РЕКОМЕНДАЦИИ

РАСЧЕТЫ И ИСПЫТАНИЯ НА ПРОЧНОСТЬ.

РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ВАЛОВ И ОСЕЙ

 

Р 50-83-88

 

 

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО СТАНДАРТАМ

МОСКВА

1989

 

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ

Дата введения 01.07.89

В настоящих рекомендациях стандартизованы общие положения расчета на прочность валов и осей при статических и циклических нагрузках, наличии или отсутствии концентрации напряжений с учетом заданной вероятности разрушения и масштабного фактора.

Рекомендации распространяются на стальные валы и оси, подвергаемые термической, термохимической обработкам и (или) поверхностному упрочнению и предназначены для работников научно-исследовательских институтов, конструкторских бюро и заводских лабораторий, занимающихся их проектированием и расчетами на прочность.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1. В ряде справочников, учебников и учебных пособий расчет на сопротивление усталости валов и осей рекомендуется производить в предположении регулярности режима нагружения по формулам Серенсена - Кинасошвили.

В валах и осях регулярные напряжения, как правило, не встречаются.

В связи с этим основное внимание уделено методам расчета валов и осей на сопротивление усталости при нерегулярном нагружении, в частности при случайном и блочном.

Методы основаны на сведении случайного нагружения к блочному путем схематизации случайных процессов по методам полных циклов или дождя и приведении амплитуд асимметричных циклов к эквивалентным амплитудам симметричного цикла по ГОСТ 25.101.

Накопление усталостных повреждений при блочном нагружении учитывается путем применения корректированной линейной гипотезы суммирования (2). Как показано в ряде работ путем обобщения многочисленных экспериментальных данных, опубликованных в мировой литературе, корректированная гипотеза дает в статистическом смысле существенно более точные результаты в оценке долговечности, чем линейная гипотеза без корректировки (1, 2, 5).

Расчетная оценка медианных значений и коэффициентов вариации пределов выносливости валов и осей осуществляется по ГОСТ 25.504.

Основное внимание в настоящих рекомендациях уделено методам расчета функций распределения долговечности (ФРД) валов и осей, представляющих собой зависимость вероятности разрушения от наработки (долговечности) в условиях эксплуатации. Эти функции являются основной характеристикой надежности и долговечности деталей, определяют медианные и гамма-процентные ресурсы, задаваемые в технических условиях на проектируемую машину. Расчёт ФРД на стадии проектирования и доводки опытного экземпляра машины позволяет оценить удовлетворение требований по надежности, найти оптимальные конструктивно-технологические решения, получить исходные данные для расчета объема выпуска запасных частей и решать другие практические задачи. Расчет ФРД осуществляется вероятностными методами, разработанными в ИМАШ АН СССР (2), изложенными в методических указаниях РД 50-607 Госстандарта СССР.

Изложенные вероятностные методы расчета усталостной долговечности используются в ряде отраслей машиностроения, а также получили отражение в многочисленной справочной, монографической и учебной литературе. Опыт промышленного применения этих методов показал их эффективность и прогрессивность.

Пример 1 (приложение 9) показывает, как с помощью этих методов может быть оценен эффект от применения тех или иных конструктивно-технологических мероприятий в смысле повышения надежности и долговечности деталей. Так, медианная долговечность вала с прямобочными шлицами составляет ≈ 2,5 года, а долговечность, соответствующая вероятности разрушения 10 % (гамма-процентная долговечность L_γ при γ = 90 %) L_v ≈ 1 год, (кривая 1, черт. 10), что явно недостаточно. Введение эвольвентных шлиц (кривая 2) повышает  до 10 лет (т.е. в 4 раза), a L_γ до 3,5 лет (т.е. в 3,5 раза). Введение дополнительной обкатки шлиц повышает медианный ресурс неограниченно, а гамма-процентный ресурс L_γ до 15 лет, то есть в 15 раз по сравнению с исходным вариантом.

Таким образом расчеты показали, что введение 2 недорогостоящих мероприятий: замена прямобочных шлиц эвольвентными и наклеп поверхности накаткой приводит к резкому повышению надежности и долговечности. Так как при этом получаются количественные оценки долговечности по параметру вероятности разрушения, то это позволит дать технико-экономические оценки целесообразности применения различных конструктивно-технологических мероприятий. Точность расчета ФРД зависит от объема исходной экспериментальной информации. Опыт применения этих методов в промышленности показывает, что при используемых в настоящее время объемах экспериментальной информации по нагруженности и прочности расчетные ФРД находятся в удовлетворительном соответствии с эмпирическими ФРД, найденными по статистическим данным об отказах в эксплуатации.

В случае ограниченного количества экспериментальной информации расчет валов и осей на сопротивление усталости может быть выполнен по коэффициентам запаса прочности с использованием понятий эквивалентных напряжений (разд. 3).

1.2. Термины и обозначения, применяемые в методических указаниях:

относящиеся к геометрии и кинематике зубчатых передач - по ГОСТ 16530, ГОСТ 16531, ГОСТ 19325, ГОСТ 18498;

относящиеся к прочностным расчетам - по ГОСТ 21354, ГОСТ 23207, ГОСТ 25.502, ГОСТ 25.504, ГОСТ 25.101, ГОСТ 25.507, РД 50-607, MP 206.

Перечень основных обозначений, применяемых в методических указаниях, приведен в приложении 1.

1.3. Силы, действующие на валы и оси, при составлении расчетных схем подразделяют на:

силы, меняющие положение относительно вала или оси и вызывающие в волокнах знакопеременные напряжения;

силы, не меняющие положение относительно вала или оси, т.е. вращающиеся вместе с валом или осью и вызывающие в волокнах постоянные по знаку напряжения.

Формулы для определения усилий, действующих на валы и оси со стороны зубчатых колес, приведены в табл. 2.

1.4. Характеристики сопротивления усталости валов и осей определяются по ГОСТ 25.504 и методическим рекомендациям MP 206.

1.5. Экспериментальное определение характеристик сопротивления усталости лабораторных образцов, моделей и натурных валов и осей - по ГОСТ 25.502 и ГОСТ 25.507.

1.6. Статистическая обработка данных измерений эксплуатационной нагруженности валов и осей и представления результатов - по ГОСТ 25.101, MP 75, MP 55.

1.7. Расчет усталостной долговечности валов и осей по параметру вероятности разрушения - по методическим указаниям РД 50-607.

1.8. Перед проведением расчета прочности валов и осей необходимо:

выполнить чертеж вала или оси с сопрягаемыми деталями;

разбить вал или ось на ступени с различной геометрической характеристикой поперечных сечений, границы ступеней обозначить арабскими цифрами по возрастанию слева направо;

проставить линейные размеры длин ступеней вала или оси, их диаметров, а также расстояний между силами, действующими на вал или ось с учетом установочных баз подшипников, определяемых по приложению 3;

проставить поля допусков вала или оси, переходные радиусы и их допуски между ступенями вала или оси, а также другие геометрические параметры источников концентрации напряжений.

1.9. Геометрические характеристики поперечных сечений определяются по формулам п. 2.6 и табл. 5, 6 приложения 4.

1.10. Методы конструктивного упрочнения вала или оси в местах посадки подшипников приведены в приложении 5.

1.11. Коэффициенты К_υ влияния технологических методов поверхностного упрочнения на пределы выносливости приведены в приложении 6.

1.12. Эффективные коэффициенты концентрации напряжений К_σ, К_τ для валов и осей приведены в приложении 7.

1.13. Таблица функции нормального распределения приведена в приложении 8.

1.14. Примеры расчета приведены в приложении 9.

2. РАСЧЕТ НА СТАТИЧЕСКУЮ ПРОЧНОСТЬ

2.1. Статическую прочность рассчитывают по максимальным внешним нагрузкам, действующим на вал или ось - крутящему моменту Т_mах (в случае вала), сосредоточенным и распределенным силам, изгибающим моментам (в случае вала и оси).

2.2. Максимальный момент Т_mах за срок службы определяют с учетом специфики машины (по моменту опрокидывания электродвигателя, по предельному моменту при наличии предохранительных элементов, с учетом инерционных моментов при внезапном торможении без предохранительных элементов и т.п.).

Для выявления максимального за срок службы крутящего и изгибающего моментов следует выполнить анализ режимов работы машины, узла или детали, режимов нагружения сечений вала или оси и выбрать расчетные режимы и расчетные сечения.

2.3. Опорные реакции определяют в двух взаимно перпендикулярных плоскостях отдельно от сил, меняющих ,  меняющих , положение относительно вала, с учетом всех сил и моментов, действующих на вал.

2.4. Определяют максимальные осевые силы F_max растяжения (сжатия), действующие в рассматриваемых поперечных сечениях вала, соответствующие Т_max.

2.5. Определение изгибающих и крутящих моментов и построение эпюр

2.5.1. Определяют составляющие изгибающих моментов отдельно от сил, меняющих , и не меняющих положение относительно вала, в плоскостях zox и yох для сечений, в которых приложены сосредоточенные силы (внешние силы и опорные реакции) и в местах изменений сечений вала, а также суммарный момент от сил, не меняющих положение относительно вала (ось х совпадает с осью вала или оси, оси y и z лежат в плоскости, перпендикулярной к оси вала).

