей которой

где - ¥ < t < + ¥ с параметром n = 1, 2,...;

Г - гамма-функция.

Примечание - Отношение двух независимых случайных величин, числитель которого - стандартизованная нормальная случайная величина, а знаменатель - положительное значение квадратного корня из частного от деления случайной величины c² на ее число степеней свободы n - это распределение Стьюдента с v степенями свободы.

en t-distribution; Students distribution

fr loi de t; loi de Student

1.41. F-распределение

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, принимающей значения от 0 до +°о, плотность распределения вероятностей которой

где F ³ 0 с параметрами n₁ = 1, 2,...; n₂ = 1, 2,...;

Г - гамма-функция.

Примечание - Это распределение отношения двух независимых случайных величин с распределениями c², в котором делимое и делитель разделены на свои числа степеней свободы. Число степеней свободы числителя равно n₁, а знаменателя - n₂. В таком порядке и записывают числа степеней свободы случайной величины с распределением F.

en F-distribution

fr loi de F

1.42 логарифмически нормальное распределение

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которая может принимать любые значения от а до + ¥ и плотность распределения вероятности которой

где x > a;

m и s - соответственно математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины .

Примечания

1. Распределение вероятностей случайной величины  - это нормальное распределение; m и s - соответственно математическое ожидание и стандартное отклонение этой случайной величины.

2. Параметры m и s - это не логарифмы математического ожидания и стандартного отклонения X.

3. Часто вместо обозначения log_e (или ln) используют log₁₀. В этом случае

где m и s - соответственно математическое ожидание и стандартное отклонение ;

en log-normal distribution

fr loi log-normale

1.43. экспоненциальное распределение

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которая может принимать любые значения от 0 до + ¥ и плотность распределения которой

при х ³ 0 и параметре ,

где b - параметр масштаба.

Примечание - Такое распределение вероятностей можно обобщить подстановкой (х - а) вместо х при х ³ а.

en exponential distribution

fr loi exponentielle

1.44. гамма-распределение

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которая может принимать любые значения от 0 до + ¥ и плотность вероятности которой

при х ³ 0 и параметрах m > 0, a > 0;

где Г - гамма-функция

Примечания

1. При m целом имеем:

Г (m) = (m - 1)!

2. Параметр m определяет форму распределения. При m = 1 гамма-распределение превращается в экспоненциальное распределение.

3. Сумма m независимых случайных величин, подчиняющихся экспоненциальному закону распределения с параметром  - это гамма-распределение с параметрами m и a.

en gamma distribution

fr loi gamma

1.45. бета-распределение

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которая может принимать любые значения от 0 до 1, включая границы, и плотность распределения которой

при 0 £ x £ 1 и параметрах m₁ > 0, m₂ > 0,

где Г - гамма-функция.

Примечание - При m₁ = m₂ = 1 бета-распределение переходит в равномерное распределение с параметрами a = 0 и b = 1.

en beta distribution

fr loi beta

1.46. распределение Гумбеля; распределение экстремальных значений типа I

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х с функцией распределения:

где - ¥ < х < + ¥;

а параметры - ¥ < a < + ¥, b > 0.

en Gumbel distribution; type I extreme value distribution

fr loi de Gumbel; loi des valeurs extremes de type I

1.47. распределение Фрешэ; распределение экстремальных значений типа II

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х с функцией распределения:

где х ³ а;

а параметры - ¥ < a < + ¥, k > 0, b > 0.

Примечание - Параметр k определяет форму распределения.

en Frechet distribution; type II extreme value distribution

fr loi de Frechet; loi des valeurs extremes de type II

1.48. распределение Вейбулла; распределение экстремальных значений типа III

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х с функцией распределения:

где х ³ а; y = (x - a)/b;

а параметры - ¥ < a < + ¥, k > 0, b > 0.

Примечание - Параметр k определяет форму распределения

en Weibull distribution; tupe III extreme value distribution

fr loi de Weibull; loi des valeurs extremes de type III

1.49. биномиальное распределение

Распределение вероятностей дискретной случайной величины X, принимающей любые целые значения от 0 до n, такое что

при х = 0, 1, 2,..., n

и параметрах n = 1, 2,... и 0 < p < 1,

где

en binomial distribution

fr loi binomiale

1.50. отрицательное биномиальное распределение

Распределение вероятностей дискретной случайной величины Х такое, что

при x = 0, 1, 2, …

и параметрах c > 0 (целое положительное число), 0 < p < 1,

где

Примечания

1. Название «отрицательное биномиальное распределение» связано с тем, что последовательные вероятности при х = 0, 1, 2, … получают при разложении бинома с отрицательным показателем степени (- с):

последовательных положительных целых степеней величины (1 - р).