2.5.2. Определяются изгибающие моменты М^п и М^л справа и слева от сечения в местах приложения осевых сил, смещенных относительно оси вала.

2.5.3. Суммарные изгибающие моменты от сил, меняющих положение относительно вала, определяют по формуле

где i - индекс сечения.

2.5.4. Максимальные изгибающие моменты M_maxi определяют по формуле

2.5.5. Строятся эпюры изгибающих моментов М^м и М^н раздельно для сил меняющих и не меняющих положение относительно вала.

2.5.6. Строятся эпюры результирующих изгибающих моментов путем арифметического суммирования ординат эпюр для сил, меняющих и не меняющих положение относительно вала.

2.5.7. Строится эпюра крутящего момента Т_max

2.5.7.1. В шпоночном соединении за точку приложения силы, создающей крутящий момент, принимается середина минимальной длины площадки контакта шпонки с сопрягаемыми деталями.

2.5.7.2. В шлицевом соединении за точку приложения крутящего момента принимается середина длины площади контакта сопрягаемых деталей. Если длина контакта больше диаметра впадин шлицев, то эпюра крутящего момента принимается по закону треугольника с вершиной у края шлицев.

2.6. Геометрические характеристики поперечного сечения:

момент сопротивления при изгибе W_и,

момент сопротивления при кручении W_к,

площадь поперечного сечения А - вычисляются по нетто-сечению по формулам:

для валов с одной шпоночной канавкой

(1)

для валов с двумя противоположными шпоночными канавками

  (1')

для валов с прямобочными шлицами

     (2)

Для валов с эвольвентными шлицами и для вала-шестерни в сечении по зубьям геометрические характеристики поперечного сечения даны в табл. 1 и 2 приложения 4.

Для валов с треугольными шлицами

   (3)

Здесь b - ширина шпонки или шлица;

z - число шлиц;

h - высота шпонки;

D, d - наружный и внутренний диаметры шлицевого вала;

d - диаметр вала со шпоночным пазом.

Для валов диаметром d с поперечным отверстием диаметром а

                        (4)

2.7. Нормальное σ_i и касательное τ_i напряжения в рассматриваемом i сечении вала определяют по формулам

                                      (5)

                                                    (6)

2.8. Частные запасы прочности по нормальным  и касательным напряжениям определяют по формулам

                                                             (7)

Пределы текучести материала σ_т и τ_т определяются на стандартных образцах, вырезанных из заготовок такого же диаметра, что и у рассчитываемого вала или оси. Если предел текучести определяется на образцах, вырезанных из прутков диаметром 10 - 20 мм (обозначенный σ'_т), то расчетный предел текучести σ_т для материала вала или оси диаметром d находится по формуле

σ_т = К₁σ'_т,                                                        (8)

где для легированных сталей

 для d ≤ 150 мм;                             (9)

К₁ = 0,74 для d > 150 мм;

К₁ = 1 для углеродистых сталей.

2.9. Общий коэффициент запаса прочности по пределу текучести n_т при совместном действии нормальных и касательных напряжений определяется по формуле

                                                 (10)

Данная формула соответствует расчету по гипотезе прочности максимальных касательных напряжений.

2.10. Статическая прочность считается обеспеченной, если

n_т ≥ [n_т],

где [п_т] - минимально допустимое значение общего коэффициента запаса по пределу текучести.

Значение [п_т] принимается в диапазоне [п_т] = 1,3 - 2,0 в зависимости от ответственности конструкции и последствий разрушения вала, от принятой точности определения нагрузок и напряжений, от уровня технологии изготовления и контроля, от однородности и стабильности свойств материала и от других факторов. Нормативное значение [п_т] устанавливается на основе опыта расчетов и наблюдений за поведением машины в эксплуатации с учетом отмеченных факторов в нормативных документах отрасли или предприятия применительно к определенным типам машин и деталей.

3. РАСЧЕТ НА СОПРОТИВЛЕНИЕ УСТАЛОСТИ

3.1. Определение расчетных характеристик сопротивления усталости валов и осей

Величины пределов выносливости валов и осей в опасных сечениях определяют в соответствии с ГОСТ 25.504 по формулам:

                                                      (11)

где                                              (12)

- медианные значения пределов выносливости материала, определенные на лабораторных образцах, изготовленных из прутков диаметром 10 - 20 мм;

- медианные значения пределов выносливости материала, определенные на лабораторных образцах, изготовленных из заготовок таких же поперечных сечений, что и у рассчитываемой детали;

К₁ - определяется по формуле (9).

При отсутствии экспериментальных данных значения  и  ориентировочно определяют следующими соотношениями:

                                                          (13)

где σ_в в МПа.

    (14)

Значения коэффициентов влияния качества обработки поверхности определяют по формулам:

при изгибе

 при Rz > 1 мкм;    (15)

=1 при Rz ≤ 1 мкм   

при кручении

= 0,575 + 0,425.                                    (16)

Значения коэффициентов влияния поверхностного упрочнения оцениваются по табл. 8 - 10 приложения 6.

Для валов с геометрическими источниками концентрации напряжений (канавки, переход от одного сечения к другому по галтели, отверстия и т.п.) отношения К_σ/, характеризующие влияние концентрации напряжений и масштабного фактора, определяют по ГОСТ 25.504.

Для валов с напрессованной деталью отношение К_σ/ рассчитывается по формуле (для случая, в котором через напрессованную деталь передается изгибающий момент и сила)

                                         (17)

                             при d < 150 мм;  (18)

 при d ≥ 150 мм;

= 0,305 + 0,00139 σ_в;                                           (19)

(σ_в в МПа)

= 0,65 + 0,014р при р ≤ 25 МПа;

 = 1 при р > 25 МПа,                                                     (20)

где р - давление посадки, которое при напрессовке кольца на вал может быть подсчитано по формуле Лямэ.

Аналогичное отношение при кручении определяют по формуле

                                                            (21)

Значения эффективных коэффициентов концентрации напряжений при изгибе и кручении для валов со шпонками, шлицами, резьбой, валов с отверстием приведены на черт. 2 - 7 приложения 7.

Коэффициенты влияния абсолютных размеров поперечного сечения , , определяют по формулам:

                                        (22)

                                              (23)

где d - диаметр вала или оси в мм.

Параметры уравнения подобия усталостного разрушения v_σ, v_τ определяют или экспериментально по методике, изложенной в MP 206, или по корреляционным формулам:

v_σ = 0,19 - 0,000125σ_в;                                       (24)

v_τ = 1,5v_σ;                                                            (25)

(σ_в в МПа).

Уравнение кривой усталости принимается в форме

 при                                                     (26)

N = ∞ при

Показатель наклона левой ветви кривой усталости в случае отсутствия прямых экспериментальных данных определяют по уравнению

                                                            (27)

где (σ_в в МПа),                                        (28)

а К - определяется по уравнению (14).

Величину N_G можно принять равной N_G = 2 × 10⁶.

Значения коэффициентов влияния асимметрии цикла на предельные амплитуды ψ_σ, ψ_τ для лабораторных образцов определяют по формуле

ψ_σ = 0,02 + 2 × 10^-4 × σ_в;                                        (29)

ψ_τ = 0,5 ψ_σ,

где σ_в в МПа.

То же для деталей

                                                            (30)

где К определяют по уравнению (14).

Характеристики сопротивления усталости для наиболее ответственных валов и осей, повреждения которых связаны с угрозой безопасности людей или серьезными экономическими потерями, рекомендуется определять испытаниями на усталость натурных деталей (при диаметрах d < 300 мм) или достаточно крупных моделей (d = 100 - 200 мм), с осуществлением экстраполяции на натурные размеры на основе теории подобия усталостного разрушения.

3.2. Определение расчетных характеристик нагруженности

По эпюрам изгибающих и крутящих моментов в опасных сечениях находятся амплитуды нормальных σ_аi и касательных τ_аi напряжений для ступеней блока нагружения (i = 1, 2, ..., r), а также числа циклов действия амплитуд нормальных v_iσ и касательных v_iσ напряжений каждого i-го уровня (I = 1, 2..., r) в блоке нагружения.

Формирование блока нагружения по результатам тензометрирования в тех случаях, когда оно производилось, осуществляется по ГОСТ 25.101.

Коэффициент вариации уровня нагруженности υ_ε определяется на основе результатов ряда повторных измерений эксплуатационной нагруженности с варьированием нерегламентируемых факторов (например для автомобиля состояние дороги в пределах определенной регламентируемой группы дорог, квалификация водителя, экземпляр машины, состояние погоды и пр.) по методике, изложенной в (1).

3.3. Расчет коэффициентов запаса прочности

3.3.1. Вычисляют корректирующие коэффициенты а_pσ и а_pτ.

Из блока нагружения исключают амплитуды a_ai < 0,5σ_-1g; оставшееся число ступеней обозначают r_1σ и вычисляют параметр ξ_σ

                                                 (31)

где  - число циклов в укороченном блоке нагружения.

Вычисляют корректирующий коэффициент а

                                                              при а_рσ ≥ 0,1.     (32)

Если по формуле получится значение а_pσ < 0,1, то следует принять а_pσ = 0,1;

Аналогично

                                                      (33)

где

 при а_pτ > 0,1.              (34)

3.3.2. Расчет коэффициентов запаса прочности по нормальным n_σ и касательным n_τ напряжениям производится по формулам:

                                                               (35)

где                                                                      (36)

                                   (37)

λ - количество блоков нагружения за расчетную наработку.

Определение σ_аэкв и τ_аэкв производится последовательным приближением: задаваясь значением п'_σ и n'_τ находят σ_аэкв, τ_аэкв, после чего находят п_σ и n_τ по (35); в случае существенного расхождения заданных и полученных коэффициентов запаса (более 10 %), вычисления повторяют.

3.3.3. Вычисляют общий коэффициент запаса прочности по формуле:

                                                 (38)

Прочность считается обеспеченной в случае

п ≥ [п],                                                              (39)

где [n] = 1,5 - 2,5 - нормативное минимально допустимое значение коэффициента запаса прочности. Конкретное значение [п] из данного диапазона устанавливается применительно к конкретным деталям определенных типов машин на основе опыта предшествующих расчетов в КБ и наблюдением за поведением машин в эксплуатации с учетом ответственности конструкции и других факторов, отмеченных ранее.

3.4. Расчет функции распределений усталостной долговечности при нерегулярном нагружении

Функцией распределения усталостной долговечности называют зависимость между долговечностью детали (наработкой в часах, пробегом в километрах и т.п.) и вероятностью появления усталостной трещины. Эта функция является важнейшей характеристикой безотказности и долговечности детали и служит для решения многих практически важных задач (оценка медианного и γ-процентного ресурса, установление срока службы между капитальными ремонтами, определение объема выпуска запасных частей и т.д.).

Последовательность расчета функции распределения долговечности сводится к следующему:

3.4.1. Вычисляется коэффициент a_σ для нормальных напряжений по формуле (32).

3.4.2. Проводится расчет зависимости относительной долговечности D от коэффициента относительного уровня нагруженности  (в предположении действия только нормальных напряжений)

                      (40)

Вычисление производится для ряда значений п_р в диапазоне 1 - 2,5.

3.4.3. Для каждого из значений п_р, выбранного в п. 3.4.2, вычисляют коэффициенты

                                                        (41)

и квантиль нормального распределения и_Р по формуле

                                          (42)

Коэффициенты вариации пределов выносливости валов и осей  определяют по ГОСТ 25.504, коэффициенты вариации уровня нагруженности υ_εσ - по методике (2).

3.4.4. По квантилю и_Р находится вероятность разрушения Р %, соответствующая данному n_P а следовательно и относительной долговечности . По данным парам чисел (Р % и ) строят функцию распределения долговечности в координатах (Р, λ_σ) или (Р, L_σ), где L_σ = l_σλ_σ (λ_σ - число блоков нагружения до появления усталостной трещины в предположении действия только нормальных напряжений).

Табличная форма расчета поясняется в примере (см. приложение 9). Аналогично проводится расчет функции распределения долговечности в предположении действия только касательных напряжений, т.е. зависимости Р % от λ_τ.

3.4.5. Расчет функции распределения долговечности с учетом действия нормальных и касательных напряжений

По функциям распределения величин λ_σ и λ_τ, найденным в п. 3.4.4, определяются медианные долговечности λ_σ, λ_τ (соответствующие вероятности разрушения Р = 50 %).

Медианную долговечность , соответствующую одновременному действию нормальных и касательных напряжений, определяют по формуле

                                              (43)

где

Среднее квадратическое отклонение случайной величины lg λ определяется по формуле

     (44)

Величины и  определяют по формулам:

                                    (45)

                                      (46)

Предполагается, что распределение усталостной долговечности подчиняется логарифмически нормальному закону распределения. В этом случае число блоков нагружения λ_P соответствующее вероятности разрушения Р %, определяется из уравнения

                                                          (47)

где u_p - квантиль нормального распределения;

 определяется по уравнению (43), S _lgλ - по (44).

Наработка L_P (в часах, километрах, единицах операций и т.д.) до появления усталостной трещины с вероятностью Р % определяется по формуле

L_P = λ_Рl_б                                                                   (48)

где l_б - наработка, соответствующая одному блоку нагружения.

Формула (47) определяет функцию распределения усталостной долговечности вала при совместном действии нормальных и касательных напряжений.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

А - площадь поперечного сечения, м²;

a - корректирующий коэффициент при расчетах по корректированной линейной гипотезе суммирования повреждений;

D = N_сум/N_G - относительная долговечность;

d - диаметр сплошного вала, м;

F_max - максимальное осевое усилие растяжения (сжатия), соответствующее T_max, Н;

К - коэффициент снижения предела выносливости;

К_σ и K_τ - эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении, равные отношению пределов выносливости образцов без концентрации напряжений к пределу выносливости образцов с концентрацией напряжений;

K_dσ, K_dτ - коэффициенты влияния абсолютных размеров поперечного сечения (диаметра вала или оси), равные отношению пределов выносливости образцов без концентрации напряжений диаметром d к пределу выносливости гладких лабораторных образцов диаметром d₀ = 7,5 мм при изгибе с вращением;

К_Fσ, К_Fτ - коэффициенты влияния шероховатости поверхности, равные отношению пределов выносливости образцов с данным качеством поверхности к пределу выносливости гладкого лабораторного полированного образца;

K_υ - коэффициент влияния поверхностного упрочнения, равный отношению предела выносливости упрочненной детали К пределу выносливости неупрочненной детали;

L - ресурс вала (оси), измеренный в тех же единицах, что и l_σ;

L_б - протяженность периода эксплуатации вала, соответствующая одному блоку нагружения и измеряемая в часах работы, днях и других единицах;

К - коэффициент, учитывающий снижение механических свойств (σ_в, σ_т, σ_-1, τ_т, τ_-1) с ростом размеров заготовок;

, - изгибающие моменты от сил, меняющих положение относительно вала в плоскостях zох и уох, где i - индекс сечения, н∙м;

М^н - изгибающий момент от сил, не меняющий положение относительно вала, н∙м;

М^п, М^л - изгибающие моменты, действующие справа и слева от данного сечения, н∙м;

- суммарный изгибающий момент от сил, меняющих положение относительно вала, н∙м;

- суммарный изгибающий момент от сил, не меняющих положение относительно вала, н∙м;

М_{max i} - максимальный изгибающий момент, равный сумме  и  н∙м;

m_σ, m_τ - показатель угла наклона левой ветви кривой усталости;

N - число циклов нагружения;

N_G - абсцисса точки перелома кривой усталости;

N_сум - суммарное число циклов действия всех амплитуд за срок службы;

 - коэффициент, характеризующий относительный уровень переменной нагруженности;

n_τσ - запас прочности по пределу текучести при изгибе и растяжении (сжатии);

n_тτ - запас прочности по пределу текучести при кручении;

n_т - запас прочности по пределу текучести при совместном действии нормальных и касательных напряжений;

n_σ, n_τ - запасы прочности по пределам выносливости при изгибе и кручении соответственно;

п - общий коэффициент запаса прочности по пределу выносливости при совместном действии нормальных и касательных напряжений;

S _lgλσ, S _lgλτ - средние квадратические отклонения логарифмов случайных величин λ_σ и λ_τ;

Т_max - максимальный крутящий момент, н∙м;

- относительное число повторения амплитуд τ_ai в укороченном блоке нагружения;

 - относительное число повторения амплитуд τ_ai в укороченном блоке нагружения;

,  - составляющие опорных реакций вдоль осей z и у от сил, меняющих положение относительно вала, Н;

R^н - опорные реакции от сил, не меняющих положение относительно вала, Н;

r - число ступеней в блоке нагружения;

u_Р - квантиль нормального распределения, соответствующая вероятности разрушения Р;

υ_σ-1д, υ_τ-1д - коэффициенты вариации пределов выносливости вала при изгибе и кручении;

υ_εσ, υ_ετ - коэффициенты вариации уровней нагруженности при действии нормальных а и касательных напряжений;

W_к, W_и - моменты сопротивления поперечного сечения при кручении и изгибе, м³;

λ_σ, λ_τ - число блоков нагружения до появления усталостной трещины в предположении действия только нормальных и только касательных напряжений соответственно;

, - медианные значения λ_σ и λ_τ;

 - медианная долговечность, выраженная числом блоков нагружения при совместном действии нормальных и касательных напряжений;

v_σ, v_τ - постоянные для данного металла величины, определяющие чувствительность к концентрации напряжений и влиянию абсолютных размеров поперечного сечения при изгибе и кручении, являющиеся параметрами уравнения подобия усталостного разрушения;

 - общее число циклов нормальных напряжений в блоке нагружения;

 - общее число циклов касательных напряжений в блоке нагружения;

ν_iбσ, ν_iбτ - число циклов повторения амплитуд соответственно σ_аi и τ_аi в блоке нагружения;