2. Когда параметр с равен 1, распределение называют геометрическим распределением.

en negative binomial distribution

fr loi binomiale negative

1.51. распределение Пуассона

Распределение вероятностей дискретной случайной величины Х такое, что

при х = 0, 1, 2, ... и параметре m > 0.

Примечания

1. Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона оба равны параметру m.

2. Распределение Пуассона можно использовать для аппроксимации биномиального распределения, когда n - велико, p - мало, а произведение пр = m.

en Poission distribution

fr loi de Poisson

1.52. гипергеометрическое распределение

Дискретное распределение вероятностей с функцией распределения:

где х = max (0, М - N + n), ..., max (0, М - N + n) + 1, ..., min (М, n); параметры N = 1, 2,...;

М = 0, 1, 2, ..., N;

n = 1, 2,..., N

и

 и т.п.

Примечание - Это распределение возникает как распределение вероятностей числа успехов в выборке объема n, взятой без возвращения из генеральной совокупности объема N, содержащий М успехов.

en hypergeometric distribution

fr loi hypergeometrique

1.53. двумерное нормальное распределение; двумерное распределение Лапласа - Гаусса

Распределение вероятностей двух непрерывных случайных величин Х и Y такое, что плотность распределения вероятностей

при - ¥ < x < + ¥ и - ¥ < у < + ¥,

где m_x и m_y - математические ожидания;

s_x и s_y - стандартные отклонения маргинальных распределений Х и Y, которые нормальны;

r - коэффициент корреляции Х и Y.

Примечание - Это понятие можно распространить на многомерное распределение более двух случайных величин таких, что маргинальное распределение любой их пары может быть представлено в той форме, что приведена выше.

en bivariate normal distribution; bivariate Laplace - Gauss distribution

fr loi normale a deux variables; loi de Laplace - Gauss a deux variables

1.54 стандартизованное двумерное нормальное распределение; нормированное двумерное распределение Лапласа- Гаусса

Распределение вероятностей пары стандартизованных нормальных случайных величин

с плотностью распределения

где - ¥ < u < + ¥ и - ¥ < v < + ¥,

(X, Y) - пара нормальных случайных величин с параметрами (m_x, m_y) и (s_x, s_y) и r;

r - коэффициент корреляции Х и Y, а также U и V.

Примечание - Это понятие можно распространить на многомерное распределение более двух случайных величин, таких что маргинальное распределение любой их пары может быть представлено в той же форме, что приведена выше.

en standardized bivariate normal distribution; standardized bivariate Laplace - Gauss distribution

fr loi normale reduite a deux variables; loi de Laplace - Gauss reduite a deux variables

1.55. распределение многомерной случайной величины; мультиномиальное распределение

Распределение вероятностей k дискретных случайных величин Х₁, Х₂, ..., Х_k такое, что

где x₁, x₂, ..., x_k - целые числа, такие что x₁ + x₂ + ... + x_k = n,

с параметрами p_i ³ 0 (i = 1, 2,..., k) и ,

где k = 2, 3, ...

Примечание - Распределение многомерной случайной величины - обобщение биномиального распределения (п. 1.49) на распределение k > 2 случайных величин.

en multinomial distribution

fr loi multinomiale

2. ОБЩИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТЕРМИНЫ

2.1. единица [объект]

То, что можно рассмотреть и описать индивидуально.

Примечание - Единицей может, например, быть:

- изделие;

- определенное количество материала;

- услуга, действие или процесс;

- организация или человек;

- некоторая их комбинация.

en item; entity

fr individu; entite

2.2. признак

Свойство, которое помогает идентифицировать или различать единицы данной генеральной совокупности.

Примечание - Признак может быть количественным или качественным (альтернативным).

en characteristic

fr caractere

2.3. (генеральная) совокупность

Множество всех рассматриваемых единиц.

Примечание - Для случайной величины распределение вероятностей рассматривают как определение совокупности этой случайной величины.

en population

fr population

2.4. рамки отбора

Список, заполняемый для выборочных целей, в котором отмечают те единицы, которые надо отобрать и исследовать.

en sampling frame

fr base d’echantillonnage

2.5. подсовокупность

Определенная часть генеральной совокупности.

en subpopulation

fr sous-population

2.6. наблюдаемое значение

Значение данного признака, полученного в результате единичного наблюдения (см. п. 3.6).

en observed value

fr valeur observee

2.7. класс

а) Для качественного признака - Определенные группы объектов, каждые из которых имеют отдельные общие признаки, взаимно исключают друг друга, исчерпывая все объекты.

b) Для количественного признака - Каждый из последовательных взаимоисключающих интервалов, на которые разделен весь интервал варьирования.

en class

fr classe

2.8. границы класса; пределы класса

Значения, определяющие верхнюю и нижнюю границы класса.