 - число циклов нормальных напряжений в блоке нагружения после отбрасывания ступеней с σ_ai < 0,5σ_-1д;

 - число циклов касательных напряжений в блоке нагружения после отбрасывания ступеней с τ_аi < 0,5τ_-1д;

,  - поправочные коэффициенты;

σ_i, τ_i - нормальные и касательные напряжений в i-м сечении вала, МПа;

σ_аi, τ_аi - амплитуды нормальных и касательных напряжений i-й ступени блока нагружения, эквивалентного по повреждающему действию реальному случайному процессу нагружения, МПа;

σ_{a max}, τ_{a max} - максимальные амплитуды нормальных и касательных напряжений в блоке нагружения, МПа;

,  - средние значения σ_{a max}, τ_{a max}, МПа;

,  - медианные значения пределов выносливости вала при изгибе и кручении на множестве всех плавок металла данной марки и возможных отклонений размеров и технологий изготовлений в пределах допусков, выраженные в номинальных напряжениях, МПа;

,  - соответственно при изгибе и кручении медианные значения пределов выносливости на совокупности всех плавок металла данной марки гладких лабораторных образцов диаметром d₀ = 7,5 мм, изготовленных из заготовок диаметром d равным абсолютному размеру рассчитываемой детали, МПа;

,  - соответственно при изгибе и кручении медианные значения пределов выносливости гладких лабораторных образцов диаметром d₀ = 7,5 мм, изготовленных из заготовок металла данной марки размерами 10 - 20 мм, МПа;

σ_В - временное сопротивление (предел прочности) стали данной марки при растяжении, МПа;

σ_{а экв}, τ_{а экв} - эквивалентные напряжения при изгибе и кручении, МПа;

σ_а, τ_а - амплитуды напряжений циклов при изгибе и кручении, МПа;

ψ_а, ψ_а - коэффициенты чувствительности к асимметрии цикла напряжений.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

СИЛЫ НА РАБОЧИХ ЭЛЕМЕНТАХ МУФТ И В ЗАЦЕПЛЕНИИ ЗУБЧАТЫХ И ЧЕРВЯЧНЫХ ПЕРЕДАЧ

Таблица 1

Неуравновешенная составляющая F_нt окружной силы  на рабочих элементах муфт

Окружная сила на рабочих элементах муфт , где d_м - диаметр начальной окружности муфты

Таблица 2

Силы в зацеплении зубчатых и червячных передач

Таблица 3

Силы в зацеплении конических зубчатых передач с круговыми зубьями (ГОСТ 19326)

Примечание. Если в передаче ведущий элемент - колесо, то условия для него определяются по строке «шестерня», а для шестерни - по строке «колесо».

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Формулы для определения установочных баз подшипников

Таблица 4

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ВАЛОВ С ЭВОЛЬВЕНТНЫМИ ШЛИЦАМИ И ВАЛА-ШЕСТЕРНИ

Таблица 5

Геометрические характеристики поперечных сечений валов с эвольвентными шлицами по ГОСТ 6033

Таблица 6

Геометрические характеристики вала-шестерни в сечении по зубьям

Примечание. Для косозубых валов-шестерен расчет по данным формулам будет идти в запас прочности.

Графики для определения коэффициентов δ_I, δ_S

Б - блокирующая линия из условия отсутствия подрезания зубьев

Черт. 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

МЕТОДЫ КОНСТРУКТИВНОГО УПРОЧНЕНИЯ ВАЛОВ В МЕСТАХ ПОСАДКИ ПОДШИПНИКОВ

Несущая способность многих валов машин ограничена в связи с большими значениями эффективного коэффициента концентрации напряжений у края напрессованной детали (в частности внутреннего кольца подшипника качения).

Во всех таких случаях несущая способность вала может быть существенно увеличена, если в указанной зоне концентрации напряжений выполнить проточку по одному из способов, указанных ниже.

Следует иметь в виду, что после разгрузки зоны концентрации напряжений у края внутреннего кольца подшипника опасным и недостаточно прочным может оказаться другое сечение в случае, если не будет проявляться фреттинг-коррозия.

Эффективный коэффициент концентрации напряжений для проточки определяется, как обычно, по наименьшему радиусу профиля проточки.

Таблица 7

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

КОЭФФИЦИЕНТЫ K_υ ВЛИЯНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПОВЕРХНОСТНОГО УПРОЧНЕНИЯ НА ПРЕДЕЛЫ ВЫНОСЛИВОСТИ.

Поверхностная закалка с нагревом токами высокой частоты (изгиб с вращением, глубина закаленного слоя 0,9 - 1,5 мм)

Таблица 8

Таблица 9

Химико-термическая обработка

Таблица 10

Поверхностный наклеп

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

ЭФФЕКТИВНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ К_σ и К_τ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ КОНСТРУКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Эффективные коэффициенты концентрации напряжений для валов с поперечным отверстием (для нетто-сечений) при изгибе

(σ_в в МПа)

Черт. 2

Эффективные коэффициенты концентрации напряжений для валов с поперечным отверстием (для нетто сечений) при кручении

К_τ = 0,363×10^-3 σ_в + 1,54 (σ_в в МПа)

Черт. 3

Эффективные коэффициенты концентрации напряжений для валов с отверстием при растяжении-сжатии

Черт. 4

Коэффициенты К_σ, К_τ для валов со шпоночными пазами типа А и В

Черт. 5

Эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе К_σ и кручении К_τ для валов со шлицами

1 - прямобочные и эвольвентные шлицы; 2 - прямобочные шлицы; 3 - эвольвентные шлицы

Черт. 6

Эффективные коэффициенты К_σ и К_τ для валов с выточками

Черт. 7

ПРИЛОЖЕНИЕ 8

ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Ф И КВАНТИЛИ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ и_Р

Таблица 11

Функция нормального распределения

Примечание: определение Ф(и_р) для отрицательных и_р производится по формуле Ф(и_р) = 1 - Ф(-и_Р).

Пример: пусть требуется найти Ф(и_Р = -1);

по таблице находим Ф(-и_Р) = Ф(1) = 0,8413.

Следовательно Ф(и_Р = - 1) = 1 - 0,8413 = 0,1587. В правой части таблицы приняты сокращенные записи: 0,9⁵660 = 0,99999660; то есть цифра, стоящая сверху у девятки, означает число девяток после запятой.

Таблица 12

Значения квантили и_Р нормального распределения

Примечание. и_1-Р = -и_Р; например, и_0,40 = - и_0,60 = - 0,253, где и_0,40 - квантиль, соответствующая вероятности 40 %.

ПРИЛОЖЕНИЕ 9

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА

Пример 1. Расчет вертикального вала редуктора механизма поворота портального крана

Чертеж вала редуктора механизма поворота портального крана представлен на черт. 8. Вал изготовлен из стали 45 с медианным значением предела прочности = 735 МПа, твердость 220 НВ. Вал укреплен в 4 подшипниках качения, так что при изгибе представляет собой дважды статически неопределимую систему. Вал подвергался тензометрированию в условиях эксплуатации. Датчики были наклеены в средней части вала между подшипниками. Осциллограммы изменения крутящего момента на валах левого (1) и правого (2) редукторов механизма поворота крана представлены на черт. 9.

Построение эпюр изгибающих моментов и вычисление амплитуд нормальных напряжений от изгиба, а также данные тензометрирования показали, что эти напряжения весьма малы и их можно не учитывать при оценке накопления усталостных повреждений. Поэтому прочность вала определяется амплитудами касательных напряжений от кручения, которые имеют наибольшее значение в месте посадки правой шестерни на шлицевое сечение вала Ø 112 мм с прямобочными шлицами.

Вал редуктора механизма поворота портального крана

Черт. 8

Осциллограммы изменения крутящего момента на левом и правом валах редуктора

Черт. 9

1. Расчет характеристик сопротивления усталости вала

Медианные значения пределов выносливости стали подсчитываем по формулам (13)

 = (0,55 - 0,0001 × ) ×  = (0,55 - 0,0001 × 735) - 735 = 350 МПа;

 = 0,55 = 0,55 × 350 = 193 МПа.

Определение предела выносливости шлицевого вала Ø 112 мм с напрессованной деталью производим вначале по формуле (21).

где К_σ/К_dσ определяется по формулам (17)-(20). Для данного вала имеем:

d = 112 мм;  = 735 МПа; р > 25 МПа;

По (18) имеем:

 = 0,38 + 1,48 lg∙d = 0,38 + 1,48∙lg 112 = 3,41.

По (19):

ξ' = 0,305 + 0,00139σ_в = 0,305 + 0,00139 × 735 = 1,327.

По (20): ξ" = 1 для р > 25 МПа.

По (17):

=ξ' ξ" = 3,41 × 1,327 × 1 = 4,53.

По (21): ==0,6 × 4,53=2,72.

Далее по черт. 6 находим для вала с прямобочными шлицами

для  = 735 МПа: К_τ = 2,50;

для определения К_dτ по формуле (23)

необходимо найти значение ν_τ для данной стали.