Примечания

1. Следует уточнить, какую из двух границ считают принадлежащей классу.

2. Если возможно, надо чтобы граница класса не совпадала с возможным значением.

en class limits; class boundaries

fr limites de classe; frontieres de classe

2.9. середина класса

Среднее арифметическое верхней и нижней границ класса для количественного признака.

en mid-point of class

fr centre de classe

2.10. интервал класса

Разница между верхней и нижней границами класса для количественного признака.

en class width

fr largeur de classe

2.11. частота

Число наступлений события данного типа или число наблюдений, попавших в данный класс.

en frequency

fr effectif

2.12. накопленная кумулятивная частота

Число наблюдений из множества, имеющих значения, которые меньше заданного значения или равны ему.

Примечание - Для данных, объединенных в классы, кумулятивную частоту можно указать только в границах класса.

en cumulative frequency

fr effectif cumule

2.13. относительная частота

Частота, деленная на общее число событий или наблюдений.

en relative frequency

fr frequence

2.14. кумулятивная относительная частота

Кумулятивная частота, деленная на общее число наблюдений.

en cumulative relative frequency

fr frequence cumule

2.15. распределение частот

Эмпирическое отношение между значениями признака и его частотами или его относительными частотами.

Примечание - Это распределение можно представить графически в виде гистограммы, столбиковой диаграммы, полигона кумулятивных частот или как таблицу сопряженности двух признаков.

en frequency distribution

fr distribution d’effectif

2.16. одномерное распределение частот

Распределение частот для единственного признака.

en univariate frequency distribution

fr distribution d’effectif a une variable

2.17. гистограмма

Графическое представление распределения частот для количественного признака, образуемое соприкасающимися прямоугольниками, основаниями которых служат интервалы классов, а площади пропорциональны частотам этих классов.

en histogram

fr histogramme

2.18. столбиковая диаграмма

Графическое представление распределения частот для дискретной случайной величины, образуемое набором столбцов равной ширины, высоты которых пропорциональны частотам.

en bar chart; bar diagram

fr diagramme en batons

2.19. полигон кумулятивных частот

Ломаная линия, получаемая при соединении точек, абсциссы которых равны верхним границам классов, а ординаты - либо кумулятивным абсолютным частотам, либо кумулятивным относительным частотам.

en cumulative frequency polygon

fr polygone d’effectif cumule

2.20. двумерное распределение частот

Эмпирическое отношение между парами значений или классами признаков с одной стороны, и их частотами с другой - для двух признаков, рассматриваемых одновременно.

en bivariate frequency distribution

fr distribution d’effectif a deux variables

2.21. диаграмма разброса [рассеяния]

Графическое представление множества точек, координаты которых х и у в обычной прямоугольной системе координат - это значения признаков Х и Y.

Примечания

1. Множество из n элементов таким образом дает n точек, которые наглядно показывают зависимость между Х и Y.

2. Концепцию диаграммы разброса можно распространить на более чем два признака.

en scatter diagram

fr nuage de points

2.22. таблица сопряженности двух признаков

Таблица, используемая для представления распределения двух признаков, в строках и столбцах которой указывают, соответственно, значения или классы первого и второго признаков, при этом на пересечении строки и столбца появляется частота, соответствующая данной комбинации значений или классов.

Примечание - Это понятие можно распространить на число признаков более двух.

en two-way table of frequencies; contingency table

fr table d’effectifs a double entree, tableau de contingence

2.23. многомерное распределение частот

Эмпирическое отношение между совместными наборами значений или классов признаков с одной стороны и их частотами с другой - для нескольких признаков, рассматриваемых одновременно.

en multivariate frequency distribution

fr distribution d’effectif a plusieurs variables

2.24. маргинальное распределение частот

Распределение частот подмножества k₁ < k признаков из многомерного распределения частот k признаков, когда остальные (k - k₁) переменных принимают любые значения из своих областей значений.

Примечания

1. Для k = 2 признаков маргинальное распределение частот можно получить, добавляя к каждому значению или классу значений рассматриваемого признака соответствующие частоты или относительные частоты остальных признаков.

2. В распределении частот трех признаков X, Y и Z существуют:

- три двумерных маргинальных распределения частот, то есть распределения пар (X, Y), (X, Z), (Y, Z);

- три одномерных маргинальных распределения частот, то есть распределения X, Y и Z.

en marginal frequency distribution

fr distribution d’effectif marginale

2.25. условное распределение частот

Распределение частот k₁ < 1 признаков из многомерного распределения частот, когда остальные (k - k₁) признаков фиксированы.

Примечания

1. Для k = 2 признаков условные распределения частот считывают непосредственно из строк и столбцов таблицы сопряженности двух признаков. Условное распределение относительных частот получают делением чисел в каждой строке (столбце) на общее число в соответствующей строке (столбце).

2. В распределении частот двух признаков Х и Y:

- условное распределение частот X; конкретные распределения выражают как распределение X при Y = у;

- условное распределение частот Y; конкретные распределения выражают как распределение Y при Х = х.

en conditional frequency distribution

fr distribution d’effectif conditionnelle

2.26. среднее арифметическое

Сумма значений, деленная на их число.

Примечания

1. Термин «среднее» обычно используют, когда имеют в виду параметр совокупности, а термин «среднее арифметическое» - когда имеют в виду результат вычислений по данным, полученным из выборок.

2. Среднее арифметическое простой случайной выборки, взятой из совокупности, - это несмещенная оценка арифметического среднего генеральной совокупности. Однако другие формулы для оценки, такие как геометрическое или гармоническое среднее, медиана или мода, иногда тоже используют.

en arithmetic mean

fr moyenne arithmetique; moyenne

2.27. взвешенное среднее арифметическое

Сумма произведений каждого значения на его вес, деленная на сумму весов, где веса - неотрицательные коэффициенты, связанные с каждым значением.

en arithmetic weighted mean

fr moyenne arithmetique ponderee; moyenne ponderee

2.28. выборочная медиана

Если n случайных значений упорядочены по возрастанию и пронумерованы от 1 до n, то, если n нечетно, выборочная медиана принимает значение с номером ; если n четно, медиана лежит между -м и -м значениями и не может быть однозначно определена.

Примечание - При отсутствии других указаний и четном n за выборочную медиану можно принять среднее арифметическое этих двух значений.

en sample median

fr mediane

2.29. середина размаха (выборки)

Среднее арифметическое между наибольшим и наименьшим наблюденными значениями количественного признака.

en mid-range

fr milieu de l’etendue

2.30. размах (выборки)

Разность между наибольшим и наименьшим наблюденными значениями количественного признака в выборке.

en range

fr etendue

2.31. средний размах (выборок)

Среднее арифметическое размахов множества выборок одинакового объема.

en average range; mean range

fr etendue moyenne

2.32. среднее отклонение (выборки)

Среднее арифметическое отклонение от начала координат, когда все отклонения имеют положительный знак.

Примечание - Обычно выбранное начало отсчета представляет собой среднее арифметическое, хотя среднее отклонение минимизируется, когда за начало отсчета принимают медиану.

en mean deviation

fr ecart moyen

2.33. выборочная дисперсия

Одна из мер рассеяния, представляющая собой сумму квадратов отклонений наблюдений от их среднего арифметического, деленная на число наблюдений минус единица.

Примечания

1. Для серии из n наблюдений х₁, x₂, ..., х_n со средним арифметическим

выборочная дисперсия

2. Выборочная дисперсия - это несмещенная оценка дисперсии совокупности.

3. Выборочная дисперсия - это центральный момент второго порядка, кратный n/(n - 1) (п. 2.39, примечание).

en sampling variance

fr variance

2.34. выборочное стандартное отклонение

Положительный квадратный корень из выборочной дисперсии.

Примечание - Выборочное стандартное отклонение - это смещенная оценка стандартного отклонения совокупности.

en sampling standard deviation

fr ecart-type

2.35. выборочный коэффициент вариации (Ндп. относительное стандартное отклонение)

Отношение выборочного стандартного отклонения к среднему арифметическому для неотрицательных признаков.

Примечание - Это отношение можно выразить в процентах.

en sample coefficient of variation

fr coefficient de variation

2.36. выборочный момент порядка q относительно начала отсчета

Среднее арифметическое наблюдаемых значений в степени q в распределении единственного признака:

где n - общее число наблюдений.

Примечание - Момент первого порядка - это среднее арифметическое наблюдаемых значений.

en sample moment of order q about the origin

fr moment d’ordre q par rapport a l’origine

2.37. выборочный центральный момент порядка q

Среднее арифметическое разностей между наблюдаемыми значениями х_i и их средним арифметическим  в степени q в распределении единственного признака:

где n - число наблюдений.

Примечание - Выборочный центральный момент первого порядка равен нулю.

en sample central moment of order q

fr moment centre d’ordre q

2.38. выборочный совместный момент порядков q и s относительно начала отсчета

В совместном распределении двух показателей - среднее арифметическое произведений x_i в степени q и y_i в степени s для всех наблюдаемых пар значений (x_i, у_i)

где n - число наблюдаемых пар.