По (24) имеем:

v_σ = 0,19 - 0,000125 × σ_в = 0,19 - 0,000125 × 735 = 0,098  0,1.

По (25): v_τ = 1,5 × ν_σ = 1,5 × 0,1 = 0,15;

По (23):

Значение К_τ/К_dτ равняется

Принимаем из двух значений последнее, как наибольшее. Шероховатость поверхности шлицев составляет Rz = 25 мкм. По (15) определяем коэффициент влияния качества обработки поверхности при изгибе

K_Fσ = 1 - 0,22∙(lg - 1)∙lg Rz = 1 - 0,22∙(lg )∙lg 25,0 = 0,824.

По (16) имеем

K_Fτ = 0,575 × K_Fσ + 0,425 = 0,575 × 0,824 + 0,425 = 0,899.

Коэффициент К, характеризующий влияние всех факторов на предел выносливости, находим по (14) при K_υ = 1

Предел выносливости данного вала в рабочем сечении при кручении составляет

 МПа.

При изгибе для вала с напрессовкой уже было подсчитано

для вала с прямобочными шлицами по черт. 6 К_σ = 1,62; значение К_dσ находим по формуле (22)

Таким образом, при изгибе преобладающее значение имеет напрессовка и

Предел выносливости шлицевого вала с напрессовкой при изгибе равен

 МПа.

Рассчитаем теперь предел выносливости вала с эвольвентнымн шлицами и напрессовкой. Для вала с эвольвентными шлицами по черт. 5 находим К_τ = 1,5; значение К_dτ = 0,722; следовательно

 - по шлицам. По условию прочности прессового соединения ранее имели

Из этих двух значений принимаем наибольшее

Далее по (14):

Предел выносливости вала с эвольвентными шлицами без упрочнения составляет

 МПа.

При введении наклепа поверхности шлиц и впадин предел выносливости может быть повышен в 1,2 - 1,5 раза (приложение 6, табл. 10).

Примем К_υ = 1,3. В этом случае предел выносливости вала с эвольвентными шлицами и наклепом составит

τ_-1д = 68,2 × 1,3 = 88,7 МПа.

Параметры кривой усталости могут быть приняты следующими:

m = 3,5; N_G = 2 × 10⁶ циклов, коэффициент вариации υ_σ-1д = 0,1.

2. Расчет функции распределения усталостной долговечности вала

Осциллограммы (черт. 9) обрабатывались по методу полных циклов (ГОСТ 25.101). Ступенчатая аппроксимация функции распределения амплитуд касательных напряжений от кручения представлена в табл. 13. В качестве блока нагружения выбраны одни сутки работы крана. Общее число циклов в блоке с учетом коэффициента средней временной загрузки портальных кранов составляет ν_δ = 6474 цикла.

Вследствие небольшой длины вала и наличия 4 подшипников изгибные напряжения оказались весьма малыми. По результатам тензометрирования получалась наибольшая амплитуда нормальных напряжений от изгиба σ_{а max} = 28 МПа, что меньше половины предела выносливости вала в шлицевом сечении при изгибе (σ_-1д = 73,8 МПа, как следует из предыдущего расчета). Так как при расчете усталостной долговечности амплитуды σ_аi < 0,5σ_-1д отбрасываются, как не влияющие на накопление усталостных повреждений, то амплитуд σ_аi > 0,5σ_-1д не остается, и расчет усталостной долговечности при изгибе производить не следует. Поэтому производим расчет только на кручение.

Вначале рассчитываем вал с прямобочными шлицами, примененный в редукторе, для которого τ_-1д = 54,1 МПа.

Находим 0,5 × τ_-1д = 0,5 × 54,1 = 27,0 МПа и отбрасываем амплитуды τ_аi < 27,0 МПа, как показано в табл. 13. Суммируя величины v_iб от i = 1 до i = 8 находим число циклов в укороченном блоке (9-я и 10-я ступени отброшены)

Далее находим и произведения  (6-я строка), суммируя которые по i, находим ξ по формуле (33):

Это число записано в последней графе сумм в 6-й строке. По формуле (34) находим корректирующий коэффициент а_р

Подсчет усталостной долговечности выполняется по формуле (40) и сведен в табл. 15. Предварительно находим значения сумм, стоящих в знаменателе (40), для чего вычисляем (τ_ai/τ_{a max})^m при m=3,5 (7-я строка) и произведения (τ_ai/τ_{a max})^m стоящие в 8-й строке.

Для расчета долговечности по параметру вероятности разрушения задаемся несколькими значениями n_Р (n_Р = 2,0; 1,5; 1,2 при τ_-1д = 54,1 МПа), записанными в табл. 16. Далее находим 1/п_р,  и значения сумм ∑:

записанных в 1-й, 2-й и 3-й строках табл. 16 соответственно.

Например, при n_Р = 2 необходимо просуммировать числа 8 строки табл. 13, соответствующие = 0,5, то есть числа для i, равного от 1 до 6:

∑ = 0,0541 + 0,0547 + 0,0223 + 0,0430 + 0,0061 + 0,0062 = 0,186

(ибо для i ≥ 7, ).

Далее вычисляются по (40) значения относительных долговечностей

Эти величины записаны в 4-й строке табл. 16. Например, при n_Р = 2 имеем

Далее вычисляются долговечности в числе блоков нагружения

Так при п_р = 2 имеем

(5-я строка), lg λ = 2,33 (9-я строка).

Для подсчета вероятностей разрушения по формуле (42) примем:

= 54,1 МПа;  = 85 МПа;   = 0,1;  = 0,15.

По (41) находим  и

 записанные в 6-й строке табл. 16.

Далее, по (42) находим квантили нормального распределения u_p, соответствующие вероятности разрушения Р %; так для п_р = 2 имеем: = 1,273 и

(7-я строка).

По данному значению u_p по таблице нормального распределения путем линейной интерполяции находим вероятность разрушения

Р = Ф(-1,39) = 1-Ф(1,39) = 0,08226

или Р = 8,2 % (8-я строка табл. 16).

На черт. 10 на логарифмически нормальной вероятностной бумаге построена подсчитанная указанным образом для τ_-1д = 54,1 МПа функция распределения усталостной долговечности вала (линия 1). По оси абсцисс отложена усталостная долговечность λ в числе блоков нагружения (в данном случае - в числе суток работы, так как за блок приняты одни сутки), а также в годах работы L =  лет, в предположении, что портовый кран работает 210 суток в году. По оси ординат отложены квантили u_p в равномерном масштабе и соответствующие им вероятности разрушения Р % в масштабе, вытекающем из нормального закона распределения (связь между u_p и Р % дается таблицами нормального распределения). Пунктирная линия, проходящая на уровне u_p = 0, Р = 50 %, пересекает линию 1 в точке, абсцисса которой равна медианной долговечности  = 500 суток или  = 2,4 года эксплуатации. Горизонтальная линия на уровне Р = 10 % определяет γ-процентный ресурс вала (при вероятности безотказной работы γ = 1 - Р = 90 %), а именно L_γ = 1 год. Эти цифры означают, что в среднем можно ожидать поломки, примерно, 10 % работающих валов наработки в эксплуатации 1 год и поломки половины валов наработки ~ 2,5 года. Эти цифры подтверждаются большим числом поломок валов после указанных наработок.

Так как долговечность и надежность вала, оцениваемая вероятностью безотказной работы до заданной наработки, недостаточны, необходимо предусмотреть меры их повышения. Из черт. 6 следует, что существенного снижения эффективных коэффициентов концентрации К_τ шлицевого вала можно добиться заменой прямобочных шлиц на эвольвентные. Из предыдущего расчета следует, что предел выносливости вала с эвольвентными шлицами и напрессовкой составляет τ_-1д = 68,2 МПа. Расчет функции распределения усталостной долговечности вала с эвольвентными шлицами дан в табл. 14 и 15. В этом случае из исходного блока нагружения отброшены амплитуды τ_аi ≤ 0,5τ_-1д = 0,5 × 68,2 = 34,1 МПа, то есть оставлены амплитуды для i от 1 до 7. Число циклов в укороченном блоке  = 829. Подсчитывается новое значение ξ=0,660 и а_р = 0,432;  Далее вычисления ведутся как и в предыдущем случае (табл. 14 и 15). Функция распределения усталостной долговечности для вала с эвольвентными шлицами представлена линией 2 на черт. 10. Видно, что медианная долговечность  = 10 лет, гамма-процентная долговечность L_γ = 3,5 года (при γ = 90 %. Р = 1 - γ =10 %). Таким образом, получено существенное увеличение долговечности и надежности однако и оно может быть признано недостаточным.

Дальнейшее повышение долговечности может быть достигнуто путем применения поверхностного упрочнения наклепом. Предел выносливости при кручении вала с эвольвентными шлицами и наклепом составляет τ_-1д = 88,7 МПа, как было вычислено ранее. Подсчет усталостной долговечности для этого вала представлен в табл. 16. В данном случае в блоке нагружения остается 6 ступеней,  = 560; а_р = 0,515;  Функция распределения долговечности представлена линией 3 на черт. 10, из которого имеем L_γ = 15 лет. Медианная долговечность становится неограниченно большой, как следует из процедуры вычислений, ибо n < 1. Таким образом введение эвольвентных шлиц и наклепа поверхности позволит увеличить γ-процентный ресурс в 15 раз, а медианную долговечность на много порядков, что вполне обеспечивает надежную работу вала без увеличения его габаритов и веса.