Примечания

1. Выборочный совместный момент порядков q и s - это один из моментов порядка (q + s).

2. Выборочный момент порядков 1 и 0 - это среднее арифметическое маргинального распределения частот X, а момент порядков 0 и 1 - среднее арифметическое маргинального распределения частот Y.

en sample joint moment of orders q and s about the origin

fr moment d’ordres q et s par rapport a l’origine

2.39. выборочный совместный центральный момент порядков q и s

В совместном распределении двух признаков - среднее арифметическое произведений разности между x_i и его средним арифметическим значением  в степени q и разности между у_i и его средним арифметическим значением  в степени s для всех наблюдаемых пар (x_i, у_i):

где n - число наблюдаемых пар.

Примечание - Выборочный центральный момент порядков 2 и 0 - это выборочная дисперсия маргинального распределения частот X, умноженная на (n - 1)/n, а выборочный центральный момент порядков 0 и 2 - выборочная дисперсия маргинального распределения частот Y, умноженная на (n - 1)/n.

en sample joint central moment of orders q and s

fr moment centre d’ordres q et s

2.40. выборочная ковариация

Сумма произведений отклонений х и у от их соответствующих средних арифметических, деленная на число наблюдаемых пар без единицы:

где n - число наблюдаемых пар.

Примечание - Выборочная ковариация - это несмещенная оценка ковариации совокупности.

en sample covariance

fr covariance

2.41. выборочный коэффициент корреляции

Частное от деления выборочной ковариации двух показателей на произведение их выборочных стандартных отклонений:

где S_xy - выборочная ковариация Х и Y;

S_x и S_y - выборочные стандартные отклонения Х и Y соответственно.

Примечания

1. Этот коэффициент часто используют как цифровое выражение взаимной зависимости между Х и Y в серии парных наблюдений. Для проверки линейности можно строить диаграмму разброса.

2. Его значения всегда лежат между минус 1 и плюс 1. Когда выборочный коэффициент корреляции равен одному из указанных пределов, это означает, что существует точная линейная зависимость в серии парных наблюдений.

3. Этот выборочный коэффициент корреляции применяют для измеряемых признаков; для ранговых данных используют другие коэффициенты корреляции, такие как коэффициенты Спирмена и Кендалла.

en sample correlation coefficient

fr coefficient de correlation

2.42. кривая регрессии (Y по Х для выборки)

Для выборки n пар наблюдений двух показателей Х и Y - кривая регрессии Y от X отображает зависимость функции Y от X.

en regression curve

fr courbe de regression

2.43. поверхность регрессии (Z по Х и Y для выборки)

Для выборки п наблюдений каждого из трех показателей X, Y и Z - поверхность регрессии Z от Х и Y отображает зависимость функции Z от X и Y.

Примечание - Вышеуказанные определения можно распространить также на случай более трех показателей.

en regression surface

fr surface de regression

2.44. выборочный коэффициент регрессии

Коэффициент при переменной в уравнении кривой или поверхности регрессии.

en sample regression coefficient

fr coefficient de regression

2.45. статистика

Функция от выборочных значений.

Примечание - Статистика как функция от выборочных значений - случайная величина, которая может принимать различные значения от выборки к выборке. Значение статистики, получаемое при использовании наблюдаемых значений, как их функция может быть использовано при проверке статистических гипотез или как оценка параметра совокупности, например среднего арифметического или стандартного отклонения.

en statistics

fr statistique

2.46. порядковая статистика

Каждое из упорядоченных выборочных значений, расположенных в неубывающем порядке.

Примечания

1. В более общем выражении всякую статистику, основанную на порядковых статистиках в этом узком смысле, также называют порядковой статистикой.

2. k-e значение в неубывающей последовательности наблюдений x_|k| - это значение случайной величины X_|k|, называемое k-й порядковой статистикой. В выборке объема n наименьшее наблюдаемое значение x_|1| и наибольшее значение x_|n| - это значения случайных величин X_|1| и X_|n| - первая и n-я порядковые статистики соответственно. Размах x_|n| - x_|1| - это значение порядковой статистики X_|n| - X_|1|.

en order statistics

fr statistique d’ordre

2.47. тренд

Тенденция к возрастанию или убыванию наблюдаемых значений, нанесенных на график в порядке их получения после исключения случайных ошибок и циклических эффектов.

en trend

fr tendance

2.48. серия

а) Появление в рядах наблюдений по качественному признаку непрерывающихся рядов одного и того же значения признака.

b) Последовательный набор монотонно возрастающих или монотонно убывающих значений в рядах наблюдений по количественному признаку.