Функции распределения усталостной долговечности вала

1 - τ_-1д = 54,1 МПа; 2 - 68,2 МПа; 3 - 88,7 МПа

Черт. 10

Данные к расчету функций распределения долговечности вала при τ_-1д = 54,1 МПа

Таблица 13

Таблица 14

Данные к расчету функции распределения долговечности вала при τ_-1д = 68,2 МПа

Таблица 15

Данные к расчету функции распределения долговечности

вала при τ_-1д = 88,7 МПа

Таблица 16

Расчет функции распределения усталостной долговечности вала механизма поворота крана

3. Расчет по эквивалентным напряжениям

Расчет проводился по формулам (35) и (37). Пусть п_τ = 2,0, тогда

 МПа.

В табл. 13 отбрасываем ступени 9 и 10, значения ξ и а_р вычислены (ξ = 0,532; а_р = 0,314), ν_б = 1386.

Задаемся временем работы редуктора 2 года. С учетом времени навигации получаем, что за этот период вал отработает примерно 500 сут. Значения п_iτ для каждой ступени даны в табл. 13 (строка 9).

Величина τ_экв, определенная по формуле (37), будет = 55,7 МПа.

По выражению (35)

Заданный и полученный коэффициент запаса имеют существенные различия, поэтому вычисления повторяем.

Задаемся п_τ = 1,5. Тогда  МПа. В табл. 13 отбрасываем 8, 9 и 10 ступени. Число циклов в укороченном блоке равно  = 829. Значения  даны в табл. 13, строка 10. Новое значение ξ = 0,660 и a_p=0,501. Определяем эквивалентные напряжения, оставив время работы вала 2 года.

Значения τ_экв в этом случае будет τ_экв =48,1 МПа.

Тогда п_τ = 1,12.

Задаемся новым значением п_τ = 1,25, тогда

 МПа.

отбрасываем 7, 8, 9, 10-й графы в табл. 13. Тогда новое  =560. Значения  и  даны в табл. 13 в строках 11 и 12. В этом случае ξ = 0,768; а_р=0,659. Эквивалентное напряжение равно τ_экв = 43,7. Вычисленное значение  Таким образом, принимаем значение запаса равным 1,25.

Это значение характеризует недостаточную прочность вала и соответствует тому, что по линии 1 на черт. 10 при L2 года вероятность разрушения Р = 40 %. Таким образом расчет функций распределения долговечности дает более полную и объективную картину по сравнению с расчетом по эквивалентным напряжениям.

4. Расчет по номинальным напряжениям

Номинальные напряжения, действующие на вертикальном валу, определяем по потребляемой мощности электродвигателя. Момент на вертикальном выходном валу трехступенчатого редуктора определяем по мощности (1,9 кВт) и угловой скорости (ω₁ = 102,1 с^-1) электродвигателя с учетом передаточного отношения всех трех ступеней (и_∑ = 50,4) и коэффициента полезного действия редуктора (η = 0,885). Вычисленный крутящий момент на валу Т₄ = 7120 нм. Рассматривая вал, как балку на 4 опорах, строим методом трех моментов эпюры изгибающих моментов в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Силы, действующие в зацеплении, размеры вала и эпюры моментов даны на черт. 11. Силы, действующие в зацеплении зубчатых колес, определены по известным формулам (приложение 2). Моменты сопротивления вала в зоне разрушения W_и = 0,1315 × 10^-3 м³; W_к = 0,263 × 10^-3 м³ (d = 0,102 м).

Эквивалентный изгибающий момент равен:

 Н∙м

Амплитуда напряжений изгиба:

 МПа.

Касательные напряжения на вертикальном валу от действия крутящего момента:

 МПа.

Схема вала и эпюры изгибающих моментов

а - схема нагружения вала; б - эпюра изгибающего момента в горизонтальной плоскости от сил F_t1, F_t2; в - эпюра изгибающего момента в вертикальной плоскости от сил F_r1, F_r2 - эпюра изгибающего момента в вертикальной плоскости от силы F_х

Черт. 11

Коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям равны:

Значение ψ_τд определяем по ГОСТ 25.504

ψ_τ=0,01 + 10^-4×σ_в=0,01 + 10^-4×735=0,0835.

Значение σ_-1д = 73,8 МПа определено ранее. Тогда

Суммарный коэффициент запаса равен:

Полученный коэффициент запаса по номинальным напряжениям значительно больше, чем коэффициент запаса, рассчитанный по эквивалентным напряжениям. Анализ опыта эксплуатации указанных валов свидетельствует, что коэффициент запаса п = 3,6 не согласуется с многочисленными случаями разрушения валов в эксплуатации.

Это несоответствие связано с тем, что расчет напряжений по номинальной мощности двигателя не учитывает динамических явлений, вследствие чего полученное касательное напряжение τ_а = 13,5 МПа соответствует стационарному основному длительно действующему режиму (10-я ступень табл. 13), в то время как пиковые перегрузки превышают это значение в  6,3 раз, как показывают результаты тензометрирования (сравнение 1-й и 10-й ступеней в табл. 13). Таким образом для получения более точных оценок долговечности и надежности валов и осей необходимо проводить тензометрирование в условиях эксплуатации или делать расчет напряжений более точными методами с учетом динамических явлений.

Пример 2. Вероятностный расчет усталостной долговечности полуоси грузового автомобиля

1. Исходные данные для расчета

Полуось изображена на черт. 12. Деталь изготовлена из поковки. Материал сталь 40Х. Временное сопротивление  = 800 МПа, коэффициент вариации временного сопротивления  = 0,06. Расчетное сечение - шлицевая часть полуоси. Минимальный диаметр полуоси равен d = 48 мм.

Задний мост грузового автомобиля

Черт. 12

Коэффициент влияния поверхностного упрочнения К_υ = 1,0, коэффициент анизотропии К_А = 1. Чистота поверхности Rz = 3,2 мкм. Шлицы эвольвентные.

Полуось разгружена от изгиба и работает только на кручение. Функция распределения напряжений рассчитана по формуле (8) на основании результатов исследования нагруженности полуосей автомобилей в различных условиях дорожного движения. Исходные данные о нагруженности представлены в табл. 17, где напряжения полуоси грузового автомобиля для различных условий эксплуатации определены выборочным средним значением , коэффициентом вариации  амплитуд процесса и числом циклов v_στ, на определенном отрезке пути (блоке нагружения), который в данном случае равен 200 км. В табл. 18 представлены нагрузочные режимы (уровни нагружения и соответствующие им числа циклов (графы 2, 3, 4, 5, 6, 7)). На основании этих режимов получен смешанный (обобщенный) режим (графа 8) с распределением напряжений для уровней τ_аi, соответствующий одному блоку (λ = 1) при условии, что 50 % пробега по асфальтовым дорогам пересеченной местности, 25 % - городские условия, асфальт, 15 % - булыжное шоссе, 10 % - грунтовые дороги (5 % - разбитые грунтовые дороги, 5 % - грунтовые дороги в хорошем состоянии). Общий пробег, при этом (λ = 1) составляет L = 40000 км, что равняется в среднем пробегу грузового автомобиля за один год эксплуатации.

Коэффициент вариации амплитуд полученного процесса нагружения = 0,2. На черт. 13 и 14 для наглядности приведены графики, характеризующие распределение амплитуд крутящего момента на полуоси грузового автомобиля при движении по различным дорогам (8).

Распределение крутящего момента на полуосях автомобиля

(в относительных координатах) в зависимости от условий эксплуатации

1 - дорога с твердым покрытием в плохом состоянии (выбитое булыжное шоссе);

2 - плохая грунтовая дорога с участками бездорожья (песок, рыхлый снег);

3 - грунтовая дорога в удовлетворительном состоянии; 4 - шоссе с асфальтобетоннымпокрытием

Черт. 13

Функции распределения амплитуд нагрузки на полуось грузового автомобиля грузоподъемностью 5,5 т при движении по различным дорогам

× - асфальтированное шоссе по равнинной местности;

∆ - асфальтированное шоссе по пересеченной местности;

‪‫‫ - разбитая грунтовая дорога

Черт. 14

Экспериментальные данные об эксплуатационной нагруженности обработаны двухпараметрическим методом размахов, откуда и получено однопараметрическое распределение приведенных к симметричному циклу амплитуд процесса.

2. Расчет характеристик сопротивления усталости

Медианные значения предела выносливости гладкого лабораторного образца диаметром d = 7,5 мм, изготовленного из испытываемой марки стали, определяются по формулам (13):

= (0,55 - 0,0001σ_в)σ_в = (0,55-0,0001-800) 800=376 МПа,

 =0,5=0,5×376=188 МПа

Параметр уравнения подобия определяется по формулам (24) и (25):

ν_σ = 0,19 - 0,000125= 0,19 - 0,000125×800 = 0,09;

ν_τ = 1,5 ν_σ = 1,5×0,09 = 0,14.