Примечание - Последовательный набор монотонно возрастающих значений называют возрастающей серией, а монотонно убывающих значений - убывающей серией.

en run

fr suite

2.49. оценивание (параметра)

Операция определения на основе выборочных данных числовых значений параметров распределения, принятого в качестве статистической модели генеральной совокупности, из которой извлечена выборка.

Примечание - Результат этой операции может быть выражен как одним числовым значением, так и доверительным интервалом.

en estimation

fr estimation

2.50. оценка

Статистика, используемая для оценивания параметра совокупности.

en estimator

fr estimateur

2.51. значение оценки

Значение параметра, полученное в результате оценивания.

en estimate

fr estimation (resultat)

2.52. погрешность оценки

Разность (Т - q) при оценивании параметра, где T обозначает результат оценки, а q - оцениваемый параметр.

Примечание - Погрешность при оценивании может включать в себя один или несколько из следующих компонентов:

- погрешность выборочного метода;

- погрешность измерения;

- округление значений или разделение на классы;

- другие погрешности.

en estimator error

fr erreur d’estimation

2.53. погрешность выборочного метода

Часть погрешности при оценивании, обусловленная только тем, что объем выборки меньше, чем объем генеральной совокупности.

en sampling error

fr erreur d’echantillonnage

2.54. смещение оценки

Разность между математическим ожиданием оценки и значением оцениваемого параметра.

en bias of estimator

fr biais d’un estimateur

2.55. несмещенная оценка

Оценка со смещением, равным нулю.

en unbiased estimator

fr estimateur sans biais

2.56. стандартная ошибка; среднеквадратичная ошибка

Стандартное отклонение оценки.

en standard error

fr erreur-type

2.57. двусторонний доверительный интервал

Если T₁ и T₂ - две функции от наблюдаемых значений таких, что для оценки параметра распределения совокупности q вероятность  равна (1 - a), где (1 - a) - константа, положительная и меньше 1, то интервал между T₁ и T₂ - это двусторонний доверительный интервал для q при доверительной вероятности (1 - a).

Примечания

1. Границы T₁ и T₂ доверительного интервала - это статистики (2.45), которые в общих предположениях принимают различные значения от выборки к выборке.

2. В длинном ряду выборок относительная частота случаев, когда доверительный интервал накрывает истинное значение параметра совокупности q, больше или равна (1 - a).

en two-sided confidence interval

fr intervalle de confiance bilateral

2.58. односторонний доверительный интервал

Если Т - функция от наблюдаемых значений такая, что для оценки параметра распределения совокупности q вероятность  или вероятность  равна (1 - a), где (1 - a) - константа, положительная и меньше 1, то интервал от наименьшего возможного значения q до Т или интервал от T до наибольшего возможного значения q - это односторонний доверительный интервал для q при доверительной вероятности (1 - a).

Примечания

1. Граница T доверительного интервала - это статистика, которая в общих предположениях принимает различные значения от выборки к выборке.

2. См. п. 2.57, примечание 2.

en one-sided confidence interval

fr intervalle de confiance unilateral

2.59. доверительная вероятность; уровень доверия

Величина (1 - a) - вероятность, связанная с доверительным интервалом или со статистически накрывающим интервалом.

Примечание - Величину (1 - a) часто выражают в процентах.

en confidence coefficient; confidence level

fr niveau de confiance

2.60. доверительная граница

Каждая из границ, нижняя T₁, верхняя T₂ для двустороннего доверительного интервала или граница Т для одностороннего интервала.

en confidence limit

fr limite de confiance

2.61. толерантный интервал

Интервал, для которого можно утверждать с данным уровнем доверия, что он содержит, по крайней мере, заданную долю определенной совокупности.

Примечание - Если определены обе границы по статистическим данным, то интервал двусторонний. Если одна из двух границ представляет собой бесконечность или ограничение области определения случайной величины, то интервал односторонний.

en statistical coverage interval

fr intervalle statistique de dispersion

2.62. толерантные границы

Для двустороннего статистически накрывающего интервала - нижняя и верхняя границы этого интервала; для одностороннего статистически накрывающего интервала - значение статистики, ограничивающей этот интервал.

en statistical coverage limits

fr limites statistiques de dispersion

2.63. критерий согласия распределения

Мера соответствия между наблюдаемым распределением и теоретическим распределением, выбранным априори либо подобранным по результатам наблюдений.

en goodness of fit of a distribution

fr adequation d’une distribution; validite de l’ajustement

2.64. выбросы

Наблюдения в выборке, отличающиеся от остальных по величине настолько, что возникает предположение, что они принадлежат другой совокупности или получены в результате ошибки измерения.

en outliers

fr valeurs aberrantes

2.65. статистический критерий

Статистический метод принятия решений о том, стоит ли отвергнуть нулевую гипотезу в пользу альтернативной или нет.