Значение эффективного коэффициента концентрации напряжений К_τ определяется по черт. 6 для полуоси с эвольвентными шлицами:

для  = 800 МПа К_τ = 1,5.

Коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения К_dτ определяется по (23):

Отношение  равняется:

Коэффициент влияния качества обработки поверхности определяется по формулам (15) и (16):

=0,575+0,425=0,575×0,93+0,425=0,96.

Коэффициент К, характеризующий влияние всех факторов на предел выносливости, определяется по формуле (14) при K_υ = 1:

Предел выносливости полуоси при симметричном цикле нагружения равен по формуле (11):

 МПа.

Показатель наклона левой ветви кривой усталости определяется по формуле (27)

где коэффициент С равен (28)

По результатам стендовых испытаний полуосей при симметричном цикле получены следующие характеристики (8) τ_-]д = 90 МПа, N_Gτ = 6 × 10⁶ циклов; т_τ = 3,3; υ_τ-1 = 0,08. Кривая усталости материала полуоси типа 1.

Таблица 17

Исходные данные для расчета полуоси грузового автомобиля

Таблица 18

Нагрузочные режимы полуоси грузового автомобиля для различных условий эксплуатации

3. Расчет коэффициента запаса прочности по касательным напряжениям

Исходными данными для расчета являются полученные экспериментальные значения τ_-1д, N_Gτ и т_τ, а также данные из табл. 19, в которой смешанная функция распределения напряжений (графы 1, 2 и 4) приведена из табл. 18 (графа 8) с учетом повреждающих напряжений для рассчитываемой полуоси. Взяты семь уровней напряжений от τ_а1 = 138 МПа до τ_а7 = 48 МПа (τ_а7 > 0,5τ_-1д). Уровни напряжений τ_аi < 0,5τ_-1д в расчет не взяты.

Приведенные в таблице значения напряжений τ_а и соответствующие им числа циклов v_iσ подверглись предварительной обработке.

Получены для каждого из уровней напряжений i значения  - (графа 3),  - (графа 5),  - (графа 6),  - (графа 7) и  - (графа 8). В графах 4, 5, 6 произведено суммирование и получены параметры:

    

    

Коэффициент запаса прочности равен (35)

где эквивалентные касательные напряжения определялись по формуле (37)

 МПа.

Корректирующий коэффициент а_рτ равен (34)

параметр ξ_τ (см. табл. 19) равен (33)

Значение τ_экв определялось последовательным приближением при различных значениях п_τ, путем подстановки и выражение (37) различных значений сумм  до совпадения значений п_τ и τ_экв по выражениям (35) и (37). В данном случае суммирование велось до 7-й ступени включительно (столбец 8), т.е. до совпадения значений

 МПа;

4. Расчет функции распределения усталостной долговечности при нерегулярном нагружении

Функция распределения усталостной долговечности определена зависимостью между долговечностью полуоси в километрах пробега и вероятностью разрушения (см. черт. 15).

Относительные долговечности определялись по формуле (40) при значениях относительного уровня переменной нагруженности п_р = 2; п_р = 1,5; п_р = 1,2.

Суммирование  в формуле (40) при п_р = 2 велось до 5-й ступени включительно, т. к. а  на 5-й ступени составляет 0,536. Суммирование при п_р = 1,5 велось до 4-й ступени включительно, а при п_р =1,2 до 2-й.

Долговечности λ, выраженные в числах блоков нагружения, определены для значений п_р = 2; п_р = 1,5; п_р = 1,2 по формуле:

Пробег, соответствующий полученному числу блоков λ равен:

км;

км;

км;

Квантили нормального распределения u_p для каждого из значений п_р равны (42):

где

По таблицам значений квантили нормированного нормального распределения от уровня Р определены вероятности разрушения:

На черт. 15 приведен график функции распределения усталостной долговечности полуоси грузового автомобиля, построенный по результатам расчета. Из графика определен гамма-процентный ресурс (при γ = 90 %, Р = 10 %) полуоси, который равен L_{γ = 90°} = 4,00 × 10⁵ км, что соответствует долговечности грузового автомобиля в эксплуатации.

Функция распределения усталостной долговечности полуоси грузового автомобиля

Черт. 15

Таблица 19

Данные к расчету функции распределения долговечности полуоси грузового автомобиля

Пример 3. Расчет вала на прочность

1. Исходные данные для расчета.

Вал изображен на черт. 16. Материал - сталь, имеющая следующие характеристики сопротивления усталости и статической прочности:

предел прочности при растяжении σ_в = 1100 МПа;

предел текучести при изгибе σ_r = 850 МПа;

предел текучести при кручении τ_т = 550 МПа;

предел выносливости при изгибе σ_-1 = 480 МПа;

предел выносливости при кручении τ_-1 = 270 МПа;

коэффициенты чувствительности к асимметрии цикла ψ_σ = 0,2 и ψ_τ = 0,1;

абсцисса точки перелома кривой усталости N_G = 2× 10⁶ циклов.

Вал подвергнут цементации, К_υ = 1,4.

Максимальный крутящий момент Т_mах = 3950 Н∙м, частота вращения вала п_об = 0,406 с^-1, расчетный срок службы Т_р = 5000 ч. Циклограмма нагружения приведена на черт. 17.

Минимально допускаемые запасы прочности и выносливости приняты [п_т] = 1,9 и [п] = 1,9

2. Определение внутренних силовых факторов и расчет на статическую прочность

2.1. Определение размеров на длине вала

Установочную базу подшипников определяем согласно приложению 3.

 мм,

где Т = 24 мм, d = 60 мм, D = 100 мм и β = 13° - данные для подшипника № 7212. Принимаем h = 22 мм.

Остальные размеры приняты в соответствии с конструкцией нагружающего устройства.

Данные для шестерни и зубчатой муфты.

Для шестерни: модуль зубьев m = 10 мм, число зубьев z_м = 14; угол наклона зуба β = 20°, угол зацепления косозубой цилиндрической передачи a_tω = 25,865°; диаметр начальной окружности d_ω = 154,4 мм.

Для муфты: модуль зубьев m = 5 мм, число зубьев z_м = 24, диаметр делительной окружности d_м = m_м × z_м = 5 × 24 = 120 мм.

2.2. Определение внешних сил, действующих на вал от зубчатого зацепления шестерни с колесом

Окружное, радиальное и осевое усилия, действующие на вал, определяем согласно приложению 2.

 Н;

 Н;

 Н.

Определяем неуравновешенную составляющую окружной силы на рабочих элементах муфты

 Н.

F_t, F_r, F_х - силы, меняющие положение относительно вала. Сила F_нt не меняет положение относительно вала.

Черт. 16

Циклограмма нагружения

Черт. 17

2.3. Построение эпюр внутренних силовых факторов

Определяем реакции опор от сил, меняющих положение относительно вала.

При направлении осевой силы F_x к опоре А:

 Н;

 Н;

 Н;

 Н.

При направлении осевой силы F_х к опоре Б:

 Н;

 Н.

Определяем реакции опор от сил, не меняющих положение относительно вала

 Н;

 Н.

Эпюры внутренних силовых факторов приведены на черт. 16.

Анализ эпюр внутренних силовых факторов и несущей способности сечений вала показал, что опасными сечениями являются сечения:

I-I - место перехода от шестерни к валу диаметром 65 мм;

II-II - место прессовой посадки правого подшипника на вал;

III-III - шпоночное соединение при посадке муфты на вал при направлении осевой силы F_x в сторону опоры Б.

Для сечения I-I:

 Н∙м.

 Н∙м.

 Н∙м.

 Н∙м.

Для сечения II-II:

 Н∙м.

Для сечения III-III:

 Н∙м.

2.4. Определение геометрических характеристик опасных сечений вала

Сечение I-I:

м³; м³;

 м².

Сечение II-II:

м³;

м³;

 м².

Сечение III-III:

м³;

м³;

Таблица 20

2.5. Расчет вала на статическую прочность

Статическая прочность обеспечена; во всех случаях п_тi > [п_т] = 1,9.

3. Расчет вала на сопротивление усталости по коэффициентам запаса прочности

3.1. Определение характеристик сопротивления усталости вала.

Сечение I-I. Согласно формуле (11)

    

По формуле (14) при изгибе и растяжении - сжатии

где  (по ГОСТ 25.504).

Теоретический коэффициент концентрации напряжений для ступенчатого вала находим по ГОСТ 25.504 (приложение 3).

Для радиуса галтели ρ = 6,5 мм, диаметра вала d = 65 мм и диаметра шестерни по впадинам

мм

α_σ = 1,75.

По формуле (24)

v_σ = 0,19 - 0,000125 σ_в = 0,19 - 0,000125 × 1100 = 0,053.

По ГОСТ 25.504 рассчитываем относительный градиент первого главного напряжения в зоне концентрации при изгибе:

 мм.

Определяем относительный критерий подобия усталостного разрушения по ГОСТ 25.504:

Отсюда:

Коэффициент влияния шероховатости поверхности определяем по (16) для Rz = 20 мкм

Коэффициент снижения предела выносливости при K_υ = 1,4 равен:

Отсюда предел выносливости при изгибе вала для сечения I-I

 МПа.

По (14) при кручении

где  (по ГОСТ 25.504).

Согласно (25):

ν_τ = 1,5ν_σ = 1,5 × 0,053 = 0,080;

α_σ = 1,45 (ГОСТ 25.504);

 мм;

По (16) определяем коэффициент влияния шероховатости поверхности

= 0,575+ 0,425 = 0,575 × 0,79 + 0,425 = 0,88.

Коэффициент влияния поверхностного упрочнения как и в случае изгиба К_υ= 1,4.

Коэффициент снижения предела выносливости при кручении равен

Отсюда предел выносливости при кручении вала для сечения I-I:

 МПа.

Сечение II-II. По формулам (17) - (20) при d = 60 мм и р > 25 МПа находим

Согласно формуле (21)

Приняв параметр шероховатости поверхности Rz = 10 мкм, по (15) и (16) находим = 0,91.

Коэффициент снижения предела выносливости при кручении равен

Отсюда, предел выносливости при кручении для сечения II-II:

 МПа.

Сечение III-III. По (17) - (20) при d = 55 мм и р = 20 МПа определяем

По формуле (21)

По формуле (14) при = 0,91 рассчитываем коэффициент снижения предела выносливости при кручении:

Отсюда:

 МПа.

Определяющим источником концентрации напряжений для сечения III-III является посадка муфты на вал. Как показывают расчеты, коэффициенты снижения пределов выносливости в этом сечении для галтели и шпонки несколько меньше.

3.2. Расчет вала на сопротивление усталости по коэффициентам запаса.

Принимаем наработку, соответствующую одному блоку нагружения, равной расчетному сроку службы вала l_б = T_р = 500 ч. В этом случае число блоков нагружения λ = 1.

Определяем количество циклов, приходящееся на каждую из трех ступеней нагружения (черт. 17):

ν_1σ = t₁ × n _об × 3600 × T_р = 0,001 × 0,406 × 3600 × 5000 = 7,3 × 10³;

ν _2σ = t₂ × n _об × 3600 × T_р = 0,1 × 0,406 × 3600 × 5000 = 7,3 × 10⁵;

ν _3σ = t₃ × n _об × 3600 × T_р = 0,899 × 0,406 × 3600 × 5000 = 6,57 × 10⁶;

Сечение I-I. Показатель наклона левой ветви кривой усталости определяем по (27) и (28)

Корректирующий коэффициент а_р принимаем равным а_р = 0,25; N_G = 2 × 10⁶ циклов.

Определяем σ_аi (эквивалентные амплитуды напряжений симметричных циклов, равноценные по своему повреждающему действию асимметричному циклу с параметрами σ_а и σ_m)

где

Для первой ступени нагружения находим:

 МПа;

 МПа.

 МПа.

Для остальных ступеней полагаем, что амплитуды напряжений пропорциональны крутящим моментам

 МПа;

 МПа.

Расчет коэффициента запаса проводим по формулам (35) и (36). Задаемся п_σ = 6. По (36):

Суммирование проводим по  МПа.

МПа.

По (35):

Полученное значение п_σ не имеет существенного расхождения с заданным. Принимаем п_σ = 6.

При расчете по касательным напряжениям принимаем

m_τ = m_σ = 12,5;

а_рτ = 0,25;

N_Gτ = 2,10⁶.

Полагаем, что при кручении вал работает по пульсирующему циклу, а касательные напряжения на каждой ступени нагружения, также как и нормальные, пропорциональны крутящим моментам.

Находим приведенные амплитуды касательных напряжений по формуле:

По (30):

Для первой ступени нагружения

 МПа;

Для остальных ступеней нагружения

 МПа;

 МПа.

Расчет коэффициента запаса по касательным напряжениям проводим по формулам (35), (37).

Задаемся п_τ = 6

По (37):

где  МПа.

Получаем

МПа.

По (35):

Полученное значение п_τ отличается от заданного, поэтому повторяем вычисления при п_τ = 6,6.

Суммирование в формуле (37) проводим по

 МПа.

МПа.

МПа.

Принимаем п_τ = 6,6.

Определяем общий коэффициент запаса прочности при одновременном действии нормальных и касательных напряжений (38):

Сечение II-II. Расчет проводим по касательным напряжениям, так как циклические нормальные напряжения в этом сечении отсутствуют. По (27) и (28):

Для первой ступени нагружения

 МПа.

По (30):

 МПа.

Для остальных ступеней

 МПа;

 МПа.

Задаемся п_τ = 2,5.

По формуле (37), учитывая только

 МПа.

получаем τ_аэкв = 28 МПа.

По (35):

Вычисления повторяем, задаваясь п_τ = 2,8.

Получаем τ_аэкв = 43,4.

Принимаем п_τ = 2,8.

Сечение III-III.

По (27) и (28):

Для первой ступени нагружения

 МПа.

По (30):

 МПа.

Для остальных ступеней получаем

τ _а2 = 56,8 МПа

τ _а3 = 25,4 МПа.

Задаемся п_τ = 2,2.

Суммируя в (37) слагаемые с

 МПа.

получаем τ_аэкв = 59,7 МПа

Полученное значение п_τ не имеет существенного расхождения с заданным. Принимаем п_τ = 2,2.

Таким образом прочность при циклических нагрузках также обеспечена, во всех случаях п > [п] = 1,9.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Серенсен С.В., Громан М.Б., Когаев В.П., Шнейдерович Р.М. Валы и оси. Конструирование и расчет. М.: Машиностроение, 1970, 320 с.

2. Когаев В.П. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени. М.: Машиностроение, 1977, 232 с.

3. Бойцов Б.В. Прогнозирование долговечности напряженных конструкций. М.: Машиностроение, 1985, 232 с.

4. ГОСТ 25.504-82. Расчеты и испытания на прочность. Методы расчета характеристик сопротивления усталости. М.: Изд-во стандартов, 1982; 80 с.

5. Когаев В.П., Махутов Н.А., Гусенков А.П. Расчеты деталей машин и конструкций на прочность и долговечность. М.: Машиностроение, 1985, 224 с.

6. Степнов М.Н. Статистические методы обработки результатов механических испытаний. М.: Машиностроение, 1985, 232 с.

7. ОСТ 12.44.097-83. Валы и оси. Расчет на прочность и жесткость. М.: Изд-во стандартов, 1983, 88 с.

8. Гольд Б.В., Оболенский Е.П., Стефанович Ю.Г., Трофимов О.Ф. Прочность и долговечность автомобиля. М.: Машиностроение, 1974, 328 с.

9. Лукинский В.С., Котиков Ю.Г., Зайцев Е.И. Долговечность деталей шасси автомобиля. Л.: Машиностроение, 1984, 231 с.

СОДЕРЖАНИЕ

 

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ДАННЫЕ

1. РАЗРАБОТАНЫ

Институтом машиноведения АН СССР, Институтом горного дела АН СССР, Межотраслевым научно-техническим комплексом «Надежность машин», Государственным комитетом СССР по стандартам, Министерствами высшего и среднего специального образования СССР и РСФСР, Министерством автомобильной промышленности СССР, Министерством тяжелого, энергетического и транспортного машиностроения СССР, Министерством угольной промышленности СССР, Министерством речного флота РСФСР, Министерством сельскохозяйственного и тракторного машиностроения СССР, Министерством строительного, дорожного и коммунального машиностроения СССР

ИСПОЛНИТЕЛИ

В.П. Когаев, А.П. Гусенков, Б.В. Бойцов, Е.И. Тавер, С.С. Дмитриченко, Е.И. Степанычев, М.Н. Степнов, П.В. Семенча, А.А. Попов, А.И. Семин, Б.Ф. Хазов, Э.Н. Никольская, О.В. Леонова, В.В. Солодухин (руководители темы), В.Б. Стрекалов, И.М. Петрова, Л.Л. Смирнова, И.В. Гадолина, С.Г. Лебединский, М.А. Алимов, А.Ю. Марцинкевич, Е.Е. Власова, Е.В. Гиацинтов, А.С. Серегин, Б.И. Селезнев, А.Н. Постнов, Л.В. Ногаева, Н.С. Костин, А.Л. Иванов, Г.П. Кравченко, В.Л. Спасский, В.И. Артемьев, Т.И. Арсенькина, А.И. Вашунин, Ю.А. Шухмин, В.А. Полев, М.П. Толубаева, Л.А. Васина, С.В. Солод, Ю.А. Зислин, В.А. Мостаков, Д.Б. Баттаков, С.Ф. Бедрин, Б.Р. Григорян, В.В. Спиченков, Ю.В. Шумаков

2. УТВЕРЖДЕНЫ И ВВЕДЕНЫ В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Государственного комитета СССР по стандартам от 29.09.88 № 3349

3. ССЫЛОЧНЫЕ НОРМАТИВНО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ДОКУМЕНТЫ