Примечания

1. Решение о нулевой гипотезе принимают исходя из значений соответствующих статистик, лежащих в основе статистических критериев или рассчитанных по результатам наблюдений. Так как статистики - случайные величины, существует некоторый риск принятия ошибочного решения (п. 2.75 и п. 2.77).

2. Критерий априори предполагает, что проверяют некоторые предположения, например предположение о независимости наблюдений, предположение о нормальности и т.д.

en statistical test

fr test statistique

2.66. нулевая гипотеза и альтернативная гипотеза

Утверждения относительно одного или нескольких параметров или о распределении, которые проверяют с помощью статистического критерия.

Примечания

1. Нулевая гипотеза (Н₀) - предположение, обычно сложное, относят к утверждению, подвергаемому проверке, в то время как альтернативную гипотезу (Н₁) относят к утверждению, которое будет принято, если нулевую гипотезу отвергают.

2. Проверка гипотезы о том, что математическое ожидание m случайной величины Х в совокупности не меньше, чем заданное значение m₀:

3. Проверка гипотезы о том, что доли несоответствующих деталей в двух партиях р₁ и p₂ одинаковы (неодинаковы):

4. Проверка гипотезы о том, что случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестными параметрами. Альтернативная гипотеза - распределение не нормально.

en null hypothesis and alternative hypothesis

fr hypothese nulle et hypothese alternative

2.67. простая гипотеза

Гипотеза, которая полностью задает распределение совокупности.

en simple hypothesis

fr hypothese simple

2.68. сложная гипотеза

Гипотеза, которая не полностью задает распределение совокупности.

Примечания

1. Это обычно гипотеза, которая включает в себя бесконечную систему простых гипотез.

2. В предположении нормального распределения гипотеза m = m₀ будет простой, если стандартное отклонение совокупности известно, но она будет сложной, если оно неизвестно.

3. Все гипотезы из примечаний, приведенных в п. 2.66, сложные.

en composite hypothesis

fr hypothese composite

2.69. свободный от распределения критерий

Критерий, в котором функция распределения статистики, лежащей в основе критерия, не зависит от функции распределения наблюдений

en distribution-free test

fr test non parametrique

2.70. уровень значимости (критерия)

Заданное значение верхнего предела вероятности ошибки первого рода. Примечание- Уровень значимости обычно обозначают а.

en significance level

fr niveau de signification

2.71. критическая область

Множество возможных значений статистики, лежащей в основе критерия, для которого отвергают нулевую гипотезу.

Примечания

1. Критические области определяют таким образом, что если нулевая гипотеза верна, вероятность ее отбрасывания равна заданному значению a, обычно малому, например 5 % или 1 %.

2. Классический способ проверки нулевой гипотезы, относящийся к математическому ожиданию нормального распределения с известным стандартным отклонением s, H₀ (m ³ m₀) против альтернативы H₁ (m < m₀), - использование статистики  выборочного среднего арифметического.

Критическая область - это множество значений статистики, меньших чем

где n - объем выборки;

m_1-a - это квантиль уровня (1 - a) стандартизованной нормальной случайной величины.

Если рассчитанное значение  меньше А, гипотезу Н₀ отвергают. В противном случае - Н₀ не отвергают (принимают).

en critical region

fr region critique

2.72. критическое значение

Значение, ограничивающее критическую область.

en critical value

fr valeur critique

2.73. односторонний критерий

Критерий, в котором используемая статистика одномерна, а критическая область включает в себя множество значений, меньших критического значения, или множество значений, больших критического значения.

en one-sided test

fr test unilateral

2.74. двусторонний критерий

Критерий, в котором используемая статистика одномерна, а критическая область состоит из множества значений, меньших первого критического значения, и множества значений, больших второго критического значения.

Примечание - Выбор между односторонним и двусторонним критериями определяется альтернативной гипотезой. В примечании, приведенном в п. 2.71, критерий односторонний, а критическое значение равно А.

en two-sided test

fr test bilateral

2.75. ошибка первого рода

Ошибка, состоящая в отбрасывании нулевой гипотезы, поскольку статистика принимает значение, принадлежащее критической области, в то время как эта нулевая гипотеза верна.

en error of the first kind

fr erreur de premiere espece

2.76. вероятность ошибки первого рода

Вероятность допустить ошибку первого рода.

Примечания

1. Она всегда меньше уровня значимости критерия или равна ему.

2. В примечании 2 к п. 2.71 ошибка первого рода состоит в отбрасывании H₀ (m < m₀), потому что  меньше А, в то время как на самом деле m равно или превышает m₀. Вероятность такой ошибки равна a при m = m₀ и уменьшается с увеличением m.

en type I error probability

fr probabilite d’erreur de premiere espece

2.77. ошибка второго рода

Ошибка принять нулевую гипотезу, поскольку статистика принимает значение, не принадлежащее критической области, в то время как нулевая гипотеза не верна.

en error of the second kind

fr erreur de seconde espece

2.78. вероятность ошибки второго рода

Вероятность допустить ошибку второго рода.

Примечание - Вероятность ошибки второго рода, обычно обозначаемая b, зависит от реальной ситуации и может быть вычислена лишь в том случае, если альтернативная гипотеза задана адекватно.

en type II error probability

fr probabilite d’erreur de seconde espece

2.79. мощность критерия

Вероятность недопущения ошибки второго рода.

Примечания

1. Это вероятность отбрасывания нулевой гипотезы, когда она не верна. Ее обычно обозначают (1 - b).

2. В примечании 2 к п. 2.71 ошибка второго рода состоит в принятии гипотезы H₀ (m ³ m₀), поскольку  превышает А, в то время как на самом деле m меньше m₀. Вероятность b такой ошибки зависит от фактического значения m: чем ближе m к m₀, тем ближе мощность к 1.

3. В примечании 4 к п. 2.66 проверка нулевой гипотезы H₀ (нормально распределенная совокупность) против альтернативы H₁ (совокупность с ненормальным распределением) невозможно выразить b как функцию от альтернативной гипотезы, поскольку она не определена.

en power of a test

fr puissance d’un test

2.80. функция мощности критерия

Функция, которая определяет мощность критерия, обычно обозначаемую (1 - b) или (1 - Pa), при проверке гипотезы относительно значений скалярного параметра.

Примечание - Эта функция, определяемая для значений тех параметров, которые относятся к соответствующим альтернативным гипотезам, представляет собой вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она не верна.

en power function of a test

fr fonction de puissance d’un test

2.81. кривая мощности (критерия)

Графическое представление функции мощности критерия.

Примечания

1. На рисунке 1 представлена кривая мощности для проверки гипотезы H₀ (m ³ m₀) против альтернативной гипотезы H₁ (m < m₀) в зависимости от математического ожидания совокупности m и уровня значимости критерия a.

Рисунок 1 - Кривая мощности

1 - Pa - вероятность отклонения гипотезы H₀; m - математическое ожидание совокупности

2. На рисунке 2 представлена кривая мощности критерия для гипотезы H₀ (p £ p₀) против H₁ (p > p₀) в зависимости от р₀ - доли несоответствующих единиц в партии, проходящей контроль.

Рисунок 2 - Кривая мощности

1 - Pa - вероятность отклонения гипотезы H₀; p - доля несоответствующих единиц в партии.

en power curve

fr courbe de puissance

2.82. оперативная характеристика

Функция, которая определяет вероятность принятия нулевой гипотезы относительно значений скалярного параметра, обычно обозначаемая Ра.

Примечание - Оперативная характеристика всегда равна единице минус значение критерия мощности.

en operating characteristic

fr efflcacite

2.83. кривая оперативной характеристики; кривая ОХ

Графическое представление оперативной характеристики.

Примечания

1. На рисунке 3 представлена кривая оперативной характеристики для проверки гипотезы H₀ (m ³ m₀) против H₁ (m < m₀) в зависимости от математического ожидания генеральной совокупности m и уровня значимости критерия a.

Рисунок 3 - Кривая оперативной характеристики

Pa - вероятность принятия гипотезы H₀; m - математическое ожидание совокупности

2. На рисунке 4 представлена кривая оперативной характеристики для проверки гипотезы H₀ (p < p₀) против H₁ (p ³ p₀) в зависимости от р - доли несоответствующих единиц в партии, проходящей контроль.

Рисунок 4 - Кривая оперативной характеристики

Pa - вероятность принятия гипотезы H₀; p - доля несоответствующих единиц в партии.

en operating characteristic curve

fr courbe d’efficacite

2.84. значимый результат (на выбранном уровне значимости a)

Результат статистической проверки, который приводит к отбрасыванию нулевой гипотезы, в противном случае - результат незначим.

Примечания

1. Когда результат проверки называют статистически значимым, это показывает, что результат выходит за тот диапазон значений, в который укладываются случайные воздействия, когда нулевая гипотеза верна.

2. Для примера, приведенного в п. 2.71, при , меньшем А, где  считают, что  значимо меньше m₀ на уровне значимости 1 - a.